Équilibre de la Toupie

Bonjour,

Sans schéma c’est difficile.

Le plus simplement possible : on considère une toupie qui tourne sur une pointe autour de son axe avec un angle par rapport à la verticale dans le champs de pesanteur.

On prend une photo. Et on utilise les lois de Newton.

La combinaison des rotations (autour de l’axe propre et autour de la verticale) crée une accélération dirigée parallèlement à l’axe propre et fuyant la pointe pour les masses supérieures de la toupie; et parallèle et dirigée vers la pointe pour les masses inférieures de la toupie.
Par la loi F=ma, la partie supérieure subit une force parallèle à l’axe propre et fuyant la pointe; la partie inférieure subit une force parallèle à l’axe propre dirigée vers la pointe.
Ces deux forces créent un moment.
Quelle est donc l’origine de ce moment ? C’est la gravitation qui l’exerce.

Donc la gravitation permet de maintenir constant l’angle de la toupie avec la verticale.

Ce qui n’est pas immédiat c’est de comprendre la direction de l’accélaration subie par les masses de la toupie. Un peu comme dans un mouvement circulaire uniforme où l'accélération est dirigée vers le centre du cercle et orthogonale à la vitesse : c’est contre intuitif.
Ici pour comprendre cette accélération, il est nécessaire de supposer que l’angle avec la verticale reste constant lors du mouvement. C’est cette hypothèse qui impose la direction des accélérations dans la toupie.

Bonjour,

Ce que j’ai écrit est correct. Tu l’interprètes mal. Par ailleurs je parle du moment par rapport au point pivot et non pas par rapport à un axe.
Si le cœur t’en dis tu peux faire tous les calculs et vérifier ce que j’ai écrit dans la limite gyroscopique.

@YvesM : je connais bien les calculs mais à quelle "limite gyroscopique" fais-tu allusion s'il te plaît ? Pour le dire vite, la gravité ne peut pas servir à la fois de force d'équilibre et de déséquilibre de la toupie. Elle fait bien tomber la toupie.

@L2M : la conservation du moment cinétique est la clé pour comprendre ce phénomène. Pour un objet en rotation autour d'un axe $\Delta$, c'est un vecteur suivant l'axe de rotation et dont la norme est $I\dot{\alpha}$, avec $\dot{\alpha}$ la vitesse angulaire de l'objet et $I_\Delta$ son moment d'inertie par rapport à $\Delta$ (un moment d'inertie mesure la répartition de matière de l'objet autour de l'axe et donc sa capacité à "résister" à une mise en rotation).

Un moment cinétique mesure donc une sorte de "quantité de rotation" (qui est le pendant de la quantité de mouvement pour les translations) autour d'un axe. Un moment de force par rapport à un axe mesure quant à lui l'effet de rotation autour de cet axe qu'entraîne une force appliquée sur l'objet. Or, la variation du moment cinétique par rapport au temps est reliée au moment des forces par un théorème de physique très important qui est l'équivalent du principe fondamental de la dynamique, mais pour les rotations.

Lorsque les moments de force sont nuls par rapport à un axe (ici c'est le cas pour $(Oz)$ car le poids ne peut pas faire tourner la toupie autour de cet axe : c'est comme si tu essayais de faire pivoter une porte en tirant juste sa poignée vers le bas), alors le moment cinétique de l'objet suivant cet axe se conserve dans le temps : c'est une application du théorème précédent à l'équilibre des moments de force (de même qu'il découle du principe fondamental de la dynamique que lorsque la résultante des forces sur l'objet est nulle alors sa quantité de mouvement se conserve).

Ici, étant donné que le poids fait basculer la toupie, le moment cinétique de cette dernière (initialement dirigé selon $(Oz)$ et de norme $I_z\omega$) va être alors dirigé suivant son axe de rotation propre $(Oz')$ et sa norme va diminuer car il y a "moins de rotation" de la toupie autour de $(Oz)$. Il va donc se créer un autre moment cinétique autour de $(Oz)$ pour le compenser (n'oublie pas que le moment cinétique total de la toupie doit rester constant). C'est justement le moment cinétique dirigé suivant les $z$ et de norme $I'_z\Omega$ (avec un nouveau moment d'inertie $I'_z$) : il exprime la "quantité de rotation" de la toupie autour de $(Oz)$. Grâce à lui la toupie va rester en équilibre (sous conditions de vitesse angulaire initiale), sinon la loi de conservation du moment cinétique ne sera plus respectée.

