Raisonnements physiques élégants et rigoureux
Bonjour,
Une récente discussion, assez critique, sur la qualité des raisonnements physiques m'a donné envie d'ouvrir ce fil pour partager de beaux raisonnements physiques. J'ai eu la chance en spé d'avoir un prof de physique exceptionnel – Jean-François Logeais – qui, en plus d'être d'une très grande gentillesse, avait toujours une rigueur de raisonnement irréprochable. On savait exactement quelles étaient les hypothèses physiques, en quoi elles étaient pertinentes, quels étaient les théorèmes admis, quelles approximations étaient faites, la quantité de référence par rapport à laquelle une autre était déclarée négligeable et à quel ordre on faisait ces approximations. Le reste était proprement démontré, et souvent avec élégance. À tel point que j'ai très sérieusement hésité à continuer mes études en physique ou en maths. Mais je me suis rendu compte que ce que j'aimais vraiment dans la physique, c'était la physique enseignée par M. Logeais et je ne l'ai pas retrouvée en L3.
Bref, désolé de raconter ma vie. Je vais écrire quelques démonstrations de M. Logeais que j'ai particulièrement aimées. Et je vous invite à partager les plus beaux raisonnements physiques que vous connaissez !
Bonne journée à tous
Une récente discussion, assez critique, sur la qualité des raisonnements physiques m'a donné envie d'ouvrir ce fil pour partager de beaux raisonnements physiques. J'ai eu la chance en spé d'avoir un prof de physique exceptionnel – Jean-François Logeais – qui, en plus d'être d'une très grande gentillesse, avait toujours une rigueur de raisonnement irréprochable. On savait exactement quelles étaient les hypothèses physiques, en quoi elles étaient pertinentes, quels étaient les théorèmes admis, quelles approximations étaient faites, la quantité de référence par rapport à laquelle une autre était déclarée négligeable et à quel ordre on faisait ces approximations. Le reste était proprement démontré, et souvent avec élégance. À tel point que j'ai très sérieusement hésité à continuer mes études en physique ou en maths. Mais je me suis rendu compte que ce que j'aimais vraiment dans la physique, c'était la physique enseignée par M. Logeais et je ne l'ai pas retrouvée en L3.
Bref, désolé de raconter ma vie. Je vais écrire quelques démonstrations de M. Logeais que j'ai particulièrement aimées. Et je vous invite à partager les plus beaux raisonnements physiques que vous connaissez !
Bonne journée à tous
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Réponses
Démonstration : Un argument fallacieux consisterait à invoquer une symétrie sphérique, alors que l'Univers ne possède pas une telle symétrie. Soit $M_{T}$ la masse de la Terre. On justifie plus bas le calcul ci-dessous.
\begin{eqnarray*}
M_{T} \, \vec{a} (C_{T} ) &\underset{(1)}=& M_{T} \, \vec{a} (G_{T} )\\
&\underset{(2)}=& \sum \vec{F} _{\text{ext}} \\
&\underset{(3)}=& \vec{F} _{\text{gravitation, reste univers $\to$ Terre}} \\ \\ \\
&\underset{(4)}=& - \vec{F} _{\text{Terre $\to$ reste univers}} \\
&\underset{(5)}=& - \vec{F} _{\text{masse ponctuelle $M_T$ en $C_T$ $\to$ reste univers}} \\ \\
&\underset{(6)}=& \vec{F} _{\text{reste univers $\to$ masse ponctuelle $M_T$ en $C_T$}} \\
&=& M_{T} \, \vec{G} _{\text{reste univers}}(C_{T} )
\end{eqnarray*}
$\quad\quad (1)$ $G_{T}$ est le centre de masse de la Terre qui coïncide avec $C_{T}$ par hypothèse de symétrie.
$\quad\quad (2)$ Deuxième loi de Newton appliquée à la Terre.
$\quad\quad (3)$ Hypothèse sur les forces qui s'exercent.
$\quad\quad (4)$ Troisième loi de Newton.
$\quad\quad (5)$ D'après le théorème de Gauss et la symétrie sphérique de la Terre.
$\quad\quad (6)$ Troisième loi de Newton.
Démonstration : On pourrait être tenté d'utiliser l'extensivité de l'enthalpie libre pour dire que $G$ est la somme des enthalpies libres des constituants, qui valent $\mu _{i} n_{i}$. Mais ce serait faux car on se sait pas si ces dernières valent bien $\mu _{i} n_{i}$ ($\mu _{i}$ n'est a priori pas indépendant de $n_{i}$) et, dans le cas de constituants à l'état acqueux (ions en solution), parler de leur enthalpie libre isolée du solvant n'a pas de sens.
