Masse ressort sous acc. de 20g

Salut,
Dans un premier temps, il faut que tu expliques ce que signifie ces 20g "correspondant à une vibration appliquée au système". Cette accélération est appliquée au support du ressort? Tu parles de vibration, elle n'est donc pas constante, c'est une sinusoïde? Un genre de fonction porte?
Pourquoi tu ne préfère pas donner une fréquence est une amplitude du mouvement du support? (parce que si il faut prendre en compte toute les forces qui s'applique au support, c'est faisable, mais plus compliqué) Cette accélération est verticale? Tu étudies le système en régime permanent?

Si l'accélération est appliquée au support, tu intègres (deux fois) et tu te débrouilles pour que ça apparaisse dans la longueur du ressort dans ton équation. Ne néglige pas la gravité, 5%, ce n'est pas ridicule et si tout les mouvements et forces sont verticaux, ça ne changera presque rien à ta résolution, ça va juste décaler ta position d'équilibre.

Fais attention à l'orientation de tes axes au moment de poser tes équations, quand on regarde ton équation, on a l'impression que ton axe est orienté vers le haut (et que ton 0 se trouve au point d'ancrage du ressort, du coup y est négatif), mais sur le dessin, $y$ est vers le bas.

Tout d'abord, je ne sais pas du tout comment on traite le bruit ou les vibrations en mécanique (donc en ce qui concerne la norme DOnuméro et le graphique avec des longueurs en pouces, je ne peux pas t'aider).

Je ne connais pas non plus ton logiciel pour les simulations, mais là je peux dire deux trucs:
- Dans la mesure où tu as une équation différentielle du second ordre, linéaire et avec des coefficients constants, je t'invite à plutôt passer sur de la résolution formelle (faire de la simulation pour n'importe quoi conduit à des abus voir à de l'auto-abrutissement, on ne tue pas les mouches avec un canon!). Je pense aussi qu'il est intéressant d'étudier "l'impédance" du système ("faire de l'analyse harmonique").
- Ta simulation ne ressemble à rien, on dirait de la différence finie avec un pas de temps trop élevé. Vu la masse et la raideur, dans le cas où il n'y a pas de terme source, tu vas avoir une pulsation qui doit être entre 2 et 3 $\cdot 10^3 s^{-1}$, donc une période de l'ordre de $\approx 2\pi/(3000) \approx 2/1000 = 2 m.s$ donc si tu tiens vraiment à passer par ton logiciel, tu dois demander un pas de temps très inférieur au millième de seconde, sinon ça fait n'importe quoi.

Pour ce qui est du terme source pour lequel tu dois te débrouiller: vu qu'on a pas la moindre idée de ce que signifie cette accélération extérieur contrainte, je te proposais de te contenter de considérer que ce qui vibre c'est le support sur lequel se trouve le ressort, donc en considérant que le vecteur position de ce point est une fonction $\vec{f(t)}$ supposée connue, la longueur du ressort est donc $L(t)= || \vec{f}(t) - \vec{r} ||$. Je te recommande donc fortement de te poser la question suivante : d'où vient la vibration, note bien que sur le graphique on parle de déplacement et pas de force.
Sauf faire moi-même ton exercice (je n'en ai aucune envie), je ne peux pas t'aider au-delà.

Je trouve que tu as une belle sinusoïde.

Ta question n'était pas claire. On ne savait pas si tu lui balançais $20\text{ g}$ en impulsionnelle, indicielle ou sinusoïdale entretenue. Puisque c'est la troisième option qui semble choisie, tout ton problème / exercice se calcule dans le monde normal ou en Laplace / Fourier.