Maxwell et les anneaux de Saturne
Bonjour,
sur Internet, on peut lire que Maxwell a démontré que les anneaux de Saturne ne pouvaient pas être solides. J'ai un peu cherché, mais je n'ai pas trouvé de démonstration. Est-ce que vous en connaissez une ?
sur Internet, on peut lire que Maxwell a démontré que les anneaux de Saturne ne pouvaient pas être solides. J'ai un peu cherché, mais je n'ai pas trouvé de démonstration. Est-ce que vous en connaissez une ?
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Réponses
Pour faire le calcul, l'idée physique est qu'un point à la surface du satellite subit deux forces égales en norme et opposées en sens : une force de gravitation de la planète et une force de gravitation du satellite lui-même.
Si la planète est de masse $M$, de rayon $R$ et de densité volumique $\displaystyle \rho_M$, et le satellite de masse $m$, de rayon $r$ et de densité volumique $\displaystyle \rho_m$, alors on écrit (à la physicienne) :
La force de gravitation du satellite (de masse $m$) sur une de ses moitiés (de masse $m/2 = \mu$) est $\displaystyle -{G m \mu \over r^2}$ puisque la distance entre la moitié qui attire l'autre est $\displaystyle {r\over 2} + {r\over 2} = r.$ C'est la force de grativation interne : elle tend à réunir les deux moitiés.
La force de gravitation différentielle exercée par la planète (de masse $M$) sur les deux moitiés du satellite (de masse $\mu$) est $\displaystyle {G M \mu \over (d-r/2)^2} - {G M \mu \over (d+r/2)^2} \sim {G M \mu 2 r \over d^3}.$ C'est la force de marée : elle tend à séparer les deux moitiés.
A l'équilibre, on obtient $\displaystyle d \sim R (2 {\rho_M \over \rho_m})^{1/3}.$
Voilà !
Pour avoir le coefficient exact, il faut faire le calcul exact.