Au lieu de ça, l'extensivité montre que, pour tout $\lambda >0$, $G(T,P,\lambda n_{1} ,\dots ,\lambda n_{k} ) = \lambda \, G(T,P,n_{1} ,\dots ,n_{k} )$. En effet, par définition de l'extensivité (l'enthalpie de l'union disjointe de deux systèmes est la somme des enthalpies), on l'a pour $\lambda $ entier, puis pour $\lambda $ rationnel par une manipulation calculatoire classique, puis pour $\lambda $ réel possitif par densité des rationnels et continuité des grandeurs physiques impliquées. En dérivant par rapport à $\lambda $ on obtient : \[\sum \mu _{i} (T,P,\lambda n_{1} ,\dots ,\lambda n_{k} ) \cdot n_{i} = G(T,P,n_{1} ,\dots ,n_{k} ).\] Et on conclut en évaluant en $\lambda =1$.
Démonstration : Soit $D$ le coefficient de diffusion du solide. Les variables physiques en jeu sont $T,x,t,D,T_0$ et $T_{1}$. Elles permettent de former trois produits sans dimension : $\frac{T}{T_{1}}$, $\frac{T_{0} }{T_{1}}$ et $u := \frac{x}{2\sqrt{Dt}}$. D'après le théorème $\pi $ de Vaschy-Buckingham, ce sont les seuls produits adimensionnés non redondants. Ainsi, notre loi physique s'écrit $\frac{T}{T_{1}} = F\left(\frac{T_{0} }{T_{1}},u\right) = f(u)$ ($\frac{T_{0} }{T_{1}}$ étant constant).
L'invariance par translation selon les axes $(Oy)$ et $(Oz)$ et l'absence d'énergie supplémentaire apportée montrent que $\forall x>0,$ $\forall t>0,$ $\frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial ^2 T}{\partial x^2 }$, puis $\frac{\partial f}{\partial t} = D \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2 }$. Or $$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u} \times \frac{\partial u}{\partial t} = f'(u) \times\frac{x}{2\sqrt{D}} \times \frac{-1}{2t\sqrt{t}} = -f'(u) \frac{u}{2t}$$
$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u} \times \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{f'(u)}{2\sqrt{DT,}} \quad\text{ puis }\quad \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2 } = \frac{f''(u)}{4DT.}$$
Ainsi : $f''(u)=-2uf'(u)$, donc $f'(u) \propto e^{-u^2 }$ et $f(u) = A \,\mathrm{erf}(u) +B$. Les conditions initiales et au bord (continuité de $T$) donnent $A$ et $B$.
De toute façon il faut avouer que ce genre de prof de physique est l'exception et non la règle.
On ne fait pas des maths comme on fait de la physique, et on ne fait pas de la physique comme on fait des maths. Ce sont deux disciplines différentes, point.
Je ne nie pas que certaines justifications sont peu convaincantes voire foireuses (genre le coup du "on suppose que pH > 6,5 [série de calcul utilisant cette hypothèse] on trouve pH > 6,5, donc pH > 6,5" est du n'importe quoi, j'y ai eu le droit aussi) et qu'il y a des mauvais profs de physique (comme il y a des mauvais profs de maths) mais je pense que vouloir faire de la physique comme on fait des maths est une impasse.
Une fois j'avais essayé de rédiger la dérivation (**) des équations de Navier-Stokes comme ça, on se noie vite dans des détails scabreux, en devant faire des hypothèses techniques sans raison physique pour que les choses marchent, et finalement on obtient un truc peu digeste et finalement peu éclairant...
(*) je dirais presque un esprit obtus qui refuse de penser que les mathématiques ne sont pas l'unique manière de faire des sciences...
(**) désolé pour cet anglicisme, mais je ne trouve plus le mot pour traduire.
Quand on l'écoutait, on avait l'impression d'avoir tout compris (après coup, c'était moins évident).
Je retiens de son enseignement que la physique, ça se comprend d'abord par un raisonnement .. physique.
Les équations, ça vient .. après ....
Edit : Elle disait aussi souvent qu'elle n'avait pas eu le courage de regarder nos copies de devoir surveillé, mais qu'elles étaient catastrophiques à un point qu'elle n'avait jamais vu !
Le cours de M. Logeais ne se perdait pas dans des détails scabreux, comme tu dis. Au contraire, son approche apportait beaucoup de clarté. Mais je suppose qu'il faut un certain talent pour exposer la physique-chimie de façon rigoureuse et digeste (d'après notre prof de maths, il a majoré le concours d'entrée à Ulm en M/M' et l'agrégation de physique-chimie ; je n'ai pas vérifié).
