Équation de Schrödinger

Georges Abitbol · October 2020

Bonjour,
l'équation de Schrödinger, je la résume grossièrement en disant que l'énergie, c'est la dérivée de l'évolution unitaire.

Il y a un truc que je ne comprends pas : si je ne fais que l'hypothèse que l'évolution conserve l'énergie, je conclus que l'opérateur auto-adjoint qui est la dérivée de l'évolution unitaire en $0$ commute avec l'opérateur d'énergie. Mais pourquoi ce serait le même opérateur ?

En d'autres termes, quelle hypothèse physique dois-je faire pour exiger que si $\phi$ est un état propre de l'énergie, de valeur propre $\lambda$, alors $U(t)\phi = e^{i\lambda t}\phi$ ?

marco · October 2020

Peut-être, c'est $E=h \nu$, où $\nu$ est la fréquence de l'onde, et où $E$ est l'énergie, et $h$ la constante de Planck.
Il me semble que ta relation $U(t)\phi=e^{i \lambda t} \phi $ n'est pas correcte. C'est plutôt $U(t) \phi=e^{i\frac {2 \pi \lambda}{h}t} \phi$

YvesM · October 2020

Bonjour,

La question est difficile à comprendre.

Une transformation unitaire n’est rien d’autre qu’un changement de variables dans l’espoir de simplifier les calculs (toujours merdiques, même numériques, d’un Hamiltonnien).

Si tu veux obtenir $U(t)=e^{iH_0/\hbar t}$ et donc $U(t)\phi=e^{i \lambda t} \phi$ avec $\lambda$ la valeur propre réduite de l’énergie, il te suffit de vérifier que $U(t)$ ainsi défini est un opérateur unitaire. C’est le cas quand $H_0$ est une constante.

Georges Abitbol · October 2020

Ben comme je ne vois pas de différence mathématique entre $e^{i2\pi \lambda t/h}$ et $e^{i\lambda t}$, j'ai considéré que c'était la même chose, mais effectivement, physiquement c'est probablement faux.

Mais attends... j'ai une contradiction entre trois trucs :
- (marco) l'énergie est proportionnelle à la fréquence ;
- l'impulsion est la fréquence (i.e. l'opérateur impulsion se diagonalise dans la base des monômes trigonométriques et a pour valeurs propres les fréquences) ;
- l'énergie est le carré de l'impulsion.

Que dois-je abandonner ?

YvesM · October 2020

Bonjour,

Tu dois tout abandonner. Ouvre un livre de MQ. Et n’oublie pas les conditions et les systèmes étudiés quand on établit des équations.

Georges Abitbol · October 2020

YvesM : Pas compris. Voici mon "raisonnement" : on part de l'hypothèse que l'évolution unitaire conserve l'énergie. On en déduit... que pour tout $t$, $U(t)H = HU(t)$ où $H$ est le hamiltonien et où $U(t)$ désigne l'opérateur (unitaire) d'évolution. Par suite, quand je dérive $t \mapsto U(t)$, j'obtiens que $U'(0)$ est anti-hermitien et commute à $H$. Et donc $iU'(0)$ est auto-adjoint, commute avec $H$, et si $H$ est, par exemple, à spectre discret, tous les vecteurs propres de $H$ sont vecteurs propres de $iU'(0)$. Et donc $iU'(0)$ est une fonction de $H$. Quelle est l'hypothèse physique qu'on fait, à ce moment-là, pour demander qu'en fait, $iU'(0) = \alpha H$ pour $\alpha$ la bonne constante ?

Autrement dit, mon état propre $\phi$ associé à la valeur propre $\lambda$, pour évoluer, comment est-ce qu'il sait qu'il doit se transformer en $e^{i2\pi \lambda t/h}\phi$ plutôt qu'en $e^{i2\pi (\lambda^{43} - 1729\lambda + 1) t}\phi$ ?

marco · October 2020

Je ne crois pas que l'impulsion soit la fréquence. L'impulsion $p$ est liée à la longueur d'onde par $p=hk$, où $k$ est l'inverse de la longueur d'onde. L'onde est alors $(x,t) \mapsto e^{2i\pi (\nu t - kx)}$.

Georges Abitbol · October 2020

Je me sens un peu blessé et ça ne me donne pas trop envie de lire ce que répondrais éventuellement, Yves.

Georges Abitbol · October 2020

@marco : Ben oui mais la longueur d'onde c'est pas l'inverse de la fréquence ?

marco · October 2020

Non, cela dépend de la vitesse $V$ de la bosse de la sinusoïde. La vitesse $V$ de la bosse (je crois qu'on dit "vitesse de phase") est $\nu / k$, mais ce n'est pas forcément la vitesse de la lumière. À vérifier.

Georges Abitbol · October 2020

En tout cas, Marco, posons $\phi : (x,t) \mapsto e^{i2\pi (\nu t - kx)}$.

