Flux à travers une sphère

$\def\div{\operatorname{div}}$Bonjour
J'ai une petite difficulté à conclure cet exercice.

Supposons que $\vec{f} = (x^2 ,\ z^3x ,\ y^2)$ une fonction vectorielle dont nous avons besoin de calculer le flux à travers la surface d'une sphère centrée en $ (0,0,0)$ de rayon $1$.

J’avais utilisé le théorème de la divergence qui consiste à calculer $$\int_{\partial D} \,\vec{f} . \vec{N} \,dS = \int_{D}\div(\vec{f}) .dV $$ et avec $\div(\vec{f}) = \nabla . f$ J’avais $\int_{D} 2x \,dV$ et donc par là suite j'effectue une paramétrisation en coordonnées sphériques c'est-à-dire $$

\left
\{\begin{align}
x &= r \sin(\theta)\cos(\varphi)\\
y &= r\sin(\theta)\sin(\varphi) \\
z &= r\cos(\theta)
\end{align}
\right.

$$ et vu que $dV = |\det(J)| \,d\theta\, d\varphi \,dr = r^2 \sin(\theta)$ avec $J$ qui est la jacobienne de $(x,y,z)$ en $(r,\theta,\varphi)$ alors on obtient à la fin $$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} 2 (r \sin(\theta)\cos(\varphi)) r^2 \sin(\theta)\,dr \, d\theta\, d\varphi

= 2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{1}{4}\cos(\varphi) \sin^2(\theta) \,d\theta \, d\varphi =2\int_{0}^{2\pi} \frac{\pi}{8} \cos(\varphi) \,d\varphi = 0.

$$ alors la question est : pourquoi la réponse est nulle ?

Est-ce que c'est à cause du fait que la sphère est centrée à l'origine et donc tout "vecteur flux" possède un vecteur homologue de signe opposé ? Et si oui alors la réponse sera toujours 0 même si la sphère est décentrée de l'origine ?

Ou c'est juste parce que le flux de cette fonction $f$ est nul.
Merci beaucoup
MS