Mesure et conservation de l'énergie

Bonjour,

En mécanique quantique, si on ne se place pas dans le cadre des univers multiples, est-ce qu'il se peut que la conservation de l'énergie ne soit pas vérifiée au cours d'une mesure ? Par exemple, si on mesure la position par l'intermédiaire de l'observable $X$, et si l'observable $X$ et l'opérateur hamiltonien $H$ ne commutent pas (ce qui semble normal, par exemple, si $H=\frac{1}{2m}P^2$, et $PX-XP=-i\overline{h}$, alors $P^2X-XP^2=-2i\overline{h}P$, donc $HX-XH=-\frac{i \overline{h}}{m}P \neq 0$).

En effet supposons $H=\pmatrix{ 0 & 0 \\ 0 &1}$, et $X=\pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0}$, si l'état du système avant la mesure est $\psi_1=\pmatrix{0 \\ 1}$, alors $H\psi_1= \psi_1$, donc son énergie est $1$. Après la mesure, $\psi_1$ peut se "projeter" (en tenant compte de la normalisation) en $\psi_2=\pmatrix{\alpha \\ \alpha}$ avec une probabilité de $1/2$, ou en $\psi_3=\pmatrix{-\alpha \\ \alpha}$ avec une probabilité de $1/2$ (j'ai écrit $\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}$).
L'énergie moyenne pour $\psi_2$ est $\alpha^2=\frac{1}{2}$. De même, pour $\psi_3$. Donc elle a diminué dans chacun des cas (et vaut $1/2$ en moyenne).

Il est vrai qu'il y a eu une mesure, donc une interaction, donc le système n'est pas isolé.

Merci d'avance.