Dans le repère mobile qui tourne à la vitesse $\Omega$, donc qui suit la toupie, celle-ci va subir des forces d'inertie ("virtuelles" mais bien réelles) dites de Coriolis et des forces de gravitation, qui vont toutes s'équilibrer. Toutefois, ces forces d'inertie n'existent pas dans le repère fixe : dans ce repère, seule la conservation du moment cinétique par rapport à $(Oz$) permet d'expliquer la création, autour de cet axe, d'une rotation de vitesse $\Omega$ de la toupie inclinée - en plus de sa rotation autour de $(Oz')$.

Je peux te donner tous les détails mathématiques mais à quel niveau souhaites-tu des explications ? Dis-moi s'il te plaît pour que je puisse m'adapter.

Ok.
Je n'y connais rien pour ainsi dire.
Ma vision (naïve, voire erronée) est la suivante : je la pose verticalement en l'origine d'un repère et je la regarde du dessus.
a) quand elle est posée bien droite, elle tombe sur un côté, un seul, ce côté C regarde vers 0° (au Nord, en haut).
b) à l'arrêt, elle met un certain temps $t$ pour tomber complètement sur le côté.
c) quand elle tourne vite elle tombe à 0°, puis à 1°, puis à 2° etc. N'ayant pas le temps de tomber (elle veut tomber en haut et quasiment en même temps, à droite, et quasiment au même moment, en bas, etc.). En gros, elle est tombée dans toutes les directions ce qui a pour effet de ne pas tomber.
Puis, tournant de moins en moins vite, elle finit par tomber dans "une seule" direction : elle a le temps de tomber.

On m'a suggéré "le paradoxe de l'âne de Buridan" par MP (j'en remercie l'auteur ;-)).
En effet, je ne connaissais pas mais c'est une bonne image de ce que je dis.

Ne te prends pas trop la tête dessus, je suis vraiment un inculte en ce qui concerne la physique.
Mais cela dit, je suis prêt à entendre et à m'intéresser à des arguments qui prouvent que c'est une mauvaise façon de voir les choses,

@Dom :

On m'a suggéré "le paradoxe de l'âne de Buridan" par MP (j'en remercie l'auteur winking smiley).
En effet, je ne connaissais pas mais c'est une bonne image de ce que je dis.

Non, contrairement à l'âne de Buridan qui hésitait tellement entre manger et boire qu'il n'a fait ni l'un ni l'autre, j'ai l'impression que "ta toupie" fait bien deux actions simultanément : elle tombe et en même temps "prend la tangente", à chaque instant, ce qui la maintiendrait en équilibre. Tu penses peut-être à l'explication classique de la rotation d'une planète autour du Soleil ? La planète "tombe" sur lui à chaque seconde mais "s'éloigne" en même temps de lui par inertie, d'où sa trajectoire fermée - à condition que la vitesse de la planète soit suffisamment grande.

Ici, la principale différence serait dans la direction de chute : la toupie ne tombe pas sur l'axe vertical de rotation $\vec{\Omega}$ mais vers le sol. Aussi, sa vitesse autour de cet axe ne devrait pas "rattraper" sa chute. Elle finirait par tomber. Par contre, il y a quand même une histoire d'inertie avec la toupie comme pour la planète : en théorie, rien ne peut détruire sa rotation autour d'un axe sauf une force contraire à cette rotation. C'est le principe d'inertie. Or, le poids de la toupie n'a aucun effet rotatif ou contrarotatif autour de $(Oz)$. De même que la réaction du support. Le poids peut juste incliner la toupie mais il ne lui fera pas perdre sa "quantité de rotation" initiale autour d'elle-même (lorsque son axe propre est confondu avec $(Oz)$). Comme une inclinaison fait perdre un peu de cette quantité de rotation, alors la loi de conservation (dite du moment cinétique) se traduit par la création d'une nouvelle rotation de la toupie autour de $(Oz)$ et non plus seulement autour d'elle-même. Voir détails ci-dessous.

