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Raisonnement multisection d'angle

Envoyé par arkhann 
Raisonnement multisection d'angle
il y a sept années
Bonjour,
Je viens vous demander où se trouve l’erreur dans mon raisonnement. Je ne suis pas un mathématicien c’est pourquoi je demande votre aide.
Je sais que la trisection d’angle est impossible au compas et à la règle. Depuis plusieurs semaines je parcours le net pour trouver le même raisonnement sur la trisection mais je n’ai rien trouvé ( google, trisection.doc, forums,…) je ne sais peut être pas où cherché dans ce domaine. Je vais vous énoncer mon raisonnement :

Soit 2 droites formant un angle A; quelconque. Pour diviser un angle en 3, il faut diviser l’arc de cercle correspondant en 3.
Nous savons que la longueur d’un arc de cercle correspond à : l = A ( en rad) * R ( le rayon)

Dans notre exemple l’angle A est constant donc l’arc de cercle est directement proportionnel au rayon.
Ainsi si on crée un arc de cercle de rayon R quelconque, on obtient une longueur l de l’arc de cercle correspondant.
R et l seront nos « unités de mesure ». Ainsi si on multiplie R par 3, l est multiplié par 3.

En reportant 2 fois le rayon R ( pour former 3R) au compas, l’arc de cercle ainsi créé, vaudra 3l. En reportant au compas la longueur l du premier arc de cercle sur le nouvel arc de cercle ainsi formé nous pouvons le diviser en 3 parties égales. L’angle A est donc divisé en 3 angles égaux.
Si on multiplie par 4 on peut diviser l’angle A en 4 et ainsi de suite...

Si ce raisonnement est bon on peut donc diviser un angle quelconque en 3, 4, 5,…angles égaux grâce à une règle et un compas ( en étant très très précis surtout dans le report du rayon).
Donc la trisection d’angle serait possible, c’est là mon problème. C’est pourquoi j’en appel à vous pour savoir où se situe mon erreur de raisonnement.
Merci par avance.
[attachment 23832 385.jpg]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.


TT
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a sept années
"En reportant au compas la longueur l du premier arc de cercle sur le nouvel arc de cercle ainsi formé nous pouvons le diviser en 3 parties égales"

Cette partie me paraît douteuse. Comment reportes-tu une longueur d'arc à la règle et au compas, lorsque l'on change le rayon ?
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a sept années
En affirmant que la longueur de l'arc est égale à la longueur de la corde ... :D
[attachment 23833 fauxtrisect.gif]


Re: raisonnement multisection d'angle
il y a sept années
Ah autant pour moi.
Sur ton dessin je vois mon erreur, la courbure est différente et le compas
n'est pas utilisable
Mes constructions ont été dessinées avec "les mains de la foi" et sur une échelle trop petite pour voir mon erreur. Merci d' avoir pris le temps de faire le dessin explicatif.
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a sept années
avatar
Au temps pour toi !
mimosapivoine
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
à tout hasard, boys and girls, ma version des faits


mimosapivoine
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
version pleine


mimosapivoine
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
ce qui m'a mis la puce à l'oreille..


Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
avatar
Bonjour.


Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
avatar
Jolie question : trouver la position du point P sur l'axe des abscisses qui rend "ma" construction optimale.
mimosapivoine
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
Version pleine corrigée. Tous mes voeux de bonheur, à vous tous.


Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
Bonjour,

j'ose espérer pour toi que tu es bien conscient que toutes les constructions que tu pourras imaginer sont fausses, y compris celle ci, et ne sont que des constructions approchées.
Ceci dit des constructions approchées, il y en a des tas (et pas sûr du tout que la tienne soit d'une précision franchement meilleure que d'autres), et s'intéresser à la précision de la construction, à choisir des paramètres qui minimisent l'erreur (comme proposé par soland) peut être effectivement intéressant. Un petit moment..., entre deux occupations plus constructives.

illustration quantitative de ta construction :
on voit que l'erreur dépasse facilement 1°

Bon amusement stérile.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par chephip.


mimosapopeye
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
A l'oeil-nu, et sans connaissance particulière des maths, c'était difficile pour moi de voir l'écart.
Merci Chephip pour ta "correction" (aïeuuhh... ça fait mal...) D'un autre côté, ça m'occupe.
mimosapivoine
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
Chephip, tu as interverti la valeur des angles: c'est l'angle situé au milieu qui fait 41,174°. Et c'est les angles sur les côtés qui font chacun 39,413°. Le tout égalant effectivement 120°.
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
Tu as raison, il y a eu un dérapage de souris quand j'ai recadré les étiquettes avec Geogebra
ça ne change rien aux conclusions (c'est juste une question de l'emplacement de l'étiquette)
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
avatar
Compas trisecteur
(tri-secteur, trissecteur)



Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
avatar
Trisection parabolique


Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
Bonjour,

Rappel: couper un angle en trois à la règle et au compas est très facile tant que l'on ne demande pas que les morceaux soient égaux. Par exemple, on peut couper en deux moitiés, et l'une des moitiés encore en deux moitiés. On peut même procéder au blair, obtenant une construction à la règle seule.

Question 1. On suppose que $Y$ est le milieu de $[O,A]$. Déterminer les points $M$ tels que $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OQ}\right)=\left(\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OP}\right)$.

Question 2. On se donne $Y$ par son abscisse $y$. Déterminer $M$ tel que $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OQ}\right)=\left(\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OP}\right)$.

Question 3. Etudier la réciproque.


Cordialement, Pierre.


Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
avatar
Et en remplaçant la parabole par une chaînette, ça donne quoi ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par jacquot.
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
avatar
Je viens de faire les calculs: la courbe reliant les points de trisection n'est pas une parabole: au lieu de trouver par exemple 1,414 (racine carrée de 2), ce qui aurait confirmé, j'ai seulement trouvé 1,3680806 (cosinus de 70°x 4). Ce qui infirme.
La trisection au moyen de la parabole n'est qu'une approximation. Dommage. Les maths sont une discipline ingrate et cruelle.
Je me demande quelle peut bien être la nature de cette courbe..
Mystère et boule de gomme.

Excuses au Sieur pldx1, sorry.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par jacquot.
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
avatar
Je pense qu'il s'agit d'une parabole cubique (y3= a2. x), ou mieux d'une parabole semi-cubique (y3 = a. x3), de Neil (y = + ou - a. x3/2 ?
Où sont les agrégés ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par AD.
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
avatar
Bonjour mimosapopeye,

'y a pas besoin d'agrégé pour trouver l'équation de ta trissectrice:

Tu considères le point $Z_1$ de la figure de pldx1dans un demi-cercle de rayon 1.
Ses coordonnées sont $x=\pm \cos (\dfrac \pi 2-\dfrac \alpha 6)$ et $y=\sin (\dfrac \pi 2-\dfrac \alpha 2)$
En posant $t=\dfrac \alpha 6$, il vient $x=\pm \sin t$ et $y=\cos 3t$,
puis en touillant un peu tout ça , tu obtiendras $$\boxed{y=(1-4x^2)\sqrt{1-x^2}}$$

P.S. C'est une courbe de Lissajous.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par jacquot.
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
avatar
Merci Jacquot


Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
avatar
Trisection


Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
avatar
Et quelle serait l'équation de ta semi-cubique?


Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
avatar
Je ne sais pas, Jacquot, tu es trop fort pour moi


Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
avatar
Construction d'un angle de 10° à la règle, au compas, et au papier huilé...


Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
avatar
Dans un cadre pratique, le plus simple est de travailler avec une bonne approximation.
Par exemple l'angle aigu du triangle rectangle de cathètes 3 et 17 est une bonne approximation de 10°. L'erreur est de moins d'un centième de degré.
Cordialement.
La trisection angulaire
il y a cinq années
Bonjour..
Pour la trisection angulaire.

