Ondes sur une chaîne d'atomes

Tamasushi
Tamasushi
dans Mathématiques et Physique
Bonjour,

«Une chaîne d'axe $x$ est constituée d’atomes de masse $m$, séparés à l’équilibre, d'une distance $a$, le $n^{e}$ atome se trouvant en $na$. Lorsqu’une perturbation modifie la position de l’atome $n$, ce dernier est soumis à des forces de rappel de raideur $k$.

Une onde incidente $u_i(t) =U_i e^{i(kna-\omega t)}$ se propage sur la chaine. En $x=0$, se trouve un atome de masse $M \neq m$. Naissent alors une onde réfléchie $u_r(t)=U_re^{i(-kna-\omega t)}$ et une onde transmise $u_t(t)=U_te^{i(kna-\omega t)}$

Déterminer le coefficient de transmission $t=U_t/U_i$. Que signifie le fait que $t$ est complexe ? »

Avec le $PFD$, j'ai trouvé une équa diff entre $u_{n-1}, u_n$ et $u_{n+1}$ , avec les $u_k$ respectivement les positions des $k^e$ atomes. Je suis passé au continu et ai trouvé une équation de d'Alembert.
J'ai de nouveau appliqué le $PFD$ mais à l'atome de masse $M$. On a aussi $u_r(0,t)+u_i(0,t)=u_t(0,t)$.
Mais ça ne donne rien de bon (peut-être une erreur dans le deuxième PFD). Une idée ?

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Tu te rends compte que t’aider sans que tu ne partages ce que tu fais relève du pur génie ?

    Quand tu écris le PDF pour une masse tu obtiens un truc avec une dérivée seconde et les déplacements de la masse en question et des masses voisines.

    On passe en continu : $\displaystyle u_n(t)=u(x_n, t)$ avec $x_n$ la position de la masse $n.$

    Tu utilises Taylor à l’ordre $2$ avec $\displaystyle u_{n+1}(t)=u(x_n+a,t)=...$ avec $a$ petit...

    Tu tombes sur l´équation d’onde : de tête, donc sans garantie : $\displaystyle m \partial^2_t u(x,t)-k \partial^2_x u(x,t) a^2=0.$

    Il s’agit d’un modèle de propagation du son dans un solide. Quelle est la fréquence d’un son ? Quelle est la longueur d’onde associée ? Quelle est l’ordre de grandeur de la distance entre atomes dans un solide ? L’approximation du continu est-elle justifiée ?
  • Tamasushi
    Tamasushi
    (Rebonjour)

    J'avais l'impression que c'était classique...

    Pour le premier $PFD$: $\ddot{u_n}= \omega ^2 (u_{n+1} -2u_n + u_{n-1})$ avec $\omega^2=k/m$
    L'equation obtenue en passant au continue $\frac{ \partial ^2 f}{\partial t^2} - (\omega a )^2 \frac{\partial ^2 f}{\partial x ^2}=0$

    Pour le $PFD$ sur la masse $M$ je ne sais pas bien s'il faut raisonner avec les $u_n$ ou avec les $u_i,u_r,u_t$ et comment passer de l'un à l'autre. Dire que $u_{n-1}=u_i, u_n=u_r, u_t=u_{n+1}$ ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Je vais te laisser chercher. Mais tu sembles ne pas comprendre l’onde. Son module $U$ est constant pour chaque atome. C’est le facteur de phase $n a-\omega t$ qui dépend de la position et du temps.

    Une onde se propage le long de la chaîne. Les atomes oscillent. Et en $x=0$ l’onde prend en pleine gueule une masse $M>m$, de quoi se scinder en deux : une onde transmise et une onde réfléchie. Ce sont donc les conditions en $x=0$ qui dictent le module des ondes réfléchie et transmise selon l’onde incidente.
    Quel est le déplacement et la vitesse et l’accélération de la masse $M$ dues à l’onde incidente ?
    Même question pour les ondes transmise et réfléchie.
    La masse n’a qu’une position, vitesse et accélération à chaque instant.
  • Tamasushi
    Tamasushi
    Pour le $PFD$ sur $M$ j'avais envisagé:
    $M \ddot u_i=-k(u_i-u_r)+k(u_r-u_t)$
    Bonne piste ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Oui mais non.

    L’onde incidente vient des $n<0$. L’onde réfléchie se propage le long des $n<0$ dans l’autre sens. L’onde transmise se propage le long des $n>0.$

    Tu dois écrire $u_1=U_t e^{i (a-\omega t)}$.
    Tu dois écrire $u_{-1}=U_i e^{ i (-a -\omega t)}+U_r e^{i (a-\omega t)}.$
    ...

    Écris l’équation pour $u_0$ et $u_t(0,t)=u_i(0,t)+u_r(0,t)$.

    Deux équations pour deux inconnues $U_r/U_i, U_t/U_i.$

    On doit éliminer les facteurs $e^{-i \omega t}$ dans les équations (on est en régime permanent).

    La présence des $e^{\pm i a}$ donne des valeurs complexes pour les modules des ondes transmises et réfléchie. Je te laisse calculer et interpréter. Que vaut $t$ quand la $M=m$ ? Quand $M\to +\infty$ ?
  • Tamasushi
    Tamasushi
    Bonjour,

    Pour l'égalité en $0$ j'ai $1+re^{-2jkna}=t$ avec $r=U_r/U_i$ et $t=U_t/U_i$ mais je ne vois toujours pas comment bien appliquer le $PFD$
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Je ne vois qu’une équation pour deux inconnues $r,t$.

    Et je ne reconnais pas ton équation (késako $j$ ?).

    N’as-tu pas $Mu_0”=k(-2 u_0+u_1+u_{-1})$ ?
  • Tamasushi
    Tamasushi
    En $x=0$ en situant l'atome en question à la position $n$ on a en simplifiant par $e^{i \omega t}$:
    $U_i e^{ikna} + U_re^{-ikna}=U_t e^{ikna}$

    (mon $j$ d'avant était tq $j^2=-1$)

    En divisant par le premier terme on bien,
    $1 +re^{-2ikna}=t$

    Ensuite j'ai bien une équation du type $M \ddot u_n = k (u_{n-1} -2u_n + u_{n+1}$ après on peut remplacer $u_{n-1}$ par $u_i+u_r$ et $u_{n+1}$ par $u_t$ mais $u_n$ dans toute cette histoire ?
  • Tamasushi
    Tamasushi
    Je me permets de relancer
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    On ne remplace rien par rien. On calcule tout simplement.

    Dans un de mes messages, j'ai donné l'expression de $u_1$ et de $u_{-1}$ : il suffit de reporter.
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