Vitesse maximale-Maxwell
Bonsoir,
Je considère les quatre équations de Maxwell (sous forme locales, dans le vide) avec les fameuses constantes $\mu_0$ et $\varepsilon_0$. Je note le système d'équations $E$.
Dans les cours sur l'électromagnétisme (puis en relativité restreinte) on pose $c^2\mu_0 \varepsilon_0=1$ et on dit "voilà la vitesse de lumière à une vitesse maximale".
De ce que je comprends, on devrait pouvoir montrer que si une onde transversale est solution de $E$ alors sa vitesse $v$ vérifie $$v^2\mu_0 \varepsilon_0=1(*)$$ donc la vitesse d'une onde électromagnétique dans le vide admet une vitesse maximale.
Ce qui a pour conséquence que si la vitesse de la lumière est une onde électromagnétique alors elle admet une vitesse maximale. Plusieurs questions donc:
1) Comment montrer la proposition $(*)$?
$2)$ Est-ce que ce que j'ai écrit est correct ? Autrement dit, est-ce que toute les ondes transversales dans le vide ont la même vitesse maximale ?
3) Nous sommes d'accord que la phrase "la lumière est une onde électromagnétique" est une hypothèse (je me place au niveau formel) ?
(Je suis sûr avec probabilité $0.9$ de $2)$ et $3)$ mais c'est pour lancer la discussion.)
Je considère les quatre équations de Maxwell (sous forme locales, dans le vide) avec les fameuses constantes $\mu_0$ et $\varepsilon_0$. Je note le système d'équations $E$.
Dans les cours sur l'électromagnétisme (puis en relativité restreinte) on pose $c^2\mu_0 \varepsilon_0=1$ et on dit "voilà la vitesse de lumière à une vitesse maximale".
De ce que je comprends, on devrait pouvoir montrer que si une onde transversale est solution de $E$ alors sa vitesse $v$ vérifie $$v^2\mu_0 \varepsilon_0=1(*)$$ donc la vitesse d'une onde électromagnétique dans le vide admet une vitesse maximale.
Ce qui a pour conséquence que si la vitesse de la lumière est une onde électromagnétique alors elle admet une vitesse maximale. Plusieurs questions donc:
1) Comment montrer la proposition $(*)$?
$2)$ Est-ce que ce que j'ai écrit est correct ? Autrement dit, est-ce que toute les ondes transversales dans le vide ont la même vitesse maximale ?
3) Nous sommes d'accord que la phrase "la lumière est une onde électromagnétique" est une hypothèse (je me place au niveau formel) ?
(Je suis sûr avec probabilité $0.9$ de $2)$ et $3)$ mais c'est pour lancer la discussion.)
Réponses
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Bonsoir,
On peut montrer, en combinant les équations de Maxwell dans le vide et les formules sur le rotationnel et compagnie, que $\overrightarrow\Delta \overrightarrow E =\varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial ^2 \overrightarrow E }{\partial^2 t}$. Cela montre qu'une onde électromagnétique peut se propager dans le vide à la vitesse $c:=\frac1{\varepsilon_0\mu_0 }$. En effet, des fonctions du type $\overrightarrow E(x,y,z)= \sin(k(x-ct))\vec{u}$ sont solutions de cette équation par exemple. La lumière visible est un cas particulier d'onde électromagnétique (caractéristisée par sa fréquence).
Ainsi, dans le vide, les ondes électromagnétiques se propagent uniquement à la vitesse $c$ ; ce n'est pas juste une vitesse maximale (dans d'autres milieux, c'est une toute autre histoire).
Je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire dans le question 3).
J'espère que je n'ai pas dit de bêtise. Je n'ai pas touché à l'électromagnétisme depuis un an. -
Merci pour ta réponse mais je ne vois pas comment de $\overrightarrow E(x,y,z)= \sin(k(x-ct))\vec{u}$ avec $c:=\frac1{\varepsilon_0\mu_0 }$ solution de "ton" équation montre que la vitesse de ton onde est bien $c$ ?
Si on dit: Soit $\overrightarrow E(x,y,z)= \sin(k(x-ct))\vec{u}$ avec vitesse $c$ c'est foutu.
Ce que je dis veux dire pour 3) c'est que des expériences physiques montrent le caractère ondulatoire de la lumière (je suppose, sachant qu'en MQ la lumière est vue comme des particules). Mais peut-on déduire formellement d'hypothèses "enfantines" que la lumière est une onde électromagnétique ? Bon, je me rends compte que ce n'est pas clair mais peut-être quelqu'un pourra me clarifier moi même. :-D
Edit: Oui Calli tu as raison mon premier message est très mal écrit, je suis désolé. Ma question est vraiment de savoir comment prouver qu'une onde solution de $E$ a bien une vitesse donnée par $c:=\frac1{\varepsilon_0\mu_0 }$. Et 3).
