Force magnétique, relativité restreinte

reuns · March 2019

Bonjour, comment vous justifiez soit intuitivement ou mathématiquement ou physiquement :

- Le deuxième terme "magnétique" dans la force de Lorentz sachant qu'au départ on a juste plein de particules chargées qui interagissent avec la force de Coulomb (radiale avec une décroissance en $r^2$)

- Que la relativité restreinte (qui aux ordres de grandeurs usuels donne à peu près la physique de Newton et quand la vitesse relative tend vers $c=1$ (vitesse de la lumière) donne un temps qui s'étire et rend la vitesse $1$ indépassable) est donnée par un étirement du temps relatif défini par les changements de repères (de l'observé à l'observateur) que sont l'ensemble des transformations linéaires de $\Bbb{R}^4$ qui préservent la forme bilinéaire $b((x_1,t_1),(x_2,t_2)) = \langle x_1,x_2\rangle-t_1t_2$

La plupart du temps ces équations sont données comme axiomes, on montre juste qu'elles respectent certaines propriétés, mais on ne les dérive pas tellement d'équations et d'axiomes plus légers, comme c'est le cas par exemple pour l'équation de Navier-Stokes qui découle uniquement de $F=ma$ et d'un terme de viscosité (= force de frottement entre particules proportionnel à la vitesse relative).

Fabien Sabinet · March 2019

Moi j'ai toujours rêvé d'un meilleur truc a découvrir que cette formule de Lorentz en deux termes qE + v.B... J'ai pas mal cherché mais la réponse est bien ardue et tout seul je n'y suis pas arrivé même si le problème semble relativement simple quand on y pense (charges statiques/en mouvement agissant sur d'autres charges statiques/en mouvement).

A mon avis il est essentiel de commencer par redéfinir correctement la force de Coulomb qui est valide avec des charges stationnaire bien sûr mais pas avec des charges en mouvement dans le champ accélérateur, cette force F = qE n'est pas constante quand la charge est en mouvement dans E, ce qui expliquerait au passage qu'au vitesse limite de c, vitesse du champ accélérateur, la force tend vers 0.

Il y a tout a faire encore dans ce domaine en physique et si on n'était pas tellement persuadé d'avoir tout découvert dans ce domaine on serait en face d'une aventure scientifique fantastique.

Ou bien de notre destruction.

YvesM · March 2019

Bonjour,

@reuns: démonstration de la force de Lorentz à partir des équations de Maxwell et de Newton et d'une hypothèse sur la forme de la force de Lorentz. Dans les livres, on suppose la force de Lorentz et on déduit le lagrangien d'interaction. Ici, on a fait l'inverse. Niveau M2 physique théorique.

Montrer qu'on peut écrire :
Maxwell:
$\displaystyle {1 \over c} \partial_t A + E + \nabla \varphi = 0$
$\displaystyle \partial_t E - c \nabla \times (\nabla \times A) + 4\pi \rho v = 0$
$\displaystyle \nabla.E = 4 \pi \rho$
$\displaystyle \partial_t \rho + \nabla.(\rho v)= 0$
avec la jauge de Coulomb : $\displaystyle \nabla.A= 0$

Montrer qu'on peut écrire :
Newton : $\displaystyle \rho d_t v_i = \partial_{x_k} \sigma_{ik} + \rho f_i$
que représente $\sigma$ ?

Montrer qu'on peut écrire :
$\displaystyle {1 \over 8\pi} \partial_t \int (E^2 + (\nabla \times A)^2)d^3 x + \int \rho v.E d^3x = 0$ puis $\displaystyle {1 \over 8\pi} \partial_t \int ((\partial_t A)^2 + (\nabla \times A)^2)d^3 x - \int \rho v.\partial_t A d^3x = 0$
$E^2 = -E.\partial_t A - E.\nabla \varphi = ({1\over c}\partial_t A)^2 + \nabla \varphi.{1\over c}\partial_t A - E.\nabla \varphi$
$\displaystyle {1 \over 8\pi} \partial_t \int(({1\over c}\partial_t A)^2 +4\pi \rho v +(\nabla \times A)^2) d^3 x + \int \rho v.E d^3 x=0$ avec intégration par partie
$\displaystyle {1\over 2} \partial_t \int \rho \varphi d^3 x + \int \rho v.{1 \over c} \partial_tA d^3 x + \int \rho v.E d^3 x=0$

