$\pi$ en physique
Une amorce de réflexion maths/physique ?
Ontologiquement, à l'échelle de Planck, les unités incluent hbar (écrit h) ; $\pi$ est en sourdine :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Unités_de_Planck
$\pi$ dans les 2 caractéristiques du vide, la permittivité et la perméabilité, serait-il le signe d'une singularité discret/continu comme on le rencontre avec zêta ?
Question alors : quand et pourquoi $\pi$ apparaît-il en maths pour tenter de comprendre ce qu'il en est en physique ?
Ontologiquement, à l'échelle de Planck, les unités incluent hbar (écrit h) ; $\pi$ est en sourdine :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Unités_de_Planck
$\pi$ dans les 2 caractéristiques du vide, la permittivité et la perméabilité, serait-il le signe d'une singularité discret/continu comme on le rencontre avec zêta ?
Question alors : quand et pourquoi $\pi$ apparaît-il en maths pour tenter de comprendre ce qu'il en est en physique ?
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Réponses
La physique pourrait-elle être une structure mathématique qui a pris forme ?
Auquel cas avec son slogan "order + number =geometry" R.Sorkin aurait raison.
Avant le mur de Planck, il n'y a pas de dimension ; l'in"form"ation émerge du vide sur ses deux caractéristiques, la perméabilité et la permittivité intrinsèquement liées à $\pi$ et aux dimensions M,L,T,Q.
Un indice de cette singularité sur la charge élémentaire : « La charge de l'électron est une quantité à la fois mesurée et sans dimension ... le coulomb, unité de charge électrique, est une unité dérivée des unités mécaniques et même géométriques ... tout en étant bien sûr lui aussi sans dimension »
Tes questions ont l'air très intéressantes mais il faudrait peut-être les développer/expliquer davantage ?
Bonne nuit.
En mathématiques
« Depuis fort longtemps, on sait que la fonction de Riemann (et son ancêtre la fonction d’Euler) constitue un pont entre l’analyse et l’arithmétique, c'est à dire entre le continu et le discret. Grâce au théorème fondamental de l’arithmétique, on peut démontrer assez facilement l’identité d’Euler permettant de transformer la somme de Riemann en un produit infini étendu aux seuls nombres premiers. »
Il semble que la droite ½ de Riemann pour les zéros de Zêta soit le signe d’une singularité primordiale en théorie des nombres où, comme l’écrit A.Houlou-Garcia, "passer la limite c’est changer de concept".
Je constate que $\pi$ y est partout présent comme on peut le voir sur le graphe joint, aux zéros de zêta ; en effet :
$\ln(\zeta(1/2+it)) et P(1/2+it)$ sont corrélés
et
$Im(P(\rho + i\epsilon) - P(\rho - i\epsilon))\simeq \pi$
L'observateur imposant son comptage, $\pi$ (nombre et lettre du langage) signe ici à la fois une symétrie et un paradoxe entre la série de Riemann (addition) et le produit eulérien, une limite entre le discret et le continu.
En physique
« La charge de l'électron est une quantité à la fois mesurée et sans dimension ... le coulomb, unité de charge électrique, est une unité dérivée des unités mécaniques et même géométriques ... tout en étant bien sûr lui aussi sans dimension »
Le coulomb équivaut à $6,24150962.10^{18}$ charges élémentaires ; c'est à la fois ce nombre (concept) et une unité de mesure équivalent à 1 A.s.
Ce que je trouve intéressant, c'est le parallèle entre cette singularité du "vide" $\epsilon_0\mu_0c²=1$ où siège $\pi$, et celle de la droite 1/2 (ie entre 0 et 1) de Riemann.
D'un côté le nombre, de l'autre la géométrie ou la topologie, comme si une limite les opposait et les rassemblait sans les confondre, l'une des faces faisant émerger l'image de l'autre. C'est bien à cette limite, à sa surface spéculaire, que l'observateur réfléchit sur sa dualité, ses dimensions, sa relativité.
De la même façon, on remarque symétrie et paradoxe sur le tableau joint.
Alors, la mécanique quantique, avant son cinéma en 3D pour spectateurs synchronisés à sa périodicité, serait-elle ordre et nombre comme l'est la constante de couplage ?
Belles réflexions, Robusta. Tu abordes le débat passionnant sur la dualité discret/continu ou ondes/corpuscules de notre monde physique, sujet débattu depuis l'Antiquité (voir par exemple les joutes entre l'école continuiste de Parménide et l'école atomiste de Démocrite), mais qui a été relancé, aggravé et peut-être éclairé par la mécanique quantique lorsqu'elle a impunément introduit l'arithmétique des entiers pour expliquer des phénomènes réputés "analytiques" (au sens de la continuité mathématique). Je vois mieux le lien que tu traces avec la fonction zêta.
N.B. ce thème de "l'identification" entre monde physique et monde mathématique est un gros enjeu de la science contemporaine. Cela m'évoque notamment je crois la position de Minkowski et alt. qui annonçaient victorieusement en substance que l'Univers avait une structure d'espace de Hilbert complexe...
Les entiers sont rares en physique ; les exposants des unités de Planck sont une curiosité à méditer.
Avec la forme récurrente de la suite de Fibonacci
f(n+2)=f(n+1)+f(n ) pour f(1)=0, f(2)=1 (ici on aurait aussi pu choisir f(0)=0 et f(1)=1) http://tinyurl.com/y8csf4qe,
f(n+1)/f(n) converge vers le nombre d'or $\varphi$.
Avec la forme récurrente
f(n+2)=f(n+1)/n+f(n),
2n/f(n)² converge vers $\pi$
Avec la forme récurrente
f(n+2)=f(n+1)+f(n)/n,
n/f(n) converge vers e
Si on choisit le nombre 10 de R.Sorkin déterminé par le cône de lumière et qui semble faire écho à la théorie des cordes, avec la forme récurrente
f(n+2) = f(n+1)+10f(n) http://tinyurl.com/yajl5nuv,
f(n)²/($\sqrt{10}$f(n+1))² converge vers a = 0,0072984378813
Amusant quand on connaît la valeur de la constante de structure fine.
Pourquoi étudier cette récurrence 1, 11, 21, 131, 341, 1651, 5061, 21571 ... dont les nombres sont congrus à ceux de Fibonacci modulo 9 :
Notre univers qu'on dit fractal réclamerait morphisme (me reprendre si je me trompe), autosimilarité et, comme $\varphi$ excelle dans ce domaine http://tinyurl.com/ydauj4zd, on peut supposer que ce cousin "a" apparenté à $\varphi$ pourrait servir à quelque chose.
Note : $ [(10a)^{-1/2} + \varphi ^{-1} ][(10a)^{-1/2} - \varphi ] = 9$ http://tinyurl.com/yaoye5xl
L’hypothèse concernant « a » est fragile, juste un exemple pour répondre à une cause.