On a $ih \frac{\partial \phi}{\partial t} (x,t) = \nu h \phi(x,t)$ et $H\phi (x,t) = -\frac{h^2}{2m}(-ik)^2 \phi(x,t)$ où $H$ est l'opérateur qui consiste à dériver deux fois selon $x$, et donc si $\phi$ est solution de l'équation de Schrödinger, alors on a $\frac{2m}{h}\nu = k^2$.

Georges Abitbol · October 2020

Bon, moi mon idée c'était : je prends $n \in \mathbb{Z}$, et je regarde $\phi : x \mapsto e^{i2\pi n x}$. Je suppose que $\phi$ "va à vitesse" $\lambda$. C'est-à-dire que si je laisse $\phi$ évoluer pendant un temps $t$, $\phi$ va se décaler de $\lambda t$, i.e. si $U(t)$ est l'opérateur d'évolution, $U(t) \phi (x) = \phi(x - \lambda t)$. J'obtiens donc $U(t) \phi (x) = e^{i2\pi m (x-\lambda t)} = e^{-i2\pi n\lambda t} e^{i2\pi nx}$. Or, comme $U(t)$ doit être égal à $e^{itH/h}$ où $H$ est le hamiltonien (j'aurais tort de dire "énergie" ?), j'ai d'une part que $U'(0)\phi (x) = -i2\pi m \lambda \phi(x)$ et $U'(0)\phi(x) = \frac{i}{h} H \phi(x)$. Or, si $H$ est l'opérateur qui dérive selon $x$ deux fois, j'ai que $H\phi(x) = (i2\pi n)^2\phi(x)$.

Bref, j'ai $-i2\pi n \lambda \phi(x) = \frac{i}{h}(i2\pi n)^2\phi(x)$ et donc $\lambda = \frac{2\pi}{h}n$. Donc la "vitesse", $\lambda$, vaut (un multiple de) la "fréquence", $n$.

YvesM · October 2020

Bonjour,

Dans les phrases entre guillemets chaque mot compte.

´Une transformation unitaire ne garantit pas la conservation de l’énergie.´

´Les lois de conservation sont reliées aux symétries de la théorie en question.´

´La conservation de l’énergie est reliée à l’invariance par translation du temps.´

L’opérateur d’évolution entre $t$ et $t’$ est noté $U(t,t’).$ L’invariance par translation du temps est $\forall a\in \R, U(t+a,t’+a)=U(t,t’).$ On en déduit $U(t,t’)=U(t-t’)$ et $U(t)U(t’)=U(t+t’).$

Cette dernière égalité combinée au caractère unitaire implique qu’il existe un opérateur hermitien indépendant du temps $H$ tel que $U(t)=\exp(-i H t).$

Comme $U(t)$ et $H$ commutent, si l’état $|\psi>$ est un vecteur propre de $H$ de valeur propre $E$ : $H|\psi>=E|\psi>$, alors l’état évolué $|\psi(t)>=U(t)|\psi>$ possède la même valeur propre.

Donc :
´L’invariance par translation du temps implique l’existence d’un opérateur hermitien $H$ dont les valeurs propres sont conservées dans le temps. Cet opérateur est appelé Hamiltonien et ses valeurs propres sont appelées énergies.´

Georges Abitbol · October 2020

Bon ben je réponds quand même puisque ton dernier message ne me fait pas me sentir mal.

YvesM a écrit:

Une transformation unitaire ne garantit pas la conservation de l’énergie.

Je ne voulais pas dire "n'importe quelle transformation unitaire conserve l'énergie" mais "l'évolution temporelle du système soumis à rien du tout conserve l'énergie". En tout cas, pour moi, cette phrase ne veut rien dire d'autre que ce que tu dis plus bas : "si $\psi$ est vecteur propre de $H$, alors $U\psi$ est vecteur propre de $H$ pour la même valeur propre".

Je suis d'accord qu'on peut "définir" l'énergie comme étant le $H$ tel que l'évolution temporelle unitaire soit de la forme $U(t) = e^{iHt/h}$. Mais qu'est-ce qui fait que celui-là mérite plus de s'appeler "énergie" que n'importe quel autre opérateur $H'$ qui aurait les mêmes vecteurs propres que $H$ (mais des valeurs propres différentes) ? Et comment ça se fait que ce soit pile-poil celui-là qui soit égal (à un scalaire près, peut-être) au carré de l'opérateur quantité de mouvement ?

YvesM · October 2020

Bonjour,

Une fois défini l’opérateur hermitien $H$ (dont on ne ne sait rien d’autre), on démontre l’équation de Schrödinger : $\displaystyle |\psi(t’)>=\exp(-iH/\hbar(t’-t))|\psi(t)>.$ On utilise $ \exp x=1+x+o(x)$ et on passe à la limite quand $ t’-t\to 0.$

On obtient donc $\displaystyle i\hbar {d\over dt} |\psi >=H|\psi>.$

Puis on utilise le ´principe de correspondance’ : aux grandes énergies, les calculs quantiques et classiques se confondent.

Par identification du cas d’une particule isolée de masse $m$ et de quantité de mouvement $p$, on trouve que l’opérateur hermitien $H$ doit être l’hamiltonien.

Tu dois trouver des livres avec les détails d’un tel calcul.