Montrer qu'on peut écrire :
Systèmes de deux particules ponctuelles chargées :
$\displaystyle \rho(x,t)=q_1 \delta(x-x_1) + q_2 \delta(x-x_2) $
$\displaystyle v(x,t)=v_1(t) H(x-x_1) + v_2(t) H(x-x_2) $
$\displaystyle v_1=d_tx_1$ et $\displaystyle v_2=d_tx_2$

Montrer qu'on peut écrire :
$\displaystyle {1\over 2} (q_1+q_2) \partial_t \varphi + \int ( \delta(x-x_1)q_1v_1+\delta(x-x_2)q_2v_2 ).{1 \over c} \partial_t A d^3 x + (q_1 v_1+q_2 v_2).E=0$ (*)
Les équations de Maxwell dépendent de $x,t$. Après intégration (sur l'espace) elles dépendent de $x_1(t)$ et de $x_2(t).$

Montrer qu'on peut écrire :
Potentiel électrostatique (à partir des équations de Maxwell) :
$\displaystyle \varphi=\varphi_1+\varphi_2$
$\displaystyle \varphi_1 = q_1 \phi(|x_2-x_1|)$ et $\displaystyle \varphi_2 = q_2 \phi(|x_2-x_1|)$

$\displaystyle {1 \over 2} (q_1 \varphi_2+q_2 \varphi_1) = q_1 \varphi_2=q_2 \varphi_1$

Montrer qu'on peut écrire :
Vecteur potentiel (à partir des équations de Maxwell) :
$\displaystyle A=A_1+A_2$
$\displaystyle A_1=q_1 v_1 \alpha(|x_2-x_1|)$ et $\displaystyle A_2=q_2 v_2 \alpha(|x_2-x_1|)$

Montrer qu'on peut écrire :
$\displaystyle \partial_t A_1=q_1 \alpha \partial_t v_1 + q_1 v_1 \partial_t x_1.\partial_{x_1} \alpha(|x_2-x_1|)$ et $\displaystyle \partial_t A_2=q_2 \alpha \partial_t v_2 + q_2 v_2 \partial_t x_2.\partial_{x_2} \alpha(|x_2-x_1|)$

$\displaystyle \int \delta(x-x_1) q_1v_1.\partial_t A_2 d^3 x = q_1q_2 (\alpha v_1 . \partial_t v_2 + (v_1.v_2) \partial_t x_2.\partial_{x_2} \alpha(|x_2-x_1|))$ et $\displaystyle \int \delta(x-x_2) q_2v_2.\partial_t A_1 d^3 x = q_1q_2 (\alpha v_2 . \partial_t v_1 + (v_2.v_1) \partial_t x_1.\partial_{x_1} \alpha(|x_2-x_1|))$

Par sommation : $\displaystyle {1 \over 2} q_1q_2 (\alpha \partial_t(v_1.v_2)+(v_1.v_2) \partial_t \alpha)={1 \over c} q_1q_2 \partial_t(\alpha v_1.v_2)={1 \over c} q_1 \partial_t(v_1.A_2) = {1 \over c} q_2 \partial_t(v_2.A_1) $

Montrer qu'on peut écrire :
Champ électrique (à partir des équations de Maxwell) :
$\displaystyle E=E_1+E_2$

Montrer qu'on peut écrire :
L'équation (*) devient : $\displaystyle \partial_t (q_1 \varphi_2 + {1 \over c} q_1 v_1.A_2 + \epsilon_0) + q_1 v_1.E_2+q_2v_2.E_1+w_0=0$ où $\epsilon_0$ et $w_0$ sont des termes d'interaction propre.

Forme de la force de Lorentz :
On suppose que $\displaystyle m_1 d_t v_1 = q_1 E_2 + v_1 \times ...$ et donc que le second terme est perpendiculaire à la vitesse.

Montrer qu'on peut écrire :
$\displaystyle d_t( {1 \over 2} m_1 v_1^2) = q_1 v_1.E_2$

Montrer qu'on peut écrire :
$\displaystyle \partial_t ( {1 \over 2} m_1 v_1^2+ {1 \over 2} m_2 v_2^2 + q_1 \varphi_2 + {1 \over c} q_1 v_1.A_2 + \epsilon_0) + w_0=0$ qui permet de construire le lagrangien d'interaction : $L={1 \over 2} m_1 v_1^2+ {1 \over 2} m_2 v_2^2 - q_1 \varphi_2 + {1 \over c} q_1 v_1.A_2 $ à partir duquel on trouve : $\displaystyle m_1 d_t v_1 = q_1 E_2 + {1 \over c} q_1 v_1 \times (\nabla \times A_2)$

Fabien Sabinet · March 2019

J'admire votre raisonnement YvesM. J'admire vos mathématiques... Mais je trouve ça un peu dommage qu'on ne puisse pas expliquer ça simplement.

