Ondes, régime forcé et modes propres

Pourquoi Pas · July 2019

Bonjour à tous
Dans le cadre d'un travail, je résous l'équation des ondes homogène $\partial_{tt}u-c^2\partial_{xx}u$ sur un domaine borné $]0,1[$ avec les conditions au bord suivantes :
-terme source $u(0,t)=A\sin(\omega_s t)$
-Dirichlet homogène à droite $u(1,t)=0$
Les conditions initiales sont mises à $u(x,0)=\partial_t u(x,0)=0$. L'idée est de voir ce que donne sur ce domaine l'apparition continue de l'excitation par le terme source.

J'ai principalement deux questions à ce sujet.

- Les CI vous paraissent-elles bien posées ? Le fait est qu'à l'instant $t=0$ la solution vaut 0 et a manifestement une dérivée temporelle nulle.

- Je vois dans diverses résolutions (type corde de Melde avec régime forcé en $\cos$ et non $\sin$ mais là n'est pas le problème) que la solution s'écrit comme une onde stationnaire calée sur la pulsation source forcée $\omega_s$ :
$u(x,t)=\frac{A}{\sin(k)}\sin(k(1-x))\cos(\omega_s t)$ avec $k=\omega_s/c$.

Je suis d'accord avec cette résolution sur les calculs, et la trouve assez naturelle dans l'idée, pour un régime établi. Mais je pense que cela nécessite que la corde ait toujours été soumise à ce mouvement d'onde stationnaire, sinon la mise en mouvement issue de mon problème génère continuellement du déphasage lors de la réflexion. Et m'est avis que le régime établi "idéal" est alors inatteignable.

Et mon problème est alors le suivant. Quand je l'implémente (Matlab), je ne trouve pas du tout cela. Ce que je trouve est une solution non stationnaire, et ce n'est pas une question de régime transitoire. Le code converge et la solution même en temps long n'est pas une onde stationnaire. Le point intéressant est que quand je regarde la FFT, j'obtiens comme attendu un pic en $\omega_s$ mais aussi sur les modes propres du système $\omega_i=i\pi c$. Et le code FFT converge également avec échantillon suffisamment long.

Soit mon approche est fausse et la solution analytique précédente est unique, soit la solution générale s'écrit, selon ce que je trouve, comme somme de la formule précédente (je trouve la même pour la composante en $\omega_s$) et des ondes stationnaires issues des modes propres (valeurs propres du laplacien en domaine borné), solutions de l'équation pour conditions homogènes de Dirichlet en 0 et 1, sous une forme du type $B\cos(\omega_i t)\sin(k x)$. Et là reste à trouver les bons $B$, éventuellement à partir des CI, d'où ma première question, car les miennes impliquent $B=0$ (ce qui n'est pas non plus ce que je "souhaite" trouver).

À mon sens la source génère continuellement l'excitation du système, et forme à chaque instant une CI à un problème commençant à ledit nouvel instant, et donc fourni aussi le phénomène du régime libre qui fait justement apparaître les modes propres.
Comme si l'excitation forcée "impose le rythme", mais excite aussi les modes propres voisins.
Le fait est qu'en résolution d'edo ou même d'edp, mathématiquement la solution est constituée de la somme de la/des solutions de l'équation donnée plus celle(s) de l'équation homogène associée.
Or si on considère un membre de droite $f$ à l'équation, tel que $f(0,t)=u(0,t)=A\sin(\omega_s t)$ et $f(x,t)=0$ sinon, et bien j'ai l'impression, sauf erreur de ma part, que le raisonnement précédent fonctionne, et donc que mon approche générale fonctionne, et qui va d'ailleurs dans le sens des résultats numériques. Après oui la valeur "utile" de $f$ ne concerne que l'intérieur du domaine, et y est nulle, donc équation homogène au final...?, mais bon.

Quel est votre avis?