D'ailleurs l'intérêt de ses raisonnement résidait très majoritairement dans la finesse des arguments physiques utilisés, pas dans les maths qui se résumaient le plus souvent à des calculs (hormis le coup du $G = \sum \mu _{i} n_{i}$ ci-dessus qui fait exception). Par exemple, les arguments clés des preuves que j'ai recopiées plus haut sont la troisième loi de Newton et le théorème $\pi$ d'analyse dimensionnelle.
(tu)
En parlant de détails scabreux dire "l'univers ne possède pas de symétrie sphérique" mais utiliser trois lignes plus bas que la Terre a une symétrie sphérique...
EDIT: pour qu'on soit clair, je trouve aussi ces "démos" jolies et merci pour le partage. Je suis plus circonspect sur la vision de la physique dont j'ai parlé.
Pour ton dernier message, je ne parle pas forcément de "rigueur mathématicienne", mais tout simplement de rigueur de raisonnement. Et en l’occurrence ce qui m'intéresse ici c'est de donner des justifications physiques précises et motivées. Après, je conviens qu'il y a de la subjectivité dans la manière de voir les choses.
Je ne vois pas le soucis. On peut supposer que la Terre a une symétrie sphérique sans que l'univers en ait une.
Ce n'est pas pour rien que des disciplines entières sont à la fois des maths et de la physique.
@Héhéhé tiens une citation de Mme Velay pour toi : Une démonstration, ça se fait toujours dans une situation simple et après on dit
que c’est vrai pour tout.
Naturellement ceux qui ne sont pas d'accord sont obtus... (:P)
Sinon ce qui me choque au niveau de la symétrie sphérique c'est de dire " l'univers ne possède pas une telle symétrie" (sous-entendu on a pas le droit d'utiliser cette hypothèse) alors que trois lignes plus bas on fait l'hypothèse que c'est vrai pour la Terre. Pourquoi a-t-on le droit dans un cas et pas dans l'autre ? Tu me diras que tu l'as précisé dans l'énoncé du théorème, ce qui fait que le résultat est parfaitement correct
Ce qui est intéressant aussi (fondamental j'ai même envie de dire), c'est de justifier la pertinence des hypothèses vis à vis de la réalité (chose qu'on ne fait pas en maths, tiens, Foys).
Heureusement qu'il y avait un peu d'info en prépa :-D
Le degré de rigueur des démonstrations (avec les hypothèses qui vont avec) en physique dépend du niveau auquel on se place. Toutes ces démonstrations qui te paraissent évidentes ou belles du point de vue mathématique au niveau L1-L2 le sont uniquement parce qu'on te cache le 90% restant de l'iceberg. Ce 90% est objet de la physique mathématique qu'on ne fait pas en prépa ni en L3 ou M1. C'est niveau M2 ou recherche dans la plupart des cas.
Ce n'est pas pour rien que des disciplines entières sont à la fois des maths et de la physique. »
@ Foys : la physique c'est des maths uniquement dans le sens où on manipule des êtres mathématiques. Mais les mathématiques sont une "science" 100% déductive, la physique n'est l'est pas et ne pourra jamais l'être. Les raisonnements déductifs en physique se font à partir d'un ensemble de postulats et principes qui sont justifiés toujours par l'expérience. Ce qui veut dire que ces postulats et principes ne sont pas éternels contrairement aux axiomes proprément mathématiques utilisées par les mathématiciens de profession dans l'étude de leurs théories.
Non mais il faut rester réaliste Serge.
Et pourquoi tout le monde pense que sont les maths qui m'intéressent dans les raisonnement physiques que je présente, alors que ce sont justement des raisonnement physiques et que j'ai précisé plusieurs fois que ce sont les arguments physiques que j'apprécie ici ? (comme je l'ai dit, le coup de l'enthalpie libre est l'exception qui confirme la règle)
En physique ce n'est pas possible. Les hypothèses qui entrent en jeu en physique au niveau prépa sont de deux type : hypothèses simplificatrices du point de vue mathématique pour avoir des exos/problèmes qu'on peut résoudre analytiquement à la main. Et d'autre part on a des hypothèses simplificatrices physiques qu'on ne peut en toute rigueur justifier qu'en faisant appel à des modèles microscopiques etc.... donc des choses qui doivent rester cachées aux étudiants parce que di niveau trop supérieur. Et c'est en ce sens que la physique est réssenti par les étudiants comme quelque chose de nébuleux mal definie.
