Diffusion de température
Bonjour,
Je travaille sur une version simplifiée de l'équation de la diffusion de la température (1D, pas de terme source) :
\[
\partial_t T = \alpha \partial_{zz}T
\]
à l'intérieur d'une barre de longueur $L$ ($z \in [-L;0]$), avec comme condition initiale une fonction $T_0(z)$ continue et positive sur cet intervalle.
En suivant la méthode de séparation des variables, j'obtiens les solutions :
Dans les deux premiers cas, déterminer les constantes se fait sans problème grâce à la décomposition en série de Fourier de la condition initiale :
Le troisième cas me laisse un peu plus perplexe. Je peux éventuellement le décomposer en
\[
T_0(z) = - \sum^{+\infty}_{n=1}C_n\sin\left(\frac{\pi}{2L}z\right)\cos\left(\frac{n\pi}{L}z\right) + \sum^{+\infty}_{n=1}C_n\cos\left(\frac{\pi}{2L}z\right)\sin\left(\frac{n\pi}{L}z\right)
\]
mais l'identification des coefficients de Fourier me paraît ici plus hasardeuse : j'aurais
\[a_n = -C_n\sin\left(\frac{\pi}{2L}z\right)\] et
\[b_n = C_n\cos\left(\frac{\pi}{2L}z\right)\]
donc avec une dépendance à l'espace pour $C_n$ qui n'est censé dépendre que de $n$... Ça ne me semble pas être la bonne méthode.
Je suis donc à court d'idée !
Quelqu'un aurait-il une piste ? Cette équation peut-elle être résolue (pour $C_n$) analytiquement ? Sinon, existe-t-il une méthode numérique adaptée à ce genre de problème ?
Je travaille sur une version simplifiée de l'équation de la diffusion de la température (1D, pas de terme source) :
\[
\partial_t T = \alpha \partial_{zz}T
\]
à l'intérieur d'une barre de longueur $L$ ($z \in [-L;0]$), avec comme condition initiale une fonction $T_0(z)$ continue et positive sur cet intervalle.
En suivant la méthode de séparation des variables, j'obtiens les solutions :
- \[
T(z,t) = \sum^{+\infty}_{n=1} C_n \exp\left(-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2\alpha t\right)\sin\left(\frac{n\pi}{L}z\right)
\]
avec les conditions $T=0$ aux limites ; - \[
T(z,t) = \sum^{+\infty}_{n=1} C_n \exp\left(-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2\alpha t\right)\cos\left(\frac{n\pi}{L}z\right)
\]
avec les conditions $\partial_z T = 0$ aux limites ; - \[
T(z,t) = \sum^{+\infty}_{n=1} C_n \exp\left(-\left(\frac{2n-1}{2L}\pi\right)^2\alpha t\right)\sin\left(\frac{2n-1}{2L}\pi z\right)
\]
avec $T(0) = 0$ et $\left(\partial_z T\right)(-L) = 0$.
Dans les deux premiers cas, déterminer les constantes se fait sans problème grâce à la décomposition en série de Fourier de la condition initiale :
- \[
C_n = \frac{2}{L} \int^0_{-L}T_0(z)\sin\left(\frac{n\pi}{L}z\right)\text{d} z
\] pour la température nulle aux limites ; - \[
C_n = \frac{2}{L} \int^0_{-L}T_0(z)\cos\left(\frac{n\pi}{L}z\right)\text{d} z
\] pour le flux de température nul aux limites.
Le troisième cas me laisse un peu plus perplexe. Je peux éventuellement le décomposer en
\[
T_0(z) = - \sum^{+\infty}_{n=1}C_n\sin\left(\frac{\pi}{2L}z\right)\cos\left(\frac{n\pi}{L}z\right) + \sum^{+\infty}_{n=1}C_n\cos\left(\frac{\pi}{2L}z\right)\sin\left(\frac{n\pi}{L}z\right)
\]
mais l'identification des coefficients de Fourier me paraît ici plus hasardeuse : j'aurais
\[a_n = -C_n\sin\left(\frac{\pi}{2L}z\right)\] et
\[b_n = C_n\cos\left(\frac{\pi}{2L}z\right)\]
donc avec une dépendance à l'espace pour $C_n$ qui n'est censé dépendre que de $n$... Ça ne me semble pas être la bonne méthode.
Je suis donc à court d'idée !
Quelqu'un aurait-il une piste ? Cette équation peut-elle être résolue (pour $C_n$) analytiquement ? Sinon, existe-t-il une méthode numérique adaptée à ce genre de problème ?
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Réponses
Bienvenue sur le forum. Pourquoi pas tout simplement $\displaystyle C_m={2\over L} \int_{-L}^{0} T_o(z) \sin ({2 m-1\over 2L}\pi z) dz $ ?
Merci beaucoup !