Titi le curieux · July 2019

Bonjour,
Tu peux constater que la somme d'une solution de l'équation avec tes conditions et d'une solution de la même EDP, mais cette fois avec une condition de Dirichlet nulle donne une solution de l'EDP avec tes conditions, du coup, je suppose que la solution devrait plutôt avoir cette tête là:
$u(x,t)=\frac{A}{\sin (Lk)} \sin (k(L-x)) \sin (\omega_s t+\phi_n) +\sum_{n \in \mathbb{N}^*}{\sin \left(\frac{n\pi x}{L} \right) \left[ A_n \cos \left(\frac{n\pi x}{cL} \right) + B_n \sin \left(\frac{n\pi x}{cL} \right) \right] }$

Avec $L$ la longueur du machin et les paramètres $\phi_n$, $A_n$ et $B_n$ à déterminer en fonction des conditions initiales. Vu que en t=0 on a $u(x,t)=0$, on peut s'attendre à ce que pour tout $n$, $\phi_n=0$, les calculs des $A_n$ et $B_n$ n'est pas super évident (mais je pense que c'est faisable), on aurait tendance à vouloir faire un truc avec la série de Fourier de la dérivée de $\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}$ en $t=0$, mais vu qu'on a des $\cos \left(\frac{n\pi x}{cL} \right)$ et non des $\cos \left(\frac{2\pi n x}{cL} \right)$, il faut trouver une subtilité (pas d'idée, désolé).
En ce qui concerne l'interprétation, c'est souvent subjectif, cette chose-là.

Pourquoi Pas · July 2019

Merci pour ta réponse. Je suis d'accord avec ta formulation générale mais j'ai l'impression que les CI amènent $A_n$ et $B_n$ à 0...
En tout cas selon toi un régime transitoire non divergent (qui n'explose pas en amplitude) peut-il perdurer à l'infini comme ce que je suppose plus haut? Ou finit-il invariablement, en temps fini, par épouser (ou plutôt tendre vers) le mode forcé?
Je pense que les excitations harmoniques sans amortissement resteront toujours. Et si elles n'amènent pas le système à diverger, comme mes résultats semblent le suggérer, alors je suis vraiment très intéressé pour trouver comment calculer leurs amplitudes, par rapport à celle en $\omega_s$...

Héhéhé · July 2019

Il n'y a pas de terme d'amortissement dans ton équation, il est donc normal que le régime transitoire (qui correspondent à tes $A_n$ et $B_n$) ne s'éteint jamais et perdure jusqu'à l'infini. Il y a conservation de l'énergie mode par mode avec ce modèle.

YvesM · July 2019

Bonjour,

La solution donnée dans le premier message est fausse car $u(x,0)\neq 0$.

Titi le curieux · July 2019

Re,
Désolé! petite erreur dans la formule, vu qu'elle était longue et répétitive, j'ai fait pas mal de ctrl+c - ctrl+v et fait n'importe quoi donc je corrige (même si tout-le-monde a fait abstraction de la faute): $u(x,t)=\frac{A}{\sin (Lk)} \sin (k(L-x)) \sin (\omega_s t) +\sum_{n \in \mathbb{N}^*}{\sin \left(\frac{n\pi tc}{L} +\phi_n\right) \left[ A_n \cos \left(\frac{n\pi x}{L} \right) + B_n \sin \left(\frac{n\pi x}{L} \right) \right] }$.

Du reste, je suis d'accord avec Héhéhé sur la conservation des $A_n$ et $B_n$ (pour t>0, avant, ils sont tous nuls), mais ne préfère pas évoquer dans ce cadre la notion d'énergie. Qu'on fasse un modèle "ressort" ou onde électromagnétique (identité de Poynting), la densité d'énergie sera donnée par un truc du genre $\frac{d E}{dx} = \alpha \left( \frac{\partial u}{\partial t}\right)^2 + \beta \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2$ (avec $\frac{\beta}{\alpha}= c^2$), très difficile dans ce cas de parler d'énergie d'un mode, puisqu'il y a pas mal d'interférence (et là, on ne peut pas dire que les interférences se compensent quand on intègre sur toute la longueur, précisément à cause de la raison qui rend plus compliqué le calcul des $A_n$ et $B_n$). On remarque d'ailleurs qu'il y a effectivement un travail en $x=0$ et que l'énergie n'est pas constante, elle est clairement nulle en t=0 et presque toujours positive ensuite.

@YvesM, oui, mais il a signalé que dans sa référence la source était un cosinus plutôt qu'un sinus, il suffit de remplacer. Dans ce cas, on constate que $\frac{\partial u}{\partial t}$ n'est pas nul en t=0, d'où les autres termes qui doivent compenser.

Pourquoi Pas · July 2019

En effet la faute ne changeait pas la lisibilité de l'équation.
Dans l'idée elle répond à la question, ça semble cohérent. Notamment, quelqu'un m'a parlé du cours de Smirnov dans lequel un cas similaire est envisagé, avec une décomposition du problème en une partie libre "+" une partie forcée.
La différence est qu'il définissait des CI claires pour la partie libre, alors que dans notre cas les CI de cette partie sont "générées" par l'excitation source, donc un pbm différentiel qui en génère un second en cours de route.