Pour les translations, on a la même idée avec le principe de conservation de la quantité de mouvement $p = \sum_i m_i v_i$ d'un système isolé : pense par exemple au célèbre tir de canon. Je simplifie. Le système "canon + boulet" (on omet tous les frottements) a une quantité de mouvement initiale $p$ nulle. Tant qu'aucune force extérieure ne s'exerce sur ce système, $p$ restera égale à zéro. Or, le tir va occasionner une vitesse $v > 0$ au boulet de masse $m$, donc une quantité de mouvement $mv$ qui va mettre en danger la loi de conservation. Ici, aucune interaction extérieure sur le système, il n'y a que des interactions internes qui se compensent (explosion de la poudre, chocs, réactions des pièces entre elles, etc.). Il faut donc, pour garder la quantité de mouvement constante et égale à zéro, que le système réagisse de manière "opposée" : le canon de masse $M$ va reculer à vitesse $V < 0$, tel que :

$$p = MV + mv = 0$$

d'où : $V = -mv/M$.

Cette loi découle du principe d'inertie. Maintenant, imaginons qu'il n'y ait plus de force de gravitation au moment du tir. Chacun des deux bolides continuerait alors sa course, avec la même vitesse et dans la même direction sans jamais s'arrêter : pourtant aucune "force ne les pousse" ? Eh bien non, c'est là encore une application du principe d'inertie, qui est un principe "par défaut" : pas besoin de chercher un moteur. C'est au contraire parce qu'aucune force ne s'exerce sur un mobile qu'il continue toujours sur sa lancée initiale.

Dans le cas de la toupie, pareillement, le système est $(Oz)$-isolé au sens de sa "rotation par rapport à $Oz$". Toute action du poids ne sera alors qu'indirecte et interne à ce système (pour reprendre l'image du canon) : son moment cinétique suivant $(Oz)$ ne changera pas. Une brève action pesante "$(Oz)$-contrarotative" (uniquement à travers l'inclinaison $\theta$) dans le repère fixe va donc engendrer une toute aussi brève réaction du système sous la forme d'un moment de force égal et opposé au moment de force de "dérangement", afin de rétablir la "quantité initiale de rotation" en faisant tourner la toupie autour d'un autre axe.

Ainsi, on croit le vecteur poids toujours agir, certes il est là, mais il n'agit absolument pas du point de vue rotatif autour de $(Oz)$. Il n'affecte le système qu'indirectement et transitoirement. Mais on pourrait encore se demander : "Oui mais alors pourquoi la toupie ne tombe t-elle pas quand même tout en tournant autour de $(Oz)$, à cause de cette destruction rotative même "indirecte" du poids ?. Pour cela, il faudrait que l'effet contrarotatif du poids soit assez fort pour annuler complètement le moment cinétique $M'$, qui est le moment initial diminué à cause de l'inclinaison due au poids. Or, il ne le peut pas sous une certaine hypothèse.

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?44,1706368,1707002#msg-1707002

$$M_0 = M_1 + M'$$

En effet, techniquement on peut poser (on projette tous les vecteurs sur $\vec{e}_z$) : $M' = M_0\cos \theta$ (où $M_0$ est le moment cinétique initial $(Oz)$-conservatif). Plus $\theta$ augmente (i.e. la toupie tombe), et plus $M'$ sera faible, jusqu'à s'annuler à $\theta = \pi/2$.

Est-il possible d'avoir finalement $M_0 = M_1$ ? Eh bien non, si l'on suppose $\omega \gg \Omega$ (hypothèse dite gyroscopique). En effet, on sait que $M_0 = I_0\omega$ et $M_1 = I_1\Omega$, où $I_0$ et $I_1$ sont respectivement les moments d'inertie de la toupie tournant sur elle-même et autour de l'axe vertical (comme $I_1$ est déjà plus grand que $I_0$, vu les répartitions différentes de masse, on comprend le signe $\gg$). La condition revient donc à impulser une vitesse initiale très élevée à la toupie verticale. Tant qu'elle est beaucoup plus grande que $\Omega$, la toupie ne tombera pas.

Je préfère ces explications à celle avec les forces de Coriolis, qui ne jouent aucun rôle dans le repère fixe - dans lequel pourtant on continue d'observer l'apparente sustentation de la toupie...