Même si je ne suis pas toujours d'accord avec lui je pense qu'Einstein était un des plus grand physiciens de tout les temps parce qu'il peut dire une phrase comme : "Si vous ne pouvez expliquer un concept à un enfant de six ans, c'est que vous ne le comprenez pas complètement."

Et c'est vrai qu'en lisant votre démonstration, même si je ne peux m'empêcher d'admirer le raisonnement, j'ai un peu de mal à comprendre ce que vous dites à propos du phénomène dont vous parlez, et donc j'ai peur que vous ne soyez pas sûr de ce dont vous parlez "physiquement".

reuns · March 2019

Je suis complètement perdu. Est-ce que tu peux me donner en deux lignes sans les justifier les équations du mouvement de 3 particules chargées dans le vide de position et vitesse initiale $x_i,v_i$ ? J'espérais que dans un champ magnétique $B$ justifier le terme $q_i v_i\times B(x_i)$ me donnerait tout de suite la réponse mais là je ne vois pas.

Etant donné des particules chargées à une certaine position alors $E$ c'est juste la convolution $\rho \ast f $ de $f(x)=\frac{x}{|x|^3}$ avec la distribution des charges $\rho(x) = \sum_i q_i \delta(x-x_i)$.
$\nabla \times E(x) = b(x) a(x)$ dit qu'au voisinage de $x$, $E(x)\approx \mu + T(x)$ où $\mu$ est constant et $T$ est un champ qui fait tourner les particules en rond à une vitesse $b$ autour de l'axe $a$.

Mais $B = - \int \nabla \times Edt$ c'est un bordel sans nom de visualiser ce qu'il représente.

En plus $\nabla \times (\rho \ast f) = \rho \ast (\nabla \times f)$. Et pour $i \ne j$ $\partial_i f(x)_j = \partial_i \frac{x_j}{|x|^3} = -3\frac{x_j x_i}{|x|^5}$ donc $\nabla \times f(x)_i = \partial_{i+1} f(x)_{i+2}-\partial_i f(x)_{i+1}=0$... ça n'a aucun sens.

$\partial_i f(x)_i = \partial_i \frac{x_i}{|x|^3} = \frac{1}{|x|^3}--3\frac{x_i^2}{|x|^5}$ donc $\nabla . f(x) = \sum_i \partial_i f(x)_i = \frac{3}{|x|^3}-3\frac{|x|^2}{|x|^5} = 0$, cela sauf en $x=0$ où on doit bien avoir $\nabla .f(x) = \delta(x)$, bref $\nabla . E = \nabla . (\rho \ast f)= \rho \ast (\nabla . f) = \rho \ast \delta=\rho$.

Si je pars d'un champ magnétique constant alors le terme $q_i v_i\times B(x_i)$ proportionnel à la vitesse me dit que ce champ magnétique courbe l'espace tel que perçu par les particules, ou qu'il imprime une force de frottement fluide dans une direction qui dépend de la direction d'approche de la particule.

Fabien Sabinet · April 2019

Attention, il faut bien se rappeler que rien, absolument rien ne va "physiquement" dans le sens du vecteur B, le champ magnétique est un pur objet mathématique qui permet juste de calculer les forces agissant sur des particules en mouvement dedans. C'est pour ça qu'il y a deux vectoriels dans les formules qui impliquent son action finale, un premier pour définir B à partir du mouvement des particules qui le génère, et un deuxième par rapport à B pour faire revenir la force dans le "bon" sens.

On oublie trop souvent que ce genre d'objets mathématique n'existe simplement pas "physiquement" et qu'on les a complètement inventé juste pour les calculs, et ça conduit certains à les confondre avec des phénomènes réels et d'en chercher des propriétés qui n'ont aucun sens comme le monopôle magnétique par exemple qu'évidemment on ne trouvera jamais puisque "par définition" il a un sens le champ B, orienté en vectoriel du mouvement des particules qui le crée, donc il possède forcément deux pôles. C'est nous qui l'avons inventé ce champ donc son existence est lié à une "définition".