Pourquoi utilise-t-on deux instruments seulement qui sont la règle et le compas non gradués ?.

Pourquoi n'utilise-t-on pas un troisième instrument pour fermer le dossier ?.

Djelloul



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par jacquot.
Re: Chaînette de raison 3/4 paire impaire
il y a cinq années
avatar
Pas convaicu du tout: les articulations de toutes les chaînes à maillons coïncident parfaitement avec une chaînette..
Bref, c'est pas grave.
Jacquot, j'arrive pas à trisecter avec Lissajous: je m'y prends sans doute mal, aide-moi, stp.


Re: Chaînette de raison 3/4 paire impaire
il y a cinq années
avatar
$y=-4x^2 +1$ est l'équation d'une parabole.
Celle de la courbe de Lissajous a été donnée là-haut.
Je pense que tu as trouvé ton $-4x^2+1$ sur cette figure-là où tu as confondu la courbe noire et son corrigé rouge, non ?
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a cinq années
avatar
$$\boxed{y=(1-4x^2)\sqrt{1-x^2}}$$

Merci Jacquot . Ca a l'air un peu plus compliqué. Je vais essayer de nouveau



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Bruno.
Re: La trisection angulaire
il y a quatre années
multisection angulaire



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par samir1.
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a quatre années
avatar
Bonjour samir1,

J'ai pu ouvrir en ligne ton GeoGebra et faire bouger des points.
Quand j'agrandis l'ouverture de l'angle , il devient flagrant que ta trisection ne partage pas l'angle en trois angles égaux
confused smiley jacquot
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a quatre années
il me semble qu'à partir de 90°, il convient de diviser par deux puis par trois, et chaque deux sections correspondront à l'1/3 de 90°.
Re: raisonnement multisection d'angle
il y a sept mois
avatar
Compas trisecteur


Re: Raisonnement multisection d'angle
il y a sept mois
Dans la pratique je doute de l’efficacité.
Je suspecte trop de degrés de liberté.
Il n'y a aucune contrainte qui oblige les piquets à rester verticaux sans quoi il devrait être difficile de tracer sans avoir 4 personnes physiques pour tenir le compas.
Je te propose d'ajouter au moins une équerre en direction du centre du cercle, d'un point de vue théorique.
Dans la pratique vu que les liaisons mécaniques ont du jeu il faudrait rigidifier avec au moins un pied à chaque extrémité du compas.

Rien ne naît ni ne périt, mais des choses déjà existantes se combinent, puis se séparent de nouveau.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Raisonnement multisection d'angle
il y a sept mois
Citation

Il n'y a aucune contrainte qui oblige les piquets [a]à rester vertica[l]ux
Bien sûr que si (du moment que les piquets ne sont pas alignés).
Dom
Re: Raisonnement multisection d'angle
il y a sept mois
Autrement dit : si les barres vertes sont de même longueur et se coupent en leurs milieux, alors elles dessinent des rectangles.
Re: Raisonnement multisection d'angle
il y a sept mois
D'accord.
C'est la dénomination "articulation simple" qui m'a étourdie.
En mécanique on appelle ça une liaison pivot.
Je pensais que l'auteur du tri-compas pensait à [fr.wikipedia.org].

Rien ne naît ni ne périt, mais des choses déjà existantes se combinent, puis se séparent de nouveau.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Raisonnement multisection d'angle
il y a sept mois
Pas sa, mais ça.
Re: Raisonnement multisection d'angle
il y a sept mois
Il y a plus simple comme trisecteur, celui de Blaise Pascal :
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - blaise.ggb (11.9 KB)
Re: Raisonnement multisection d'angle
il y a sept mois
avatar
Ludwig
Pascal est un génie éternel.

[Inutile de recopier le dernier message. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Raisonnement multisection d'angle
il y a sept mois
il y a ici une belle figure GeoGebra illustrant la méthode de Kempe :
Trisecteur de Kempe
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