3 formules ax+by+cxy+d engendrent les entiers

francoiswolf · October 2014

Bonjour

Je souhaite démontrer que 3 formules du type k=ax+by+cxy+d ne peuvent pas engendrer tous les nombres possibles au-delà d'une limite quelconque klimit.
Il s'agit de valeurs entières positives N.

J'ai les trois formules suivantes : k1=3*x*y+5*x+7*y+6 et k2=3*x*y+5*x+5*y+4 et k3=3*xy+7*x+7*y+8
Je souhaite démontrer que quelle que soit la limite "klimit", par exemple klimit=10^9, ces 3 formules ne peuvent pas engendrer tous les nombres qui se situent au-delà de cette limite.

Auriez-vous connaissance d'une méthode pour réaliser une telle démonstration ?
Est-ce qu'une méthode par récurrence est possible ? Si oui, comment s'y prendre, auriez-vous un exemple ?

Merci par avance pour votre aide.

Professeur Rectangle · October 2014

Ce sont des équations de coniques il me semble.

francoiswolf · October 2014

Professeur Rectangle

Oui, mais ce sont des formules pas des équations, et on ne prend en compte que les entiers positifs.

Je n'arrive pas à trouver une approche qui me permettrait de démontrer que ces 3 formules ne génèrent pas tous les nombres.

Si ces 3 formules génèrent tous les nombres à partir d'ne certaine valeur limite, cela signifierait que tous les nombres premiers, situés au-delà de cette limite, appartiendrait à l'ensemble des nombres générés par ces formules.

là je bloque pour poursuivre ma démonstration

Fin de partie · October 2014

Je ne suis pas sûr de comprendre totalement la question.

Néanmoins, 3xy+5x+7y+6 n'est pas borné par exemple. Ce qui veut dire qu'on peut trouver un entier aussi grand qu'on veut qui soit de cette forme. C'est vrai aussi pour les deux autres expressions.

PS:
Peut-être que c'est l'ensemble $\{k\in \mathbb{N},k=3xy+5x+7y+6\text{ et }k=3xy+5x+5y+4\text{ et }k=3xy+7x+7y+8\}$ dont il est question?

francoiswolf · October 2014

Fin de partie

Oui, c'est bien de cet ensemble dont je parle.

Ces 3 formules ne sont pas bornées.

Mais est-ce que tous les nombres appartenant à l'ensemble des enstiers naturels N sont générés par ces formules.

Existe-t-il un nombre aussi grand que l'on souhaite qui n'appartienne pas à cet ensemble ?

Comment démontrer un tel résultat s'il existe ?

GreginGre · October 2014

Franchement, la question n'est toujours pas claire (ça manque de quantificateurs et de variables dans l'ensemble de FdP). Déjà, je ne sais pas ce qu'est un entier "généré" par une formule.

Est-ce que tu veux étudier :

$E_1=\{3xy+5x+7y+6, x,y\in\N \}$, $E_2=\{3xy+5x+5y+4, x,y\in\N \}$, et $E_3=\{3xy+7x+7y+8, x,y\in\N \}$ séparément ?

Autrement dit, est-ce que tu veux savoir si tout entier est dans $E_1$ par exemple ? c'est-à-dire ,est-ce que t ute poses la question: a-t-on $E_1=\N ?$ (resp. $E_2=\N$, ou $E_3=\N$ ?)

Ou alors est-ce que tu veux savoir si tout entier est AU MOINS dans un des $E_i$. Dans ce cas la question serait : est-ce que $E_1\cup E_2\cup E_3=\N ?$

Ou alors est-ce que tu veux savoir si $E_1\cap E_2\cap E_3=\N$ ?

Ou encore autre chose ? telle que j'ai compris ta première formulation, tu voudrais démontrer que pour tout $k\geq 0$, il existe un entier $\geq k$ qui n'est dans aucun des $E_i$. C'est ça ?

francoiswolf · October 2014

GreginGre

"Ou encore autre chose ? telle que j'ai compris ta première formulation, tu voudrais démontrer que pour tout k>=0 , il existe un entier >= k qui n'est dans aucun des Ei . C'est ça ?"