Pour trouver les coefs $A_n$ et $B_n$, au début je partais aussi sur une conservation de l'énergie, par exemple avec Parseval. Mais la solution n'ayant pas la bonne structure, le théorème ne s'applique pas, il me semble. Et puis cette approche me paraît, dans ce cas, au mieux satisfaisante pour démontrer la conservation de l'énergie. Mais trop complexe pour en expliciter les coefs.

D'ailleurs, concernant les "énergies", je ne suis pas très à l'aise avec leur interprétation. La source stimule continuellement le champs, dans un domaine borné et imperméable. Mais pour autant il n'"injecte" pas continuellement de l'"énergie" dans le système. Or pour une source en $n\omega c$, il y a résonance. Cela s'interprète-t-il comme la distribution de Dirac? Une masse finie (donc ici une énergie finie) concentrée ponctuellement (tout va sur un seul mode) pour donner un pic infini, limite par exemple d'une gaussienne?

Et si la source est en oscillation symétriques autour d'un point d'équilibre, alors on peut imaginer que le travail produit est tantôt positif, tantôt négatif (moteur, résistant) et donc que tantôt l'oscillateur donne de l'énergie, et tantôt en reprend au système, si bien qu'au final il n'en apporte ni n'en retire. Alors d'"où" vient l'énergie du système, pour apparaître une fois pour toutes, puis se conserver?

Héhéhé · July 2019

Non il n'y a pas d'interférence entre les modes, l'équation est linéaire donc il n'y a pas d'échange d'énergie entre les modes. Et bien sûr que l'on peut parler de l'énergie d'un mode, puisqu'on a la formule de Parseval, l'énergie d'un mode est juste $\vert A_n\vert^2$.

Pourquoi Pas · July 2019

Je vois bien que les modes sont indépendants, sachant que c'est la projection sur la base de Fourier. Mais Comment explique-t-on la dépendance entre les amplitudes de ces modes et la pulsation source $\omega_s$? Car on voit que les harmoniques les plus excités sont les voisins immédiats de la pulsation source.

Héhéhé · July 2019

Il faut faire le calcul. C'est ce qui avait été fait sur ce post dans un cas similaire.

Pourquoi Pas · July 2019

Oui je vois la réponse que tu as calculée. Mais dans ce cas il faudrait considérer $f$ comme la restriction d'un signal carré valant 1 encore en $x=0$ et immédiatement 0 sur $]0,1]$? Dans ce cas j'imagine qu'on obtient les coefs $f_n$, et donc le lien général entre le mode forcé, et la partie libre de la solution?

Ne manque-t-il pas le $^2$ sur le $\omega$ au dénominateur?

Titi le curieux · July 2019

Bonjour,
Oups! c'est dingue le nombre de bêtises que je fais, dans la grosse formule, on peut mettre les $A_n$ à 0, les conditions aux limites ne permettant pas les solution en cosinus.

@Pourquoi pas: Comme tu le dis, il y a des moments où la source apporte de l'énergie et d'autre où elle en retire. Si tu considère que l'énergie de ton système est donné par une formule de type:
$ E= \int_{0}^{L}{\frac{\alpha}{2} \left[ \left( \frac{\partial u}{\partial t}\right)^2+ c^2\left( \frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\right]dx}$ (même type de formule que proposée précédemment, sauf que je me suis permis de prendre $\alpha/2$ à la place de $\alpha$ pour coller un peu mieux aux conventions habituelles), tu devrais calculer (si je n'ai moi-même pas fait d'erreur, là, je ne suis pas super confiant) qu'il y a au sein de ton système des flux d'énergie de formule $j(x,t)=-c^2\alpha\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial u}{\partial x}$, en utilisant cette formule à la limite en $x=0$ de ton système tu peux déduire une puissance. Je réponds ci-dessous à Héhéhé pour ce qui est de l'énergie des modes, mais encore une fois, je ne conseille vraiment une interprétation à base de concept, je pense préférable de ne considérer ici les différents termes de la solution que comme des outils pratiques pour qualifier la solution d'un problème dynamique, sans plus, moi mon interprétation c'est plutôt: au début il ne se passe rien, puis on balance un signal en continu, et là, il se passe des trucs (la non prise de chou est une condition nécessaire à l'art de construire des interprétations qui font l'unanimité, même si on peut parfois considérer que ça ne mène pas très loin :-D).

