Potentiel unidimensionnel d'un trou noir

PinkMan · May 2020

Bonjour
Je suis en train de construire un modèle de trou noir en une dimension, et pour cela j'ai besoin de trouver un potentiel tel que le volume de phase doit être soit proportionnel à $e^{E^2}$, i.e. : $$

\Omega(E) \sim \int_{E'<E} dxdp \sim e^{E^2},

$$ Où $E$ est l'énergie du sytème : $E = \frac{p^2}{2m} + V(x)$. J'ai comme l'impression que le potentiel il doit être logarithmique, mais je n'arrive pas à le prouver. Des idées ?

Héhéhé · May 2020

Peux-tu préciser ton problème et tes notations: c'est quoi $e$, $E$, $E'$, sur quoi tu intègres exactement ($x$ et $p$ ?)... Ca sera plus simple de te répondre.

PinkMan · May 2020

Alors E est bien évidement l'énergie du système: $E= \frac{p^2}{2m}+ V(x)$.
$p$ et $x$ sont respectivement la quantité de mouvement et la position.
L'intégrale signifie que j'intègre sur tout $x$ et $p$ qui vérifient $ \frac{p^2}{2m}+ V(x) = E' < E$. Le résultat final doit être proportionnel à l'exponentielle de l'énergie au carré. Dans ce cas $e$ est la fonction exponentielle.

La question est de trouver une fonction $V(x)$ qui vérifie cette propriété.

Titi le curieux · May 2020

Bonjour,

En ce qui me concerne, je ne vois pas le rapport avec les trous noirs, mais ce n'est pas grave...

Je te proposerais bien de faire un coup d'analyse synthèse, d'ajouter des hypothèses raisonnables, d'écrire une intégrale de faire un changement de variable et d'en déduire $\frac{\partial V}{\partial x}$, mais je crois qu'il y a un bon gros problème:

En ce qui me concerne, je considère que la fonction $E\mapsto \Gamma (E)$ doit au moins présenter ces deux propriétés sympatoches pour correspondre à un énoncé de physique classique avec tes termes:

- Elle est croissante sur son intervalle de définition (ça c'est évident, par définition de $\Gamma$ et propriété d'une mesure).
- Si l'intervalle de définition de la fonction possède une borne inférieure dans $\mathbb{R}$ (ça doit être plus compliqué avec des "puits de potentiel infini"), alors, la limite de $\Gamma$ en cette borne inférieure doit être nulle.

Du coup, je ne crois pas en l'existence d'un potentiel qui vérifierait ces propriétés, je considère que la fonction $E\mapsto e^{E^2}$ n'a pas "d'assez bonnes propriétés".

YvesM · May 2020

Bonjour,

$\displaystyle V(x) = A \sqrt{|\ln x/a|}\geq 0$ avec $a>0$ une longueur et $A>0$ une énergie.

De $\displaystyle {p^2 \over 2 m} + V(x) \leq E$ on tire $|\ln x/a| \leq (E/A-{p^2 \over 2 m}/A )^2$ puis $\displaystyle a e^{-(E/A-{p^2 \over 2 m}/A)^2} \leq x \leq a e^{+(E/A-{p^2 \over 2 m}/A)^2}$, puis $\displaystyle \int dx = a e^{+(E/A-{p^2 \over 2 m}/A)^2}$ puisque l'autre terme est négligeable.
De $\displaystyle {p^2 \over 2 m} + V(x) \leq E$ on tire $\displaystyle p \leq \sqrt{2 m E}$ puis $\displaystyle \int_0^{\sqrt{2 m E}} dp a e^{+(E/A-{p^2 \over 2 m}/A)^2} \leq \sqrt{2 m E} a e^{(E/A)^2}.$

PinkMan · May 2020

Merci pour votre analyse, YvesM. Je vais essayer de partir de là pour peut-être même trouver une égalité.

Et merci pour votre remarque, Titi le curieux. Un système dont le volume de phase à l'échelle de $e^{E^2}$ est un système simplifié qui a des propriétés un peu semblables aux propriétés d'un trou noir.

Titi le curieux · May 2020

Re,

Je crois que j'ai mal interprété le symbole d'équivalence, je croyais que ça signifiait proportionnalité (et me suis dit qu'il y avait un gros problème en dessous de 0). :-D

Potentiel unidimensionnel d'un trou noir

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