Démonstration : Chaque énergie quadratique $\alpha X^2 $ indépendante des autres variables (énergie cinétique de translation, de rotation, de vibration ou énergie d’excitation des élections) contribue dans $C_{m}$ pour $ \frac{1}{2} R$ d'après le théorème d'équipartition, à condition que $X$ prenne ses valeurs dans un continuum entre $-\infty $ et $+\infty $. Or, en réalité, les niveaux d'énergie sont quantifiés à l'échelle atomique et l'hypothèse de continuum n'est valable que quand deux niveaux d'énergie successifs ont des probabilités d'occupation très proches. Puisque le rapport des probabilités entre deux niveaux d'énergie successifs est $\exp\left( \frac{\delta E}{k_{B} T} \right)$ (avec $\delta E$ l'écart d'énergie), on doit avoir $\delta E$ quelque peu plus petit que $k_{B} T$ ($\delta E \ll k_{B} T$ n'est pas nécessaire car l'exponentielle accentue les écarts de valeurs). Au contraire, quand $T$ est quelque peu plus petit que $T_{\text{gel}} := \frac{\delta E}{k_{B}}$, alors seul le niveau d'énergie fondamental est occupé et $\alpha X^2 $ ne contribue pas à $C_{m}$. Tout cela explique la présence de plateaux. Il reste à les détailler.
On modélise une molécule de gaz diatomique par deux masses ponctuelles $\frac{m}{2}$ à distance $d \approx 10^{-10} \,{\rm m}$ qu'on suppose dans un premier temps constante. Soient $G$ le centre de masse de la molécule et un repère orthonormé $(G,x,y,z)$ tel que $(Gx)$ est l'axe qui relie les deux atomes. L'énergie cinétique des deux noyaux est alors $$E_{c} = \underbrace{ \frac{1}{2} m v_{G,x} ^2 + \frac{1}{2} m v_{G,y} ^2 + \frac{1}{2} m v_{G,z} ^2}_{\text{termes de translation}} + \underbrace{ \frac{1}{2} \frac{L_{x} ^2 }{I_{x}} + \frac{1}{2} \frac{L_{y} ^2 }{I_{y}} + \frac{1}{2} \frac{L_{z} ^2 }{I_{z}} }_{\text{termes de rotation}}.$$ Le moment cinétique $L_{\Delta }$ est quantifié (de la forme $n \hbar$ avec $n$ entier ou demi-entier) et $I_{\Delta }$ est de l'ordre de $m$ fois le carré de la distance typique à l'axe $\Delta $. Donc $T_{\text{gel rotation } z} = T_{\text{gel rotation } y} = \frac{1}{k_{B}} \frac{\hbar ^2 }{2I_{y,z}} \approx \frac{1}{k_{B}} \frac{\hbar ^2 }{md^2 } \approx 10\,{\rm K}$ et $T_{\text{gel rotation } x} = \frac{1}{k_{B}} \frac{\hbar ^2 }{2I_{x}} = +\infty $ car $I_{x} =0$. En réalité, même si $T_{\text{gel rotation } x} $ n'est pas rigoureusement infini, on est sûr qu'il est supérieur à $ 10^4 \,{\rm K} $.
Pour la translation, on peut considérer que les molécules sont enfermées dans un puits de potentiel infini unidimensionnel de largeur $L$. Leur énergie est alors $E_{n} = n^2 \frac{\hbar ^2 \pi ^2 }{2mL^2 }$, donc $T_{\text{gel translation}} \approx 10^{-16} \,{\rm K}$ pour $L=10\,{\rm cm}$. C'est tellement petit que notre hypothèse un peu simpliste est suffisante pour dire qu'on n'observe pas de gel de ces degrés de liberté.
Pour le mouvement des électrons, on calcule que $T_{\text{gel électrons}} = \frac{\hbar ^2 }{k_{B} m_{e} d^2 } \approx 10^{5} \,{\rm K}$.
Enfin, $d$ n'est pas fixe mais dépend d'une énergie potentielle de liaison. On peut l'approcher en son minimum par un potentiel parabolique $ \frac{1}{2} m \omega _{0} (d-d_{0} )^2 $. Puisque les raies d'absorption et d'émission du gaz sont typiquement dans l'infrarouge, on prend $\omega _{0} \approx 10^{-15} \, {\rm rad.s}^{-1}$. Ainsi, $T_{\text{gel vibration}} \approx \frac{\hbar \omega _{0} }{k_{B}} \approx 10^{4} \,{\rm K}$.
