Raisonnements physiques élégants et rigoureux

$\textbf{Théorème :}$ On se place dans le cadre de la mécanique newtonienne, dans un référentiel galiléen. On considère que la Terre est un solide à symétrie sphérique et que les seules forces qui s'appliquent sur elle sont les forces gravitationnelles dues au reste de l'univers. On note $C_{T}$ son centre de symétrie et $\vec{G} _{\text{reste univers}}$ le champ gravitationnel dû au reste de l'univers. Alors l'accélération de $C_{T}$ vaut (de façon exacte) $\vec{a} (C_{T} ) = \vec{G} _{\text{reste univers}}(C_{T} )$.

Démonstration : Un argument fallacieux consisterait à invoquer une symétrie sphérique, alors que l'Univers ne possède pas une telle symétrie. Soit $M_{T}$ la masse de la Terre. On justifie plus bas le calcul ci-dessous.
\begin{eqnarray*}
M_{T} \, \vec{a} (C_{T} ) &\underset{(1)}=& M_{T} \, \vec{a} (G_{T} )\\
&\underset{(2)}=& \sum \vec{F} _{\text{ext}} \\
&\underset{(3)}=& \vec{F} _{\text{gravitation, reste univers $\to$ Terre}} \\ \\ \\
&\underset{(4)}=& - \vec{F} _{\text{Terre $\to$ reste univers}} \\
&\underset{(5)}=& - \vec{F} _{\text{masse ponctuelle $M_T$ en $C_T$ $\to$ reste univers}} \\ \\
&\underset{(6)}=& \vec{F} _{\text{reste univers $\to$ masse ponctuelle $M_T$ en $C_T$}} \\
&=& M_{T} \, \vec{G} _{\text{reste univers}}(C_{T} )
\end{eqnarray*}
$\quad\quad (1)$ $G_{T}$ est le centre de masse de la Terre qui coïncide avec $C_{T}$ par hypothèse de symétrie.
$\quad\quad (2)$ Deuxième loi de Newton appliquée à la Terre.
$\quad\quad (3)$ Hypothèse sur les forces qui s'exercent.
$\quad\quad (4)$ Troisième loi de Newton.
$\quad\quad (5)$ D'après le théorème de Gauss et la symétrie sphérique de la Terre.
$\quad\quad (6)$ Troisième loi de Newton.

Je ne suis pas d'accord, Foys. L'approche physicienne a un pragmatisme qu'on ne retrouve pas en maths. Et le sens physique n'est pas une illusion ; il y a réellement une spécificité dans la physique pour moi.

Héhéhé : Dire que la Terre est une boule parfaite est une hypothèse raisonnable (même si c'est une approximation). En revanche, l'espace autour n'est pas du tout aussi symétrique. La principale masse du système solaire, le Soleil est, vis à vis de la Terre, dans une direction précise, pas un peu partout autour. Et à une échelle plus grande, la terre est en bordure de la Voie Lactée, pas au centre. Donc on a le même manque de symétrie à l'échelle galactique. Ainsi, la répartition des masses dans l'espace n'est pas du tout symétrique par rapport à la Terre. Est-ce plus convainquant ?

Héhéhé a écrit:

Tu me diras que tu l'as précisé dans l'énoncé du théorème, ce qui fait que le résultat est parfaitement correct

Ce qui est intéressant aussi (fondamental j'ai même envie de dire), c'est de justifier la pertinence des hypothèses vis à vis de la réalité (chose qu'on ne fait pas en maths, tiens, Foys).

SERGE_S a écrit:

Si on veut jouer ce jeux de bourrin alors il faudrait justifier que toutes les grandeurs macroscopiques sont continues. La matiere n'est pas continue, donc comment justifier le passage du discontinu au continu ? [...] Il faut tout démontrer à partir d'un modèle microscopique et justifier que le résultat obtenu n'en depend pas

Non mais il faut rester réaliste Serge.

SERGE_S a écrit:

Toutes ces démonstrations qui te paraissent évidentes ou belles du point de vue mathématique [...]

