Équation de Schrödinger
Bonjour,
l'équation de Schrödinger, je la résume grossièrement en disant que l'énergie, c'est la dérivée de l'évolution unitaire.
Il y a un truc que je ne comprends pas : si je ne fais que l'hypothèse que l'évolution conserve l'énergie, je conclus que l'opérateur auto-adjoint qui est la dérivée de l'évolution unitaire en $0$ commute avec l'opérateur d'énergie. Mais pourquoi ce serait le même opérateur ?
En d'autres termes, quelle hypothèse physique dois-je faire pour exiger que si $\phi$ est un état propre de l'énergie, de valeur propre $\lambda$, alors $U(t)\phi = e^{i\lambda t}\phi$ ?
l'équation de Schrödinger, je la résume grossièrement en disant que l'énergie, c'est la dérivée de l'évolution unitaire.
Il y a un truc que je ne comprends pas : si je ne fais que l'hypothèse que l'évolution conserve l'énergie, je conclus que l'opérateur auto-adjoint qui est la dérivée de l'évolution unitaire en $0$ commute avec l'opérateur d'énergie. Mais pourquoi ce serait le même opérateur ?
En d'autres termes, quelle hypothèse physique dois-je faire pour exiger que si $\phi$ est un état propre de l'énergie, de valeur propre $\lambda$, alors $U(t)\phi = e^{i\lambda t}\phi$ ?
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Réponses
Il me semble que ta relation $U(t)\phi=e^{i \lambda t} \phi $ n'est pas correcte. C'est plutôt $U(t) \phi=e^{i\frac {2 \pi \lambda}{h}t} \phi$
La question est difficile à comprendre.
Une transformation unitaire n’est rien d’autre qu’un changement de variables dans l’espoir de simplifier les calculs (toujours merdiques, même numériques, d’un Hamiltonnien).
Si tu veux obtenir $U(t)=e^{iH_0/\hbar t}$ et donc $U(t)\phi=e^{i \lambda t} \phi$ avec $\lambda$ la valeur propre réduite de l’énergie, il te suffit de vérifier que $U(t)$ ainsi défini est un opérateur unitaire. C’est le cas quand $H_0$ est une constante.
Mais attends... j'ai une contradiction entre trois trucs :
- (marco) l'énergie est proportionnelle à la fréquence ;
- l'impulsion est la fréquence (i.e. l'opérateur impulsion se diagonalise dans la base des monômes trigonométriques et a pour valeurs propres les fréquences) ;
- l'énergie est le carré de l'impulsion.
Que dois-je abandonner ?
Tu dois tout abandonner. Ouvre un livre de MQ. Et n’oublie pas les conditions et les systèmes étudiés quand on établit des équations.
Autrement dit, mon état propre $\phi$ associé à la valeur propre $\lambda$, pour évoluer, comment est-ce qu'il sait qu'il doit se transformer en $e^{i2\pi \lambda t/h}\phi$ plutôt qu'en $e^{i2\pi (\lambda^{43} - 1729\lambda + 1) t}\phi$ ?
On a $ih \frac{\partial \phi}{\partial t} (x,t) = \nu h \phi(x,t)$ et $H\phi (x,t) = -\frac{h^2}{2m}(-ik)^2 \phi(x,t)$ où $H$ est l'opérateur qui consiste à dériver deux fois selon $x$, et donc si $\phi$ est solution de l'équation de Schrödinger, alors on a $\frac{2m}{h}\nu = k^2$.
Bref, j'ai $-i2\pi n \lambda \phi(x) = \frac{i}{h}(i2\pi n)^2\phi(x)$ et donc $\lambda = \frac{2\pi}{h}n$. Donc la "vitesse", $\lambda$, vaut (un multiple de) la "fréquence", $n$.
Dans les phrases entre guillemets chaque mot compte.
´Une transformation unitaire ne garantit pas la conservation de l’énergie.´
´Les lois de conservation sont reliées aux symétries de la théorie en question.´
´La conservation de l’énergie est reliée à l’invariance par translation du temps.´
L’opérateur d’évolution entre $t$ et $t’$ est noté $U(t,t’).$ L’invariance par translation du temps est $\forall a\in \R, U(t+a,t’+a)=U(t,t’).$ On en déduit $U(t,t’)=U(t-t’)$ et $U(t)U(t’)=U(t+t’).$
Cette dernière égalité combinée au caractère unitaire implique qu’il existe un opérateur hermitien indépendant du temps $H$ tel que $U(t)=\exp(-i H t).$
Comme $U(t)$ et $H$ commutent, si l’état $|\psi>$ est un vecteur propre de $H$ de valeur propre $E$ : $H|\psi>=E|\psi>$, alors l’état évolué $|\psi(t)>=U(t)|\psi>$ possède la même valeur propre.
Donc :
´L’invariance par translation du temps implique l’existence d’un opérateur hermitien $H$ dont les valeurs propres sont conservées dans le temps. Cet opérateur est appelé Hamiltonien et ses valeurs propres sont appelées énergies.´
Je ne voulais pas dire "n'importe quelle transformation unitaire conserve l'énergie" mais "l'évolution temporelle du système soumis à rien du tout conserve l'énergie". En tout cas, pour moi, cette phrase ne veut rien dire d'autre que ce que tu dis plus bas : "si $\psi$ est vecteur propre de $H$, alors $U\psi$ est vecteur propre de $H$ pour la même valeur propre".
Je suis d'accord qu'on peut "définir" l'énergie comme étant le $H$ tel que l'évolution temporelle unitaire soit de la forme $U(t) = e^{iHt/h}$. Mais qu'est-ce qui fait que celui-là mérite plus de s'appeler "énergie" que n'importe quel autre opérateur $H'$ qui aurait les mêmes vecteurs propres que $H$ (mais des valeurs propres différentes) ? Et comment ça se fait que ce soit pile-poil celui-là qui soit égal (à un scalaire près, peut-être) au carré de l'opérateur quantité de mouvement ?
Une fois défini l’opérateur hermitien $H$ (dont on ne ne sait rien d’autre), on démontre l’équation de Schrödinger : $\displaystyle |\psi(t’)>=\exp(-iH/\hbar(t’-t))|\psi(t)>.$ On utilise $ \exp x=1+x+o(x)$ et on passe à la limite quand $ t’-t\to 0.$
On obtient donc $\displaystyle i\hbar {d\over dt} |\psi >=H|\psi>.$
Puis on utilise le ´principe de correspondance’ : aux grandes énergies, les calculs quantiques et classiques se confondent.
Par identification du cas d’une particule isolée de masse $m$ et de quantité de mouvement $p$, on trouve que l’opérateur hermitien $H$ doit être l’hamiltonien.
Tu dois trouver des livres avec les détails d’un tel calcul.
Oui, je suis d'accord.
Il y a aussi la différence entre vitesse de phase et vitesse de groupe.