Remarquez qu'on pourrait être tenté de dire que $E_{c} = \frac{1}{2} m v_{G} ^2 + \frac{1}{2} I_{x} \Omega _{x} ^2 + \frac{1}{2} I_{y} \Omega _{y} ^2 + \frac{1}{2} I_{z} \Omega _{z} ^2 $ (comme en mécanique classique) et que, par conséquent, $I_{x} \approx 0$ implique que le terme de rotation selon $(Gx)$ est nul, et donc qu'il ne contribue pas dans $C_{m}$. Mais c'est justement parce que ce terme de rotation, qui vaut plutôt $ \frac{1}{2} \frac{L_{x} ^2 }{I_{x}}$, est très grand que la quantification exacerbée du moment cinétique l'empêche de contribuer à $C_{m}$.
PS : On n'a pas pris en compte les éventuels mouvements de torsion. Je ne sais pas ce qu'il en est. De toute façon, on peut toujours affiner cette étude (notamment les calculs d'ordres de grandeur).
Ça me fait penser au prof de mécanique quantique qui disait tout le temps, quand on lui demandait des justifications, « Ne me demandez pas pourquoi ça marche. Ça fait 40 ans que je fais ça. Je sais que ça marche, mais je ne sais pas/plus pourquoi. » (en vrai, il exagère parce qu'il n'est pas très vieux). Mais il était marrant quand il disait ça ^^.
Personnellement le début du cours de mécanique de Landau et Lifchitz m'avait marqué par sa rigueur et la propreté du raisonnement. On part de quelques hypothèses minimales (l'évolution d'un système est déterminé par les positions et vitesses de ses particules à un instant $t$ + principe de moindre action) et on en déduit presque tout de là... en faisant des maths. Les hypothèses supplémentaires ne sont rajoutées que lorsqu'elles deviennent inévitables (invariance par translation etc).
Il n'y a pas si longtemps la mécanique pouvait être considérée comme des maths plutôt que de la physique.
La première phrase de la première démonstration est-elle rigoureuse si on ne précise pas le modèle cosmologique dans lequel on travaille ? C'est une question sincère.
Elle ne démontre rien, c'est juste une remarque introductive. Donc cette phrase précise n'a pas prétention à être rigoureuse. Elle signifie que dire "Le résultat est vrai par symétrie. Point barre." n'est pas une bonne justification. J'ai un peu détaillé ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?44,1995546,1995796#msg-1995796.
Quels modèles cosmologiques différents envisages-tu majax ?
Merci pour ta réponse. J'aurais aimé ton prof.
EDIT : Je ne veux pas dire que l'argument fallacieux n'est pas rigoureusement réfuté car je n'en sais rien. Mon idée était qu'il existe des modèles cosmologiques où la densité de matière et d'antimatière sont symétriquement réparties entre deux hémisphères d'une hypersphère de dimension 3 (l'univers) et dont l'équateur serait leur lieu de rencontre, donc sans matière. Ne peut-on pas y voir une belle symétrie ? ou du moins quelque chose qui s'en approche...fin de parenthèse.
Est-ce que le calcul de la vitesse de la lumière qu'a éffectué Ole Christensen Rømer en observant des décalages dans le temps par rapport aux prévisions des éclipses de Io en 1676 est disponible dans certains manuels de lycée ?
Il s'agit, pour moi, d'un raisonnement très élégant qui mérite une belle démonstration (que quelqu'un voudra peut-être faire ici, si ce n'est moi mais pour l'instant je n'ai pas le temps).
Cordialement.
Remarque pour Calli : je viens de modifier mon post précédent.
Je ne retiens malheureusement de la physique dans le supérieur que des explications très douteuses soupoudrée à l'utilisation quasi systématique d'outils mathematiques que nous ne connaissions pas...
$x’(t)/x(t)=a$ donna la formule $\ln x(t)= at$, je l’interpellai en lui disant qu’on ne connaissait pas le signe de $x(t)$!
« Pfff, c’est un détail sans intérêt, on s’en fiche de son signe comme de sa non nullité! », me rétorqua-t-il. Ça m’avait fait marrer à l’époque.
J’admirais justement cette liberté que prenait les physiciens dans leurs raisonnements.
Il y a aussi les notes de cours d'Ernst Stueckelberg ici, libres et gratuites :
http://cours-physique.org/
C'est la Physique comme j'aime. Cela manque quelque peu aujourd'hui.
Donc vraiment merci beaucoup pour le partage Calli !
Ah moi c'est vraiment quelque chose que je voudrais voir ! C'est un des trucs que j'ai notés dans ma liste "à faire un jour".