@Héhéhé, je suis d'accord avec la phrase "il n'y a pas d'échange d'énergie entre les modes" dans le sens où si les phases et amplitudes des différents modes sont constantes, le système ne présente alors pas de variation d'énergie (en l'absence du terme forcé, voir la suite). Mais je ne ne suis définitivement pas d'accord pour considérer l'énergie d'un mode indépendamment des autres. Le théorème de Parseval ne tient plus (d'où aussi la difficulté à calculer les amplitudes des modes propres), si on développe la formule d'énergie que je viens de proposer pour un cas Dirichlet nul des deux côtés avec seulement deux modes propres "actifs", il peut y avoir un terme croisé, ce terme croisé est certes nul si les deux modes sont "orthogonaux" (au sens d'un produit scalaire qui sera du type, pour largement simplifier, du type $\int_{0}^{L}{u_1(x,t)u_2(x,t) dx}$), ici, on aura l'orthogonalité si $L$ est multiple des périodes de $u_1$ et $u_2$, mais pas nécessairement si $L$ n'est qu'un multiple de la demi-période de l'un ou l'autre. En outre, ici, il y a, en plus des modes, le terme qu'on nommera "Melde" (en référence au nom qu'a donné Pourquoi pas) dans le message de départ de la discussion. Celui-là, même si il est constant et que les modes le sont aussi, il va clairement présenter un terme d'énergie croisé avec les modes qui est variable au cours du temps.
Encore une fois, je pense qu'on s'accorde pour dire qu'à t>0, tous les paramètres de la solution (amplitudes et phases des différents termes) sont constants, pourtant l'énergie est clairement variable et elle est même nulle en t=0.

Héhéhé · July 2019

Je ne comprends pas, les modes sont nécessairement orthogonaux. Plus précisément, les modes sont les solutions non nulles de
$$ -u'' = \lambda u, \quad u(0) = u(L) = 0$$
On trouve alors que $\lambda = n^2 \pi^2/L^2$, $n \geq 1$ entier et que
$$u_n(x) = \sqrt{\frac 2 L} \sin \left( \frac{n \pi x}{L} \right)$$
On a alors
$$ \int_0^L u_m u_n = \begin{cases} 0 & \text{si $m \neq n$} \\ 1 & \text{si $m = n$} \end{cases} $$

Titi le curieux · July 2019

Re,
Désolé, en effet, je viens de faire le calcul, j'ai fait de la merde (je suis parti à l'intuition et j'étais persuadé que le terme croisé serait non nulle pour deux termes impaires), pas de terme croisé pour les modes propres, pardon.
Bon ben puisque le théorème de Parseval s'applique, on peut tenter un calcul de la solution formelle.
Si je ne dis pas trop de conneries ce coup-là, en essayant d'avoir $\forall x \in [0,L] : u(x,0)=0 \text{ et } \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0$ ça devrait être pas trop loin de ça:

$u(x,t)=\frac{A}{\sin (Lk)} \sin (k(L-x)) \sin (\omega_s t) +\sum_{n \in \mathbb{N}^*}{\frac{\omega_s L}{c}\frac{A}{(L.k)^2-(\pi n)^2}\sin \left(\frac{n\pi tc}{L}\right) \sin \left(\frac{n\pi x}{L} \right) }$

P.S: Il reste quand même un terme d'énergie croisé entre le mode "Melde" et l'ensemble des modes propres et c'est lui qui varie.
re-P.S : je crois bien m'être planté dans un premier temps sur le dernier calcul, j'ai fait bêtement des intégration sur [0,L], il aurait sûrement été moins stupide de faire des intégrations sur [0,2L]. Du coup les constantes sont fausses.

Pourquoi Pas · July 2019

J'ai vu une approche similaire sur un forum, où l'on propose de décomposer la solution en $u_1$ (Melde) + $u_2$ (libre). La somme des deux sous solutions respecte bien les CI et CL. Et elles sont décomposées comme ça:
-Pas de CI, CL non homogènes donne solution $u_1$ (donc premier terme du membre de droite dans ta formule)
-CL homogènes pour l'autre solution, en maintenant la CI $u_2(x,0)=0$ et en exigeant $\partial_t u_2(x,0)=-\partial_t u_1(x,0)$ qui est calculable. Et là on récupère ton membre de droite par séparation des variables ou proj sur la base de Fourier, et les coefficients $A_n$ et $B_n$ se calculent à partir d'un développement Fourier de la CI modifiée.