Et pourquoi tout le monde pense que sont les maths qui m'intéressent dans les raisonnement physiques que je présente, alors que ce sont justement des raisonnement physiques et que j'ai précisé plusieurs fois que ce sont les arguments physiques que j'apprécie ici ? (comme je l'ai dit, le coup de l'enthalpie libre est l'exception qui confirme la règle)

Serge : Je sais bien qu'on ne peut pas axiomatiser la physique. Ce que j'ai apprécié chez mon prof de physique c'est de dire clairement ce que l'on suppose, de motiver ces hypothèses (argument expérimental, justification des approximations faites en regardant les ordres de grandeur, etc.) et de réellement prouver ce que l'on prétendait prouver. Car le problème, à mon avis, de certains raisonnement présentés dans des cours de physique, c'est qu'il prétendent démontrer des choses alors qu'ils donnent de mauvais arguments, voire qu'ils n'en donne pas du tout et se contentent de dire "c'est comme ça dans la réalité et puis c'est tout". Quand on est en prépa et qu'on apprend à donner les justifications que demandent les sujets de concours, il est important de se demander si on donne de vraies justifications, ou si l'on fait semblant en se contentant de dire "c'est vrai parce que c'est constaté empiriquement" (ce qui, in fine, est la justification ultime, mais ça n'est pas une explication du type raisonnement). Donc c'est presque un problème d'honnêteté intellectuelle que je pointe. Si on décide de ne rien expliquer parce qu'on sait que ça se vérifie expérimentalement, d'accord, mais dans ce cas il faut l'assumer (je caricature un peu, mais j'espère que ce que je veux dire est clair).

$\textbf{Résultat :}$ La capacité thermique molaire $C_{m}$ d'un gaz parfait diatomique possède plusieurs paliers (dont les bornes sont approximatives) :

• En dessous de $10\,{\rm K}$, $C_{m} \approx \frac{3}{2} R$.
• De $10\,{\rm K}$ à $10^{4} \,{\rm K}$, $C_{m} \approx \frac{5}{2} R$.
• A partir de $10^{4} \,{\rm K}$, $C_{m}$ augmente encore par paliers multiples de $\frac{1}{2} R$.

Démonstration : Chaque énergie quadratique $\alpha X^2 $ indépendante des autres variables (énergie cinétique de translation, de rotation, de vibration ou énergie d’excitation des élections) contribue dans $C_{m}$ pour $ \frac{1}{2} R$ d'après le théorème d'équipartition, à condition que $X$ prenne ses valeurs dans un continuum entre $-\infty $ et $+\infty $. Or, en réalité, les niveaux d'énergie sont quantifiés à l'échelle atomique et l'hypothèse de continuum n'est valable que quand deux niveaux d'énergie successifs ont des probabilités d'occupation très proches. Puisque le rapport des probabilités entre deux niveaux d'énergie successifs est $\exp\left( \frac{\delta E}{k_{B} T} \right)$ (avec $\delta E$ l'écart d'énergie), on doit avoir $\delta E$ quelque peu plus petit que $k_{B} T$ ($\delta E \ll k_{B} T$ n'est pas nécessaire car l'exponentielle accentue les écarts de valeurs). Au contraire, quand $T$ est quelque peu plus petit que $T_{\text{gel}} := \frac{\delta E}{k_{B}}$, alors seul le niveau d'énergie fondamental est occupé et $\alpha X^2 $ ne contribue pas à $C_{m}$. Tout cela explique la présence de plateaux. Il reste à les détailler.

