Équation différentielle

Bonjour,

Tu as divisé par un vecteur et, dans ton cours, on n'a pas défini une telle opération, n'est-ce pas ?

Reviens aux composantes du vecteur : $\displaystyle {d \over dt} \vec{V_1} + r \vec{V_1} = \vec{g}$ donne $\displaystyle {d \over dt} (V_1)_i + r (V_1)_i = g_i$ pour la composante $i$ du vecteur $\displaystyle \vec{V_1} = ((V_1)_1, ..., (V_1)_i,...)$. Tu sais résoudre : $\displaystyle (V_1)_i =a_i e^{-rt} + {g_i \over r}$ avec $\displaystyle a_i$ une constante d'intégration qui diffère pour chaque composante : on a donc : $\displaystyle \vec{V_1} =\vec{a} e^{-rt} + {\vec{g} \over r}.$ On a rangé les composantes $a_i$ dans le vecteur $\vec{a}.$

L'équation différentielle est du premier ordre : solution générale de l'équation homogène + solution particulière (ici une constante).

Je vais simplement répéter ce qu'à dit YvesM : tu divises par des vecteurs donc ce que tu fais n'a aucun sens.

Pour résoudre ton équation différentielle, il faut d'abord comprendre ce que ça veut dire. Ici tu as des égalités entre vecteurs tridimensionnels, il s'agit donc d'une liste de trois égalités, composante par composante. L'équation différentielle se traduit donc en trois équations différentielles au niveau des composantes, et ces équations différentielles sont de la forme $$f' + r f = g,$$ où cette fois $f$ et $g$ sont des fonctions $\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$, que tu sais résoudre.