Manipulation des unités

Bonjour.

Attention : les unités ne sont pas des nombres, on ne peut additionner les m avec de l, ni même avec des m².

Sinon, je te retourne la question : Qu'est-ce qui fait qu'on peut additionner des pommes : 2 pommes +3 pommes = 5 pommes parce que 2+3=5. ?

Cordialement.

Une remarque :
On peut additionner des L et des mm, ça donne par exemple : 5 L + 7 mm.
Le sens physique de ce truc n’est peut-être pas raisonnable (encore que...).

Tu peux additionner des litres et des mètres si tu veux comme tu peux parler d’un corps de cardinal 1, ça n’a aucun intérêt. Donc les constructions mathématiques de la chose font sans.

Bonjour,
Je propose une approche mathématique de la gestion des unités. Ce que je vais dire n'est pas très grand public et je ne connais pas le niveau en maths d'Andropie, donc je m'excuse par avance si ça ne l'aide pas.

On peut imaginer disposer de six $\Bbb R$-espaces vectoriels $\sf L, M, T, I, \Theta, N$ (longueur, masse, temps, intensité, température et quantité de matière) de dimension 1. On ne dispose pas de bases a priori ; fixer une base pour l'un de ces espaces revient à définir une unité. Ainsi, $``1\,{\rm m}\!"$ est un élément de la droite vectorielle $\sf L$ et $(``1\,{\rm m}\!")$ est la base naturelle pour la mesure les longueurs en mètres. De plus, on peut écrire que $``1\,{\rm m}\!" = 10 \cdot ``1\,{\rm dm}\!" $ (c'est une égalité avec un vecteur et un scalaire multipliant un autre vecteur). L'ensemble des nombres sans dimension n'est autre que le corps des scalaires $\Bbb R$.

Maintenant, comment multiplier nos grandeurs ? En considérant les produits vectoriels tensoriels (édit : lapsus) de nos premiers espaces. On a par exemple une application de multiplication des longueurs avec les temps : $$\left(\begin{array}{ccc} {\sf L \times T} &\to& {\sf L \otimes T} \\ (\ell,t)&\mapsto& \ell \otimes t \end{array} \right)$$ et on peut poser $\sf L.\!T := L\otimes T$. Fixer une base de $\sf L$ et une base de $\sf T$ – i.e. des unités comme le mètre et la seconde – donne naturellement une base de leur produit tensoriel $\sf L.\!T$. Cette base contient un seul vecteur, puisque $\sf L.\!T$ est de dimension 1, et il correspond naturellement à $`` 1\, \rm m.\!s\!"$ (on peut considérer que, par définition, $`` 1\, \rm m.\!s\!" := ``1\, m\!"\otimes\, ``1 \, s\!"$). Et l'associativité et la commutativité du produit tensoriel (à isomorphisme près) nous assure l'associativité et la commutativité des produits de grandeurs physiques.

Il reste à apprendre à diviser. Pour cela, il faut construire $\sf L^{-1}$ tel que $\sf L^{-1}\otimes L$ est canoniquement isomorphe à $\Bbb R$. Et suffit de prendre l'ensemble des formes linéaires de $\sf L$ ! On a alors une application de multiplication : $$\left(\begin{array}{ccc} {\sf L^{-1}\times L} &\to& \Bbb R \\ (\sigma,\ell)&\mapsto& \sigma(\ell) \end{array} \right)$$Et on définit $``1\,\rm m^{-1}\!"$ comme l'unique forme linéaire $\sigma$ telle que $\sigma(``1\,\rm m\!") = 1$.

Cette construction respecte le fait qu'on ne puisse pas sommer une force avec une température, mais qu'on puisse additionner 1 km et 100 m. Et elle est assez intrinsèque (on peut travailler sans parler d'unité et tous les morphismes sont canoniques), ce qui me plait assez puisque que les grandeurs physiques ne dépendent pas des unités choisies (dans le sens où elles existent intrinsèquement dans la réalité, tandis que les unités ne sont que des conventions). Néanmoins, le choix des grandeurs de base ($\sf L, M, T, I, \Theta, N$) reste arbitraire et je ne sais pas comment l'éviter.

Cool ! pour la vitesse $\sf V$ on aurait $\sf V=\sf L \otimes T'$ et l'accélération $\sf L \otimes T' \otimes T'$.

Andropie,

il reste quelque chose de ta question (et donc de la mienne), que ne traite pas Calli : Pourquoi ça marche dans le monde concret ? "La déraisonnable efficacité des mathématiques" comme disait Eugène Wigner (physicien). Là, on n'est plus dans les mathématiques, mais dans l'épistémologie (philo des sciences), et les réponses sont nombreuses, sans qu'aucune ne soit totalement convaincante.

Cordialement.