Équation de Schrödinger
Bonsoir à tous
En survolant le lien suivant : https://en.wikipedia.org/wiki/Schrödinger_equation , j'ai du mal à comprendre le lien existant entre l'équation de Schrödinger dépendante du temps, $$
i \bar{h} \dfrac{ \partial }{ \partial t } \psi (r,t) = \hat{H} \psi (r,t)
$$ et l'équation de Schrödinger indépendante du temps, $$
\hat{H} | \psi \rangle = E | \psi \rangle .
$$ Quel lien existe-t-il entre les deux équations ?
En d'autres termes, comment obtenir l'une à partir de l'autre ?
Merci d'avance.
En survolant le lien suivant : https://en.wikipedia.org/wiki/Schrödinger_equation , j'ai du mal à comprendre le lien existant entre l'équation de Schrödinger dépendante du temps, $$
i \bar{h} \dfrac{ \partial }{ \partial t } \psi (r,t) = \hat{H} \psi (r,t)
$$ et l'équation de Schrödinger indépendante du temps, $$
\hat{H} | \psi \rangle = E | \psi \rangle .
$$ Quel lien existe-t-il entre les deux équations ?
En d'autres termes, comment obtenir l'une à partir de l'autre ?
Merci d'avance.
Réponses
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Pablo fait de la méca q, on change de bra-ket ! -
Non. Je ne fais pas de mécanique quantique. Je m’intéresse simplement à la seconde moitié de l'énoncé de conjecture de Yang-Mills. Elle porte principalement sur ce sujet d'équation de Schrödinger.
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Bonjour,
La seconde est la définition de $H.$ -
Bonjour
@ Pablo :
Ne cherche pas à passer de l'une à l'autre, tu risques d'y passer du temps.
Je me souviens m'être posé cette question de terminologie l'année où j'ai découvert la MQ car effectivement, certains ouvrages ne sont pas clairs là-dessus. J'aurais aimé être plus spécifique mais je n'ai pas défait tous mes cartons...
L'idée générale, c'est qu'il te faut pouvoir calculer les niveaux d'énergie et les états propres d'un système mais également la façon dont un état va évoluer dans le temps (le temps n'apparaît pas dans la deuxième formule). Cette deuxième formule te dit simplement qu'en mécanique quantique, les niveaux d'énergie sont les valeurs propres d'un opérateur qu'on note $H$ et dont les règles de constructions sont définies par ailleurs. -
@ Pablo : passer de la première équation à la deuxième se fait d'une part en supposant que l'hamiltonien est indépendant du temps et d'autre part en utilisant la méthode de séparation des variables.
Comme les états stationnaires forment un ensemble complet, toute solution de l'équation de Schrödinger dépendante du temps peut s'obtenir comme somme infinie d'états stationnaires. -
Lorsque le problème étudié ne dépend pas du temps, l'opérateur Hamiltonien peut trouver une représentation dans une base de fonctions, elles mêmes indépendantes du temps. On a alors une équation aux valeurs propres. Les valeurs propres sont alors interprétées comme étant les énergies possibles lorsque le système étudié est dans l'état physique décrit (ou caractérisé) par une fonction de la base. Mathématiquement, les opérateurs utilisés en Mécanique Quantique, ont des caractéristiques qui font qu'ils "vivent" sur des espaces de Hilbert. Dans ce cas, on fait correspondre à la fonction indépendante du temps, un objet similaire à un vecteur (non euclidien) et qui s'appelle, en langage de physicien, un ket.
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