OUI

Je cherche à savoir s'il existe une démonstration me permettant de prouver que quelle que soit la valeur k fixée, il existe une valeur supérieure qui n'appartient à aucun des ensembles Ei.

Fin de partie · October 2014

Je cherche à savoir s'il existe une démonstration me permettant de prouver que quelle que soit la valeur k fixée, il existe une valeur supérieure qui n'appartient à aucun des ensembles Ei. a écrit:

Incompréhensible pour moi.

francoiswolf · October 2014

Prenons des exemples, c'est toujours plus facile:

Regardons les nombres engendrés par les 3 formules jusqu'à 20.

La formule k1=3xy+5x+5y+4 engendre les nombres suivants: 4, 9, 14, 18, 19, 20
La formule k2=3xy+5x+7y+6 engendre les nombres suivants: 6, 11, 13, 16, 20
La formule k3=3xy+7x+7y+8 engendre les nombres suivants: 8, 15

Les nombres qui ne sont pas engendrés par les formules entre 1 et 20 sont les suivants : 1,2,3,5,7,10,12,17

Donc dans l'intervalle [1;20] les 3 formules n'engendrent pas tous les nombres. Est-ce qu'entre 10^9 et 10^12 les 3 formules engendrent tous les nombres ?
Est-ce qu'entre 10^1000 et 10^100000, les trois formules engendrent tous les nombres qui se situent dans l'intervalle ?

Est-ce qu'il existe une limite au-delà de laquelle les trois formules engendrent tous les nombres ? ma question est de savoir si une telle démonstration est possible et si oui, par quelle méthode ?

j'espère avoir été plus clair avec cet exemple

GreginGre · October 2014

Je reformule la question pour FdP qui semble avoir un peu de mal aujourd'hui ;-)

Soient $E_1=\{3xy+5x+7y+6, x,y\in\N \}$, $E_2=\{3xy+5x+5y+4, x,y\in\N \}$, et $E_3=\{3xy+7x+7y+8, x,y\in\N \}$.

Existe--il un entier $k\geq 0$ tel que $E_1\cup E_2\cup E_3$ contienne l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $k$ ?

francoiswolf · October 2014

GreginGre

Oui, c'est exactement ça
merci

GreginGre · October 2014

De rien...Mais j'avoue que je n'ai aucune idée pour aborder la question, hélas. Ceci dit, on peut commencer par regarder $E_1,E_2,E_3$ séparément.

Par exemple, si $E_1$ contient déjà presque tous les entiers sauf un nombre fini, pas la peine de chercher plus loin.

francoiswolf · October 2014

GreginGre

je sais que pour chaque formule prise individuellement, il existe une infinité de nombres qui n'appartient pas à cet ensemble.
Par exemple, pour E1, il existe un ensemble infini de valeur qui n'appartient pas à E1. De même pour E2 et E3
C'est lié aux nombres premiers.

par contre, je n'ai pas la réponse pour E=E1 union (E2 union E3).
je n'ai pas non plus la réponse avec E1 union E2 ou E1 union E3

par contre je sais qu'il existe une infinité de valeur qui n'appartient pas à (E2 union E3)

francoiswolf · October 2014

Peut-on utiliser l'alpertron:
http://www.alpertron.com.ar/METHODS.HTM

k=Bxy + Dx + Ey + F
D'où
Bxy + Dx + Ey + F-k=0

D'où (Bx + E) (By + D) = DE - B(F-k)

Pour l'ensemble E1 on trouve :
B=3, D=5, E=7, F=6
D'où la solution :
(3x+7).(3y+5)=3.k+17

Pour E2, on trouve:
B=3, D=5, E=5, F=4
(3x+5).(3y+5)=3.k+13

Pour E3, on trouve:
B=3, D=7, E=7, F=8
(3x+7).(3y+7)=3.k+25

Selon le théorème de Dirichlet, les formes a.n+b génèrent une infinité de nombres premiers si a et b sont premiers entre eux.
Donc il existe des nombrs premiers qui ne sont pas égal à l'une des trois formes trouvées (3.k+17, 3.k+13, 3*k+25)

Peut-on conclure que l'union de ces 3 ensembles n'engendre pas tous les nombres au-delà d'une limite quelconque ?

3 formules ax+by+cxy+d engendrent les entiers

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