Solution analytique 2D advection-diffusion

Bonjour à tous,
Je cherche à calculer la solution analytique de l'équation d'advection-diffusion (simplifiée) à deux dimensions suivante. \begin{equation}

\frac{\partial C}{\partial t} + \lambda C+ u_x \frac{\partial C}{\partial x} + u_y \frac{\partial C}{\partial y} - D_x \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} - D_y \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} = 0,

\end{equation} $C$ a (par exemple) les dimensions d'une concentration $[ML^{-3}]$, les paramètres $\lambda>0$, $u_x$, $u_y$, $D_x>0$ et $D_y>0$ sont des constantes et ont les dimensions appropriées.
Les conditions initiales et aux limites sont les suivantes.
\begin{equation}
\begin{split}
C(|x|\leq x_0,|y|\leq y_0,t=0) &= C_0,\\
C(|x|=x_{L},y,t) &= 0, x_{L}>x_0>0,\\
C(x,|y|=y_{L},t) &= 0, y_{L}>y_0>0.
\end{split}

\end{equation} Première remarque, la condition $C(|x|\leq x_0, |y|\leq y_0, t=0) = C_0$ me semble compliquée à traiter telle quelle. Je pense donc la traiter en deux temps. Dans un premier temps considérer simplement $C(x=x_0,y=y_0,t=0) = C_0$ puis éventuellement intégrer la solution sur les intervalles correspondants. Est-ce une bonne idée ?
Après quelques recherches sur la manière de procéder, j'ai considéré une méthode de séparation des variables en posant $C(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)$.
\begin{equation}
\frac{1}{T}\frac{\partial T}{\partial t} + \lambda + u_x \frac{1}{X}\frac{\partial X}{\partial x} + u_y \frac{1}{Y}\frac{\partial Y}{\partial y} - D_x \frac{1}{X}\frac{\partial^2 X}{\partial x^2} - D_y \frac{1}{Y}\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2} = 0.

\end{equation} Par application de la méthode de séparation des variables, trois fonctions ne dépendant pas de la même variable ne peuvent être égales qu'à des constantes, de sorte que $$
C_T+C_X+C_Y=0.
$$ La recherche des solutions $X$ et $Y$ des équations différentielles vont générer chacune deux constantes, par exemple $A$ et $B$ pour $X$ et $E$ et $F$ pour $Y$.
Premier constat, j'ai 6 équations et 7 inconnues. Les 6 équations sont : une pour $T$ avec la condition initiale, deux équations pour $X$ avec les deux conditions aux limites, deux équations pour $Y$ avec les deux conditions aux limites et enfin la relation entre les constantes $C_T+C_X+C_Y=0$. Je remarque qu'en divisant par l'une des constantes, cette dernière équation l'on peut sans doute se ramener à la détermination de deux constantes seulement. Je peux donc "choisir" $C_T=-1$ par exemple. Est-ce correct ?
Finalement, j'en arrive à mon problème, je ne parviens pas dans les conditions présentées à trouver des solutions $X$ et $Y$ qui satisfassent aux conditions aux limites autres que les solutions triviales $X=0$ et $Y=0$.
Je vous remercie pour votre aide.
Cordialement.