On modélise une molécule de gaz diatomique par deux masses ponctuelles $\frac{m}{2}$ à distance $d \approx 10^{-10} \,{\rm m}$ qu'on suppose dans un premier temps constante. Soient $G$ le centre de masse de la molécule et un repère orthonormé $(G,x,y,z)$ tel que $(Gx)$ est l'axe qui relie les deux atomes. L'énergie cinétique des deux noyaux est alors $$E_{c} = \underbrace{ \frac{1}{2} m v_{G,x} ^2 + \frac{1}{2} m v_{G,y} ^2 + \frac{1}{2} m v_{G,z} ^2}_{\text{termes de translation}} + \underbrace{ \frac{1}{2} \frac{L_{x} ^2 }{I_{x}} + \frac{1}{2} \frac{L_{y} ^2 }{I_{y}} + \frac{1}{2} \frac{L_{z} ^2 }{I_{z}} }_{\text{termes de rotation}}.$$ Le moment cinétique $L_{\Delta }$ est quantifié (de la forme $n \hbar$ avec $n$ entier ou demi-entier) et $I_{\Delta }$ est de l'ordre de $m$ fois le carré de la distance typique à l'axe $\Delta $. Donc $T_{\text{gel rotation } z} = T_{\text{gel rotation } y} = \frac{1}{k_{B}} \frac{\hbar ^2 }{2I_{y,z}} \approx \frac{1}{k_{B}} \frac{\hbar ^2 }{md^2 } \approx 10\,{\rm K}$ et $T_{\text{gel rotation } x} = \frac{1}{k_{B}} \frac{\hbar ^2 }{2I_{x}} = +\infty $ car $I_{x} =0$. En réalité, même si $T_{\text{gel rotation } x} $ n'est pas rigoureusement infini, on est sûr qu'il est supérieur à $ 10^4 \,{\rm K} $.
Pour la translation, on peut considérer que les molécules sont enfermées dans un puits de potentiel infini unidimensionnel de largeur $L$. Leur énergie est alors $E_{n} = n^2 \frac{\hbar ^2 \pi ^2 }{2mL^2 }$, donc $T_{\text{gel translation}} \approx 10^{-16} \,{\rm K}$ pour $L=10\,{\rm cm}$. C'est tellement petit que notre hypothèse un peu simpliste est suffisante pour dire qu'on n'observe pas de gel de ces degrés de liberté.
Pour le mouvement des électrons, on calcule que $T_{\text{gel électrons}} = \frac{\hbar ^2 }{k_{B} m_{e} d^2 } \approx 10^{5} \,{\rm K}$.
Enfin, $d$ n'est pas fixe mais dépend d'une énergie potentielle de liaison. On peut l'approcher en son minimum par un potentiel parabolique $ \frac{1}{2} m \omega _{0} (d-d_{0} )^2 $. Puisque les raies d'absorption et d'émission du gaz sont typiquement dans l'infrarouge, on prend $\omega _{0} \approx 10^{-15} \, {\rm rad.s}^{-1}$. Ainsi, $T_{\text{gel vibration}} \approx \frac{\hbar \omega _{0} }{k_{B}} \approx 10^{4} \,{\rm K}$.

Remarquez qu'on pourrait être tenté de dire que $E_{c} = \frac{1}{2} m v_{G} ^2 + \frac{1}{2} I_{x} \Omega _{x} ^2 + \frac{1}{2} I_{y} \Omega _{y} ^2 + \frac{1}{2} I_{z} \Omega _{z} ^2 $ (comme en mécanique classique) et que, par conséquent, $I_{x} \approx 0$ implique que le terme de rotation selon $(Gx)$ est nul, et donc qu'il ne contribue pas dans $C_{m}$. Mais c'est justement parce que ce terme de rotation, qui vaut plutôt $ \frac{1}{2} \frac{L_{x} ^2 }{I_{x}}$, est très grand que la quantification exacerbée du moment cinétique l'empêche de contribuer à $C_{m}$.

PS : On n'a pas pris en compte les éventuels mouvements de torsion. Je ne sais pas ce qu'il en est. De toute façon, on peut toujours affiner cette étude (notamment les calculs d'ordres de grandeur).

Cette phrase ?

Un argument fallacieux consisterait à invoquer une symétrie sphérique, alors que l'Univers ne possède pas une telle symétrie.

Elle ne démontre rien, c'est juste une remarque introductive. Donc cette phrase précise n'a pas prétention à être rigoureuse. Elle signifie que dire "Le résultat est vrai par symétrie. Point barre." n'est pas une bonne justification. J'ai un peu détaillé ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?44,1995546,1995796#msg-1995796.
Quels modèles cosmologiques différents envisages-tu majax ?