Comme dit Héhéhé, les modes libres sont par construction orthogonaux. Mais cette famille là n'est pas nécessairement indépendante du mode forcé.

Par ailleurs je suis bien d'accord avec toi pour les interprétations. Physiquement ça n'a pas de sens, cette décomposition. Ce n'est pas "ontologiquement" la somme de pleins d'ondes stationnaires qui existent en elles-même. Il s'agit bien d'un outil mathématique pour représenter comment le problème est bâti. Mais ça reste une approche bien utile!

Sinon pour Parseval, uniquement valable pour $u_2$ à mon sens. Non?

Héhéhé · July 2019

Je pense que n'importe quel acousticien ou musicien ne sera pas d'accord avec ton affirmation que cette décomposition n'a pas de sens physiquement. Un son, ca se décompose en fréquence !

Pourquoi Pas · July 2019

Fondamentalement il me semble qu'on tente de représenter un phénomène extérieur à nous dont la nature nous est inaccessible (car il nous apparaît que via un intermédiaire, nos sens) par une représentation mentale, le modèle mathématique avec la théorie physique. Ces modèles ne "sont" jamais la réalité, mais des façons d'en exhiber les régularités qu'on est capable d'observer, jusqu'à ce qu'une nouvelle observation nous force à peaufiner ou renouveler le paradigme.
Mais même si un modèle semble convenir "définitivement" à la réalité qu'il est censé décrire (comme notre discussion plus haut, les harmoniques, le timbre d'un son....), je ne pense pas qu'on puisse dire qu'il "est" cette réalité. Donc l’acousticien aura son interprétation (que je partage en effet vu que c'est assez "naturel" comme vision des choses), qui ne fait office que d'interprétation et non d’ontologie.

Enfin ça n'est là que mon avis, qu'en penses-tu ?

Pourquoi Pas · July 2019

@ Titi
J'obtiens aussi une équation du genre. Mais je ne vois pas comment tu obtiens ton coef $\frac{\omega_sLA}{c((Lk)^2-(n\pi)^2)}$, où sa version corrigée.

A mon sens la solution se compose de $u=v+w$ avec $v$ la première partie (mode forcé Melde) et $w$ ta somme (modes libres), en ayant que $\partial_t u(x,0)=0$ implique que $\partial_tv(x,0)=-\partial_tw(x,0)$.
Ainsi ton coef devrait correspondre aux coefs de Fourier de $\partial_tw(x,0)=-\frac{A\omega_s}{\sin(Lk)}\sin(k(L-x))$ en considérant la base de Fourier $L\pi$ périodique $\lbrace \sin(n\pi x/L)\rbrace$.

Mais pour moi c'est bizarre de développer $\sin(k(L-x))$ sur cette base, leurs périodes ne sont pas les même... Du coup je ne vois pas comment ce calcul est faisable

Titi le curieux · July 2019

En fait, ce que j'ai fait est semblables à ce que tu décris là: obtenir en $t=0$ et $\forall x\in]0,L]$ $\partial_t w(x,t)+\partial_t v(x,t)=0$ (note, je me suis aussi peut-être planté dans le signe). Disons qu'en ce qui concerne le problème de la périodicité, on ne va pas s'en soucier plus que ça, on a une fonction (de $x$) continue sur un segment borné, on tente de l'approcher au mieux avec une série de Fourier de la longueur du segment (là je ne sais pas trop trop ce que la série doit donner pour la limite en $x=0$). Cependant, c'est vrai qu'on peut se poser des questions:
- On s'est concentré sur les modes, du coup pour la série de Fourier, on a viré les cosinus (et c'est pas bien, la série de Fourier du terme Melde présente clairement des termes en cosinus).
- On peut s'étonner de l'apparition des "modes impaires", ils ont une tête à apparaître dans la série d'un fonction définie sur un intervalle 2L, mais L, c'est moins pratique. Cela dit, comme l'a signalé Héhéhé, il est vrai que pour ce qui concerne les sinus, on a quand même des égalités du genre $\int_{0}{\pi}{\sin(nx)\sin(-kx)dx}=0$ (attention, ce n'est pas forcément vrai si tu mets un cosinus et un sinus), on sens bien qu'il y a un truc à faire de ce côté-là, mais on ne connait pas trop alors on reste méfiant.
- Il n'y a pas de terme constant, alors que franchement, le terme Melde a vraiment une tête à ce que son intégrale sur le segment soit non nulle (tu me diras, d'un autre côté, les termes impaires doivent compenser, mais bon, comme on ne connais pas les propriétés, on va faire comme ci-dessous).