Edit2: Je précise un peu 3). En RR si on suppose que l’espace-temps est homogène et isotrope alors (c'est un théorème) on peut montrer l’existence d’une vitesse limite de propagation (théoriquement indépendante de la vitesse de la lumière et du référentiel d’observation). Ainsi, si on suppose que l’espace-temps est homogène et isotrope, alors une hypothèse de RR est de dire que cette vitesse limite est celle de la lumière dans le vide conformément aux équations de Maxwell. J'essaye de comprendre quelle est la "nature" de cette dernière phrase. -
Bonjour,
. Maxwell montre que des ondes électromagnétiques se propagent dans le vide. Il m’a fallu 10 ans pour m’y faire... et encore.
Ces ondes se propagent à une vitesse constante.
Cette constante est appelée vitesse de la lumière.
. La lumière est, par définition, une onde électromagnétique (dont les sources sont les charges électriques en mouvement).
Ce n’est pas une hypothèse, c’est une définition.
Un peu comme 2 est 1+1 est la définition de 2 et non pas une hypothèse.
. La maximalité est une autre affaire. En physique théorique elle est postulée : c’est un des postulats de la relativité restreinte. On peut s’amuser à remplacer ce postulat par d’autres pour en déduire que cette vitesse est maximale. Mais on tourne un peu en rond.
. @Calli a montré comment on calcule la vitesse de propagation et que, par définition, c’est c. On n’a pas à démontrer que c’est c puisque c’est la définition de c.
En physique, soit on fait de l’intuition, des expériences, de l’histoire des sciences... soit on fait de la physique mathématique : on formule des axiomes et roule ma poule. Mais dans ce dernier cas, on pose des définitions. Et il faut faire l’effort de comprendre en quoi ces définitions axiomatiques sont pertinentes (ou pas).
Souvent elles ne sont pertinentes que parce que les expériences sont concordantes. -
On peut démontrer mathématiquement que toute solution de l'équation de d'Alembert $\frac{\partial ^2 E }{\partial^2 x} =\frac1{c^2} \frac{\partial ^2 E }{\partial^2 t}$ en dimension 1 (l'équivalent de $\overrightarrow\Delta \overrightarrow E =\frac1{c^2} \frac{\partial ^2 \overrightarrow E }{\partial^2 t} $ qui est en dimension 3) est la somme d'une onde progressive qui va vers la droite et d'une onde progressive qui va vers la gauche, et que ces deux ondes vont exactement à la vitesse $c$. Je pourrai écrire la preuve demain si tu veux, ça n'est pas très compliqué (là je suis sur téléphone et c'est galère de taper des formules).
Ainsi, on peut démontrer que dans une situation tridimensionnelle invariante par toute translation qui stabilise un certain plan fixé (i.e. seule compte la coordonnée selon un axe), les ondes électromagnétiques ne peuvent se propager qu'à la vitesse $c$. Et il est naturel que ce résultat s'étende à des situations plus générales, avec moins de symétries (et ça doit probablement pouvoir se démontrer aussi). -
Merci Yves M.
Pour moi $1+1=2$ est un théorème mais c'est une autre histoire.
Si je comprends ce que tu dis, c'est l'expérience qui met en évidence la propagation des ondes électromagnétiques à une vitesse $c:=\frac1{\varepsilon_0\mu_0 }$ , c'est ça ?
Je pensais qu'on pouvait le montrer mathématiquement à partir d'axiomes "enfantin", je suis un peu triste. Mais effectivement sur la maximalité, je me suis rattrapé sur mon deuxième message.
Calli semble dire le contraire, l'espoir renaît. Je vais essayer de faire l'exercice alors. Merci -
Yves, ça n'est a priori pas évident que la constante $c$ qui apparaît dans l'équation de propagation va être la vitesse de propagation. C'est pour ça que j'ai dit dans mon message précédent que ça se démontre mathématiquement.
Évidemment, un esprit physicien sera probablement assez convaincu par le fait qu'une constante dans l'équation qui est homogène à une vitesse donne la célérité caractéristique de propagation de l'onde. Mais on a en fait mieux, puisque $c$ est la célérité exacte de l'onde. Et ce raisonnement physicien ne le montre pas (il me semble). -
Je tente de répondre à la question 3). Je pense qu'il faut être pragmatique. La lumière a les propriétés d'une onde dans de nombreuses situations et la théorie électromagnétique de Maxwell décrit très bien son fonctionnement (jusqu'à un certain point où il faut prendre en compte le fait qu'il y a des photons). Se demander si la lumière est "vraiment" une onde électromagnétique n'a, à mon avis, pas beaucoup de sens. Ce qui compte c'est que l'électromagnétisme la décrive suffisamment bien.