Il y a plein d'objets mathématiques en physique comme ça qui sont confondus avec des phénomènes réels, et encore là ce n'est pas trop grave avec le monopôle magnétique, ça fait juste sourire quand on apprend que quelqu'un est en train d'en chercher un, mais quand à partir d'un courant de déplacement complètement imaginaire on commence à déduire la constance de c, ça devient plus embêtant.

YvesM · April 2019

Bonjour,

@reuns : je ne réponds pas à ta question sur les équations de $n$ particules chargées en mouvement, mais je te donne une indication précise. Parmi les équations de Maxwell, l’équation locale de Ampere-Maxwell est utile ; le vecteur de densité de courant $j=q v$ pour une particle de charge $q$ et de vecteur vitesse $v$ par rapport au laboratoire galiléen. Les équations du mouvement sont données par Newton et la force de Lorentz. Les équations de Maxwell s’appliquent et lient les champs électrique $E$ et magnétique $B$ à la cinématique des particules.

Titi le curieux · April 2019

@reuns Je crois qu'il ne faut pas prendre le problème à l'envers. D'abord, tu définis correctement cette histoire de groupe de Lorentz-Poincaré et tu vérifie que la métrique de Minkowsky est invariante, puis tu retournes au champ magnétique.
Certes, la théorie de la relativité restreinte a été crée en réponse à des problèmes d'électromagnétisme, mais à la base, le champ magnétique (comme le reste, finalement), c'est un machin expérimental.
L'histoire (très approximative):
- On découvre plein de trucs rigolos avec des machins qui s'attirent, parfois se repoussent, ou qui font bouger des cuisses de grenouilles tout en affolant des boussoles (je parle d'électromagnétisme, bande de petits coquinous).
- Il y a des gens qui font des expériences un peu moins rigolotes et qui en déduisent des lois.
- Il y a un type qui s'appelle Maxwell qui en compile un bon bout et propose un système d'équations et un autre du nom d'Heaviside qui présente ça un peu mieux.

Problème: ce machin fonctionne vachement pas bien avec la mécanique classique, tu résous un problème d'électromagnétisme dans un référentiel, ça prévoit des machins, tu changes de référentiel galiléen, paf! Tu constates que ta solution ne respecte plus les mêmes équations (alors que tu as bien fait attention à modifier le champ magnétique parce que les vitesses des points matériels chargés ne sont plus les mêmes, c'est vraiment pas de bol!). Lorentz pond son truc, on discute de cette fameuse vitesse égale à $\sqrt{\frac{1}{\epsilon_0\mu_0}}$ et on imagine ce qu'on peut.
Là-dessus, l'autre type se ramène, il trouve que finalement, au lieu de s'embêter avec un temps absolu, on pourrait s'embêter avec une vitesse absolue et que ça marcherait quand même (en plus ça colle avec les transformations de Lorentz-Poincaré, la vie est belle). Si tu veux des détails, moi j'ai appris ces choses-là dans une précédente édition de ce truc-là (il y a un chapitre qui s'appelle plus ou moins "reconstruire la relativité" qui, à l'époque, m'avait drôlement plu).

Là-dessus, tu as une théorie (au sens d'un ensemble d'axiome) qui te donne les transformations de Lorentz, tu en déduis l'invariance la métrique de Minkowski (on nommera comme ça la forme bilinéaire à laquelle tu fais référence), c'est comme ça, tu le constates, fin de l'histoire, sauf si tu veux déplacer les axiomes (auquel cas, bon courage! Je rappelle qu'en ce qui concerne la relativité générale, il ne reste pas grand chose de la relativité restreinte, la notion de référentiel galiléen se fait la malle, mais la métrique de Minkowski résiste, ça devient même plus ou moins un axiome).

En ce qui concerne cette histoire de magnétisme... une fois que tu es tombé sur la relativité restreinte, c'est sûr que tu dis, "si c'est juste pour jouer avec des boules de billard qui finalement sont des points et du coup, ils ne risquent pas trop de se rencontrer (les nuls!), on risque de vite s'embêter!" et je te donne entièrement raison, du coup, on recommence à faire mumuse avec des champs. Et là, ben... euh... Finalement on est obligé d'axiomiser des nouveaux machins, parce qu'on pourrait imaginer plein de choses plausibles, il suffit que les équations en questions restent invariantes par changement de référentiels! Mais cette seule contrainte impose déjà beaucoup et même en tentant le coup avec un champ de potentiel scalaire (on pourrait peut-être tenter un genre d'équation de Klein-Gordon qui interagit avec des points matériels, quand je dis "on", en fait c'est toi, parce que j'ai la flemme et que je ne suis pas sûr que ce soit si simple de présenter un truc qui fonctionne), on ( tu ) risque(s) fort de se (te) retrouver avec une force qui va finalement pas seulement dépendre de l'environnement, mais aussi de la vitesse du point matériel auquel elle s'applique et du coup, le champ électrique tout seul, il peut se brosser (et je ne vois pas comment expliquer ça à un gosse de six ans, c'est déjà la croix et la bannière pour lui faire résoudre un pauvre problème de chute libre en mécanique classique, surtout si il ne compte qu'avec des paquets de bonbons, ceux que je connais se mettent à pleurer dés que je pose une équation. Les enfants de six ans sont de mauvaise volonté!).

