Équation des géodésiques

Je suis très rouillé en relativité générale (je n'en ai jamais eu besoin depuis mes études). Mais, d'une part, le "Laplacien" (tu es sûr du nom, ça fait très analyse vectorielle) de départ m'a l'air étrange (cela dit, il est possible que je dise une connerie ou que tu aies juste fait une erreur d'inattention), je dirais que c'est plutôt $L=\sqrt{-g_{\alpha \beta}\frac{\partial X^\alpha}{\partial \lambda}\frac{\partial X^\beta}{\partial \lambda}}$, d'ailleurs, si par chance $\lambda$ est le temps propre, tu retombe sur tes pattes avec le second.
Sur le fond de la question, la "valeur du lagrangien" est vachement dépendante du paramètre $\lambda$ de ta courbe (trajectoire), mais pas du tout des coordonnées choisies (en langage de physicien: $\frac{\partial X^\alpha}{\partial \lambda}$ est contravariant, $g_{\alpha \beta}$ est double covariant, donc $g_{\alpha \beta}\frac{\partial X^\alpha}{\partial \lambda}\frac{\partial X^\beta}{\partial \lambda}$ ne bouge pas par changement de coordonnées). En relativité restreinte, tu vas te dire que le lagrangien est très dépendant du référentiel de l'observateur (donc des coordonnées), ce n'est pas faux, sauf que le truc, c'est que tu choisis par défaut que le paramètre de ta trajectoire sera le temps "t" dans le référentiel observateur. En relativité générale, tu évites, parce que la notion de référentiel n'est pas claire (voire pas du tout définie).
Fort heureusement, quelque soit le paramètre choisi, le temps propre (ou action ou je ne sais pas comment tu appelles ça) est invariant, ça ne dépend que de la trajectoire, du coup, tout va bien, on est content et on se dit que finalement, à part peut-être pour les lagrangien volumique pour les champs (parce que, pour le coup, c'est un vrai scalaire), la notion de lagrangien est très surfaite. Et comme c'est indiqué, quand on peut, on prend plutôt comme paramètre le temps propre, comme ça les formules sont moins longues à écrire (parce qu'on est des bon gros flemmards, mais on est content quand même).