Dans des situations plus complexes, on peut avoir besoin de théories plus précises (je crois que ça s'appelle l'électrodymanique quantique), mais elles aussi ont probablement leurs limites. -
Bonjour,
. 1+1=2 est une définition. Ce n’est pas un théorème. Pour t’en rendre compte, comment définis-tu 2 ? Moi je sais : c’est 1+1.
. Il n’y a rien de facile à démontrer que c est maximale. C’est pas pour rien qu’on le postule. Donc on ne le démontre pas. On fait des mesures et des expériences : elles sont compatibles avec ce postulat (jusqu’à présent).
Et dans la théorie on crée un axiome : donc on ne l’a pas démontré.
Bref, c’est mission impossible. Quand on écrit proprement selon certains et salement selon d’autres des équations de relativité restreinte on tombe sur les tachyons qui ne respectent pas la maximalité de c puisqu’ils vont plus vite (si ils existent).
La mesure récente d’ondes gravitationnelles a montré que ces ondes se sont propagées à la vitesse de la lumière (mesurée aujourd’hui). Il n’y a pas que la lumière qui se propage à la vitesse de la lumière... -
Tu fais des farces YvesM ? Comment définis-tu l'opération $+$ ? $2$ est une abréviation pour $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}.$ $1+1=2$ est un théorème, et de toute façon une défintion en mathématiques c'est un théorème. Et même si on se place à un niveau philosophique, le concept de nombre $2$ n'est pas contenu dans le concept de nombre $1$, c'est un jugement synthétique donc dire que c'est une "définition" n'a aucun sens.
Oui pour la maximalité j'ai dit n'importe quoi dans mon premier message et je me suis rattrapé dans le second, enfin peut-être pas ?
La question est de savoir si on peut prouver que la vitesse d'une onde (disons par définition solution de l'équation d'Alembert) admet une vitesse, et que cette vitesse est bien $c:=\frac1{\varepsilon_0\mu_0 }$. À la rigueur, même si "admet une vitesse" est une hypothèse, aucun problème pour moi.
Calli semble répondre que oui. -
Bonsoir,
O.J: ZF ne définit pas d'addition par défaut, quand tu écris des ordinaux de Von Neumann et que tu parles d'addition, on est bien embêté. Je ne crois pas le théorème soit que 1+1=2, mais plutôt qu'on peut définir une structure de monoïde compatible avec l'opération de succession ( i.e qu'il existe effectivement une application de $E^2$ dans $E$ compatible avec les deux règles d'addition de Peano). Après ça se démontrera comme dans Peano, c'est à dire assez trivialement (je ne sais pas ce qu'il m'arrive ce soir, j'écris de la physique en logique et des trucs que je classerais en logique en physique, je crois que le confinement me rend fou! Mais ce n'est pas moi qui ai commencé) par définition 1=s0 (c'est le successeur de 0) et 2=s1=ss0 et en utilisant les règles d'addition de Peano, on aura $1+1=1+ s0=s(1+0)= s1=2$.
Par ailleurs, si tu as objet chargé et que tu commence à le déplacer (avec une accélération finie), la modification du champs électromagnétique à un point se trouvant à une distance $d$ ne sera perçue qu'après $\Delta t= c/d$.
Les étudiants en physique entendent des expressions comme "fonction de Green" ou "propagateur de Green" à peu près quinze fois par jour (et c'est vite saoulant). Du coup, je n'ai pas envie d'en parler, trop de souvenirs douloureux, mais tu peux t'y intéresser vu les questions que tu te poses. -
Je propose de cesser d'utiliser l'exemple 1+1=2, qui est visiblement trop complexe pour qu'un consensus se dégage à son sujet.
-
La lumière est, par définition, une onde électromagnétique (dont les sources sont les charges électriques en mouvement).
Ce n’est pas une hypothèse, c’est une définition.
Non, non et non. Ce n'est pas une question de définition (qui a toujours quelque chose d'arbitraire). Si l'on peut identifier la lumière à une onde électromagnétique c'est grace aux expériences de Hertz qui à la fin du XIX-èime siècle a démontré expérimentalement non seulement l'existence des ondes électromagnétiques prédites par la théorie de Maxwell mais aussi le fait que ces ondes électromagnétiques possédaient toutes les propriétés que l'on attribuait à la lumière (transversalité, polarisation, réflexion et réfraction etc...).