Là-dessus, tu peux revenir à des trucs du genre de ce que proposait YvesM, en mode "je fais de la relativité alors j'écris des tenseurs et pas des trucs de divergence et de rotationnel". Exemple tu poses le lagrangien électromagnétique (en exprimant le tenseur de Faraday avec des "gradients" du quadrivecteur potentiel), et tu développes pour trouver tout le machin. Alors oui! Ce n'est pas une preuve, mais c'est un bon exercice et je me rappelle que dans ma jeunesse j'ai trouvé fantastique de constater que le tenseur de Faraday était antisymétrique, sachant que mes obsessions de l'époque m'avaient fait observer qu'il était nécessaire que $a^\mu v_\mu$ soit nul pour que se conserve la masse du point matériel ($a$ est le quadrivecteur accélération et $v$ le quadrivecteur vitesse du point), aujourd'hui, ça me laisse un peu plus froid, mais peut-être que ça te parlera.

Voilà voilà, je ne sais pas si ça répond à ta question et c'était fort long, mais le message c'était "touche à la relativité et tu auras du mal à trouver un truc qui ressemble à un champ électrique se promener sans ses copains", le reste, c'est du blabla, parce que je trouvais ça rigolo.

Quelques jours plus tard: oups... je viens de relire le message pour le $a^\mu v_\mu$ qui devait être nul, j'avais plutôt en tête $F^\mu p_\mu$. On prend des risque en racontant de mémoire des trucs auxquels on a pas touché depuis longtemps :-S .

Horza · September 2019

Bonjour

La formulation la plus simple et la plus élégante de la théorie classique de l'électromagnétisme est celle fournie par l'Algèbre Géométrique de David Hestenes.
Dans ce cadre, le champ électromagnétique est un bivecteur (élément de surface plane) dans l'espace-temps de Minkowski (de dimension 4).
Un référentiel inertiel est défini par un vecteur du genre temps et l'espace relatif qui lui est orthogonal (de dimension 3).
Par simple projection le bivecteur champ électromagnétique se décompose en une partie temporelle et une partie spatiale qui sont le champ électrique et le champ magnétique dans ce référentiel.
La force de Lorentz en dimension 3 s'obtient très simplement à partir du bivecteur accélération en dimension 4, qui est simplement proportionnel au bivecteur champ électromagnétique.

Dit comme ça en quelques lignes cela doit vous paraitre obscur, mais je vous assure que si vous prenez quelques heures pour étudier l'Algèbre Géométrique vous serez séduits.

Titi le curieux · September 2019

@Horza:
Ça a l'air super, ce truc! Tu as les références d'un livre sur le sujet et qu'on peut emprunter en BU ou PIB?

Horza · September 2019

Il n'y a pas beaucoup de textes en français, seulement deux livres et quelques articles. Il y a par contre beaucoup de littérature en anglais.

Les livres en français sont :
- L'Algèbre Vectorielle, de Gaston Casanova, PUF
- GA Maths Physique pour demain, de Georges Pagis, ebook.
Le premier est de facture classique et orienté algèbre. Le second expose bien la géométrie (avec des figures).
Je ne sais pas si tu les trouveras en bibliothèque, mais ces deux livres sont assez courts et pas chers.

Les livres en anglais sont par contre gros et chers, et plutôt indiqués pour approfondir le sujet. Les plus connus sont ceux de David Hestenes, et celui de Doran et Lasenby (Geometric Algebra for Physicists). Il y en a aussi un entièrement sur l'électromagnétisme : Understanding Geometric Algebra for Electromagnetic Theory, de John Arthur, mais je ne sais pas ce qu'il vaut car je ne l'ai pas lu.

Force magnétique, relativité restreinte

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