Équation de Schrödinger

Bonjour Calli,
Je n'ai pas de cours entre les mains en ce moment. Je ne sais pas où en trouver un qui traite de l'analyse hilbertienne de point de vue de la mécanique quantique. Je n'arrive pas à en trouver un sur le net.
J'ai suivi un cours de mécanique quantique quant j'étais à la fac, mais ça remonte à plus de 10 ans. J'ai tout oublié. Est ce que tu peux m'écrire la réponse ici s'il te plaît ?. Je suis sûr que je ne trouverai aucune peine à la comprendre.
Merci pour ton aide.

Bonjour,

Après une brève révision que j'ai effectuée tout à l'heure, voici où j'en suis,
On pars de l'équation vectorielle,
$$ \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m}| \Psi (t)\rangle + V\Bigl(\hat{\vec{\mathbf{r}}},t\Bigr)| \Psi (t) \rangle=i \hbar {\partial\over \partial t} | \Psi (t) \rangle $$
Par conséquent,
$$ \langle\vec{r} | \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m} + V\Bigl(\hat{\vec{\mathbf{r}}},t\Bigr)| \Psi (t) \rangle= \langle\vec{r} | i \hbar {\partial\over \partial t} | \Psi (t) \rangle $$
C'est à dire,
$$ \langle\vec{r} | \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m} | \Psi (t) \rangle + \langle\vec{r} | V\Bigl(\hat{\vec{\mathbf{r}}},t\Bigr)| \Psi (t) \rangle= \langle\vec{r} | i \hbar {\partial\over \partial t} | \Psi (t) \rangle $$
C'est à dire,
$$ \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m} \Psi (t , \vec{r}) + V\Bigl(\hat{\vec{\mathbf{r}}},t\Bigr) \Psi (t , \vec{r} ) = i \hbar {\partial\over \partial t} \Psi (t, \vec{r}) $$
C'est à dire,
$$ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\vec{\nabla}^{2}\Psi(t,\vec{r})+V(t,\vec{r})\Psi(t,\vec{r}) = i\hbar\frac{\partial\Psi(t,\vec{r})}{\partial t} $$
Est ce que c'est ça ? :-)

Edit,
Croisement avec le message de SERGE_S :-)

Est ce que vous pouvez m'expliquer pourquoi,
$$ \langle\vec{r} | \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m} | \Psi (t) \rangle = \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m} \Psi (t , \vec{r}) $$ à l'aide du produit scalaire, de la transformée de Fourier de la fonction d'onde, et de la base des vecteurs propres de l'espace de Hilbert des fonctions d'ondes ?
Merci d'avance.

Comment la corriger YvesM ?
Merci. :-)

Merci YvesM. :-)
Il me semble que je comprends un peu le truc,
$$ \langle\vec{r} | \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m} | \Psi (t) \rangle = \langle\vec{r} | - \frac{\hbar^{2} }{2m} \nabla^2 | \Psi (t) \rangle = - \frac{ \hbar^{2}}{2m} \nabla^2 \langle\vec{r} | \Psi (t) \rangle = - \frac{\hbar^{2} }{2m} \nabla^2 \Psi (t , \vec{r}) $$