Dom a écrit:

Ne te prends pas trop la tête dessus, je suis vraiment un inculte en ce qui concerne la physique.
Mais cela dit, je suis prêt à entendre et à m'intéresser à des arguments qui prouvent que c'est une mauvaise façon de voir les choses,

Merci de ta sollicitude mais j'ai trouvé ta remarque digne de réflexion - comme d'ailleurs souvent les remarques des non-professionnels d'un domaine particulier. Il n'y a pas que du "mauvais" dans ta vision.

Merci pour tes précisions et schémas associés. Je ne suis pas encore sûr de parfaitement comprendre mais attention, la réaction du sol et le poids n'interviennent pas dans le calcul de la rotation de la toupie autour de la verticale (voir mes posts) : leurs effets "rotatifs" (dits "moments de force" par rapport à (Oz)) sont nuls. Le théorème de conservation du moment cinétique nous montre que seules comptent la rotation initiale de la toupie verticale sur son axe et une perturbation (le poids ou autre chose) qui incline la toupie.

On utilise ce principe dans le gyroscope à cardan par exemple, très utile pour s'orienter, même en navigation spatiale : le centre de gravité de la toupie (ou gyroscope) est placé exactement sur son axe de rotation. Aussi, la force gravitationnelle n'a aucun "effet rotatif" sur le gyroscope : vu qu'il ne subit aucune autre perturbation, son moment cinétique (ou vecteur "quantité de rotation autour de l'axe") est constant, l'axe de rotation est alors toujours dirigé vers la même direction universelle (comme dans ton premier schéma d'espace-temps plat).

En tout cas, comme tu l'as dit, la rotation de la toupie inclinée autour de la verticale est très importante pour assurer l'équilibre de la toupie, sinon soit elle s'effondre, soit elle revient tourner à la verticale. Et cette rotation est une "partie" de la rotation initiale de la toupie sur elle-même quand elle était à la verticale. L'autre "partie" est sa rotation sur elle-même. La somme doit être constante (théorème dit de "conservation du moment cinétique") car aucune force, pas même le poids, ne trouble la rotation autour de la verticale (Oz).

La question qui échappe aux équations est : pourquoi la toupie tourne autour de la verticale ? c'est une question que j'ai déjà posé en haut.

Je pensais avoir répondu à ta question dans mes posts suivants mais j'ai peut-être mal expliqué. Cette question n'échappe pas aux équations. J'ai rappelé sa formalisation dans : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?44,1706368,1707624#msg-1707624, mais je précise que, à chaque instant $t$ :

$$M_0(t) = M_1(t) + M'(t) = k$$

où $k$ est une constante et les $M$ sont des mesures physiques (appelées "moments cinétiques") de chaque "quantité de rotation" autour de (Oz) : $M_0$ correspond à la rotation initiale de la toupie verticale (elle se conserve à travers le temps), $M_1$ correspond à la rotation de la toupie inclinée autour d'elle-même mais sans tourner autour de (Oz), $M'$ à la rotation de la toupie qui tourne autour de (Oz) mais sans tourner autour d'elle-même. Comme $M_0 \gg M_1$ si $\omega \gg \Omega$ (hypothèse gyroscopique), on ne peut pas avoir $M'(t) = 0$. Or, $M'(t)$ est nul seulement lorsque $\theta = \pi/2$, i.e. la toupie tombe.

Pour résumer simplement :

1- Les lois de la physique nous imposent une conservation de la "quantité de rotation initiale" de la toupie autour de l'axe vertical (Oz) qui est aussi son axe propre (de rotation sur elle-même) au départ.

2- Si la toupie s'incline, alors cette quantité va diminuer (la toupie "tourne moins" autour de l'axe vertical : tu arrives à visualiser cela ?).

3- Il doit donc nécessairement se créer une nouvelle rotation pour la toupie inclinée qui va s'ajouter à la quantité de rotation diminuée.

4- Cette rotation sera celle de la toupie inclinée immobile autour de l'axe vertical (Oz).

5- L'important est de garder constante cette somme de deux "quantités de rotation".

Est-ce que cette explication te parle, ou sinon, à partir de quelle ligne numérotée ?

Je ne suis pas vraiment fort en physique. Mais j'ai toujours voulu comprendre ce phénomène.

Mais pas de soucis, c'est justement comme ça que l'on devient fort.

Bonne nuit.