Maxwell dans son traité (plus de 20 ans avant les expériences de Hertz) avait donné une valeur de propagation pour les ondes électromagnétiques (qui à ce stade de l'histoire sont purement théoriques) qui est très proche de celle déterminé expérimentalement pour la lumière. Mais ce n'est pas suffisant pour identifier la lumière avec une onde électromagnétique. Il aura fallu Hertz pour faire l'idéntification finale entre les deux concepts. -
Je suis d'accord avec Serge. Pour moi, la définition de la lumière est celle qui est dans le dictionnaire, quelque chose comme "le phénomène qui fait que j'arrive à voir avec mes yeux" (sûrement mieux dit dans le dictionnaire). Le fait que c'est une onde électromagnétique est un constat expérimental.
-
Edit2: Je précise un peu 3). En RR si on suppose que l’espace-temps est homogène et isotrope alors (c'est un théorème) on peut montrer l’existence d’une vitesse limite de propagation (théoriquement indépendante de la vitesse de la lumière et du référentiel d’observation). Ainsi, si on suppose que l’espace-temps est homogène et isotrope, alors une hypothèse de RR est de dire que cette vitesse limite est celle de la lumière dans le vide conformément aux équations de Maxwell. J'essaye de comprendre quelle est la "nature" de cette dernière phrase.
Il faut comprendre que l'existence du groupe de Lorentz (qui est consequence de l'homogénéité et isotropie de l'espace et de l'homogénéité du temps) n'a aucune relation avec l'électromagnétisme, bien que historiquement et je dis bien historiquement c'est l'électromagnétisme qui a amené Einstein à interpréter correctement le groupe de Lorentz et à identifier c avec la vitesse de la lumière (photon nécessairement de masse nulle)
Ceci dit, si un jour on découvrait que le photon avait une masse non nulle, est-ce que la relativité restreinte cessairait d'être valide ? Non, et la raison réside dans le fait que le paramètre c qui s'identifie avec la vitesse de la lumière est une identification de nature expérimentale. La constante limite continuirait à exister meme si le photon avait une masse non nulle. Cependant on ne pourrait plus identifier c avec la vitesse du photon. -
Bonjour à tous,
Serge, "Hertz a démontré expérimentalement non seulement l'existence des ondes électromagnétiques prédites par la théorie de Maxwell ": pourrais-tu expliquer la procédure en quelques lignes ou alors un pdf ?
Mon but est de comprendre le slogan qu'on lit toujours dans les cours d'introduciton à la RR et dans les cours d'électromagnétisme comme déjà dit plusieurs fois, c'est tout.
Autrement dit qu'on ne déduit pas du système $E$ que les ondes se propagent à une vitesse finie donnée par la relation qu'on connait tous.
Il serait peut-être plus honnête de simplement montrer que dans le système $E$, les équations de Gauss et de Ampère ne sont pas invariantes par le groupe de Gallilée et de ne pas parler de la vitesse de la lumière. -
@ Yves M :
Bien sur il faut distinguer entre physique expérimentale, physique théorique et physique mathématique. Il faut distinguer mais pas ignorer les unes ou les autres branches. La physique mathématique qui est une branche de la physique n'existe pas dans un isolement absolu. Les definitions que l'on pose, les postulats ou axiomes que l'on choisit ont comme support les résultats de la physique expérimentale que l'on ne peut ignorer. Dans le cas contraire on aurait des définitions et postulats vides de sens. Dans ce cas mieux vaut se tourner alors vers l'étude des mathématiques pures et les systèmes formels.
La physique mathématique a différentes finalités :
1 - le développement d'outils mathématiques au profit de la physique
2 - à l'inverse prendre les outils développés par les physiciens et chercher à en donner un sens mathematique cohérent.
C'est grace aux expériences de Hertz que l'on peut poser une définition de la lumière comme une onde électromagnétique. Si on oubli Hertz la seule chose que l'on a c'est une définition vide. -
@ O.J :
Pour les experiences de Hertz cherche sur les wikipedia français et anglais.
Les équations de Maxwell microscopiques sont les postulats de la théorie l'électromagnétique dans le vide.
Une conséquence de ces équations c'est l'existence d'une équation aux dérivées partielles de type hyperbolique où la constante c s'interprète comme la vitesse de propagation de l'onde. Pourquoi ? Pour des simples raisons dimensionnelles.
Les équations aux derivées partielles de la physique se classent en trois grandes catégories, les équations hyperboliques (qui correspondent à des phénomènes de propagation à vitesse fini), les équations paraboliques (qui correspondent à des phénomènes de diffusion) et les équations elliptiques qui correspondent à des phénomènes de propagation à vitesse infinie.
La présence de $\epsilon_0$ et de $\mu_0$ dans les équations de Maxwell n'a rien de spécial. Dans le système MKSA ces deux constantes qui n'ont aucune signification physique sont présentes uniquement pour des raisons dimensionnelles. Dans le système CGS par contre les équations de Maxwell font intervenir une seule constante, la constante c vitesse de la lumière dans le vide.
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