Je te propose une petite triche, qui doit fonctionner pour ce cas(parce que la : On modifie un peu le système, c'est-à-dire qu'au lieu de d'une longueur L et de la condition Dirichlet nulle en L on prend un truc de longueur 2L avec en 2L la condition opposée à celle qu'on a en 0, tu remarques que parmi les solutions de ce système, il y a les "extensions" des solutions du premier système. Ce coup-là, il se trouve que ça se passe mieux. Le terme Melde est d'intégrale nulle et les termes en cosinus de sa transformée de Fourier sont nuls, on obtient donc juste les termes qui nous intéressent (et c'est fort plaisant).
De là tu appliques la formule sans te poser plus de question:
$A_n=-\frac{\omega_s}{\omega_L}\frac{1}{2L}\int_{0}^{2L}{sin (k_nx)\frac{A}{\sin (kL)} \sin (k(L-x))dx}$ avec $\omega_n$ et $k_n$ les machins qui se trouve dans la formule générale. Et finalement, j'ai l'impression qu'on retrouve en effet ce que j'avais proposé précédemment (à part que je n'avais pas fait attention au signe). Je ne m'attendais pas à ça, au moins dans le cas $n$ paire, peut-être qu'on aurait pu y aller directement, mais tant mieux. Si quelqu'un a une idée là-dessus, ce sera plus intéressant que mon approche de bricoleur physicien.

Remarque: là, on est directement aller chercher un truc qui colle avec la dérivée en t sans se poser de question sur les phases qu'on a prise nulle au départ, sans se poser de question. Pour qualifier une solution non nulle et avec une dérivée non nulle, dans ce système tu devrais calculer les deux puis calculer l'amplitude et la phase (en temps) qui collent avec ça.

Pourquoi Pas · August 2019

Oui c'est au final ce qui apparaît pour moi aussi. Je pense que c'est tout à fait valable, mais il y a des points qui apparaissent être difficiles à prendre en compte, venant du contexte physique.
Par exemple si on considère un instant initial non pas avec les grandeurs égales à $0$ pile à $t=0$ mais égales à $0$ pour $t\leq0$, alors il faut faire autrement.

Je pense que dans ce cas il faut considérer la partie "préMelde" qui représente l'émission de la perturbation qui se propage ($\sin(wt-kx)$). Lorsque l'onde arrive au bord à $t=L/c$ on passe en Melde stationnaire, donc le terme classique avec séparation de $x$ et $t$, respectant les conditions au bord. Et physiquement c'est à partir de cet instant que sont fournies au champs des conditions initiales, qui vont exciter les modes propres, et qu'apparaissent les termes qu'on a discutés, décalés temporellement de $L/c$.

Donc mathématiquement ce "serait" une solution composite définie par morceaux.

SR57 · November 2019

Bonjour
Je suis nouvelle sur le forum.
Je suis issue d'un parcours purement mathématique et non physique, l'interprétation concrète des résultats m'est du coup un peu difficile. Je cherche cependant des applications concrètes.
Je m'intéressais justement à l'équation des ondes que je résous par séparation des variables. J'ai posé exactement la même chose que PourquoiPas, c'est pourquoi je me permets de relancer la discussion.

Je vous mets en pièce-jointe mon fichier.
[small]Pour cette résolution, je me suis inspirée d'un exemple de l'ouvrage suivant, où il s'agissait de résoudre une équation des ondes non homogène, avec CL et CI nulles.
Alexander Komech, Andrew Komech, Principles of Partial Differential Equations, Springer, 2009.][/small]

Dans les solutions proposées dans les messages précédents pouvez-vous me dire d'où vient la première partie, juste avant la série, celle en $\dfrac{A}{\sin (Lk)} \sin\big(k(L-x)\big)\sin(\omega t)$ ? en particulier, qu'est-ce que $k$ ?

Je voulais modéliser l'expérience de la corde de Melde, mais je ne vois pas comment relier ma solution à ce qu'on peut lire ici par exemple : http://olivier.granier.free.fr/ci/cordes/co/rappels-de-cours-corde-melde.html
(bien sûr j'ai utilisé un sinus en terme source et non un cosinus comme sur le site, mais ça ne changera pas grand chose). Est-ce que peut-être la solution du site modélise, comme elle le dit, le "régime forcé obtenu après disparition du régime transitoire", alors que ma solution est le régime transitoire en question ?

Merci pour vos avis,
bien cordialement

Ondes, régime forcé et modes propres

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