Factorisation d'un carré

Avec le lemme d'Euclide et le lemme de Gauss, non ?

Et, en trichant :

\begin{eqnarray*}
mn = a^2, \ (m,n) = 1 & \Longleftrightarrow & \tau(mn) \ \textrm{impair} \\
& \Longleftrightarrow & \tau(m) \tau(n) \ \textrm{impair} \\
& \Longleftrightarrow & \tau(m) \ \textrm{et} \ \tau(n) \ \textrm{impairs} \\
& \Longleftrightarrow & m \ \textrm{et} \ n \ \textrm{carrés.}
\end{eqnarray*}

Oui, mais tu as remarqué, j'ai dit "j'ai triché", en ce sens qu'il ne me paraît pas être simple de se passer de la décomposition primaire des entiers pour démontrer l'équivalence (au moins la condition nécessaire)
$$\tau(n) \ \textrm{impair} \Longleftrightarrow n \ \textrm{carré}.$$

$\tau(n)$ est le nombre de diviseurs positifs de $n$, également notée $d(n)$.

Est-ce vraiment tricher ?

Pour un entier positif $N$, chaque diviseur $p$ a un diviseur conjoint $q=N/p$, donc le nombre de diviseurs de $N$ est pair, sauf si l'un de ses diviseurs est égal à son conjoint.
Ça ne peut se produire qui'une seule fois et seulement si $N$ est un, carré.

Il faut peut-être dire que deux diviseurs distincts ne peuvent pas, en bonne moralité, avoir le même conjoint et que le conjoint du conjoint est le diviseur lui-même, bref qu'ils "vont bien par deux", sauf quand l'un est son propre conjoint.

Quoiqu'il en soit, ça ne nécessite pas qu'on passe par la factorisation

Boniour,
$\tau$ est multiplicative puisque c'est 1 * 1

On pose $\mathbf 1(n)=1$, pour tout $n \in \N$ et $*$ désigne le produit de convolution de Dirichlet,
on a $ \displaystyle \tau (n) = \sum _{d \mid n } 1$

Jacquot a écrit:

C'est là qu'on aura peut-être besoin de l'unicité de l'écriture [...]

Il est certain que cette proposition peut, bien sûr, se démontrer avec la décomposition canonique des entiers.

Maintenant, si tu peux la démontrer sans elle...

Oui, j'ai bien triché !

Mais ça aura eu le mérite de nous faire causer d'arithmétique, ce qui n'est pas une perte de temps. :-)

Pour que la question soit formelle ("sans recourir à factorisation" est trop vague), on peut peut-être poser la question dans les anneaux principaux par exemple.

Ca évoque le fait qu'ils sont forcément factoriels si je ne me trompe pas. Tu peux alors écrire une preuve de principal =>factoriel puis de factoriel => ton truc puis tenter d'éliminer les passages qui sont inutiles pour avoir principal => ton truc en recourant le moins possible à la factorialité

Bonjour

essayez ca :

a^2 = m.n => (a/n)^2 = m/n

Soit r = pgcd (a,n), avec a = rp, n =rq => p et q premiers entre eux, de meme pour p^2 et q^2 => p^2/q^2 est en forme reduite.

donc on a p^2/q^2 = m/n avec toutes les deux fractions de forme reduite => m = p^2, n =q^2

discret a écrit:

C'est du formalisme inutile

Bin j'ai juste été explicite.

Mais peut-on alors prouver
- l'unicité de l'écriture d'une fraction irréductible
- le fait que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux alors $a^2$ et $b^2$ aussi

sans avoir recours à la factorisation ?

On voit bien que si on détaille tout, ça devient assez long.

Essayons une preuve utilisant juste l'existence du PGCD et le lemme de Gauss.

Ecrivons $a=bc$ et $n=n'c$ où $c$ est le PGCD de $a$ et $n$. Alors $b$ et $n'$ sont premiers entre eux.

Comme $b^2c=mn'$ et $b$ divise le membre de gauche, $b$ divise $m$ donc on peut écrire $m=bm'$. Ceci donne
$bc=m'n'$.

Comme $b\mid bc=m'n'$, $b$ divise $m'$ donc on peut écrire $m'=bm''$, d'où $c=m''n'$.

Enfin, $c$ divise $n$ donc est premier avec $m$. A fortiori, $c$ est premier avec $m''$ donc $c$ divise $n'$.

Comme $m''\frac{n'}{c}=1$, on a nécessairement $m''=\frac{n'}{c}=1$, d'où finalement $n=c^2$ et $m=b^2$.

Je crois que ce que discret appelait "clair" à propos de "sans factorisation"c'était d'éviter de dire la chose suivante: m,n n'ont pas de facteur premier commun. Tous les facteurs premiers de $a^2$ apparaissent en double. De $a^2=mn$ on tire qu'ils se répartissent entre $m$ et $n$, mais en double à chaque fois. Donc $m,n$ sont tous deux des carrés

Je commence à voir avec les idées (géniales comme dit depasse :-D ) de moussaid et JLT que l'évitement de l'argument précédent suffit presque à satisfaire le critère. Mais personnellement, aussi "géniales" soient-elles, je n'ai vraiment pas compris en quoi elles évitaient la factorisation ou plutôt je ne l'ai compris qu'à relecture et re-réflexion sur le fil.

Comme (neuroleptiques n'arrangeant rien) je ne bite rien aux calculs de moussaid et JLT, j'essaie, à la vue de l'ensemble de ces arguments, de résumer ce qui se passe pour un lecteur peu calculant:

1) on a $a^2 = mn$ et on cherche $x,y$ tels que $(x^2,y^2)=(m,n)$. En fait, il en existe, mais on veut prouver qu'ils sont entiers.

2) De $a^2=x^2y^2=mn$ et $m,n$ premiers entre eux on tire que $y$ semble être un bon candidat à s'appeler $PGCD(a,n)$

3) On prend donc ce PGCD et on essaie de prouver que $n$ est son carré à partir des hypothèses. Ce qui a été fait ci-dessus (et suffit par symétrie).

Mais pour vraiment dire "sans factorisation", il me semble qu'il faudrait trouver une large classe d'anneaux noethériens non factoriels dans lesquels le phénomène survient. Ça inspire une question. JLT ayant bien circonscrit les propriétés qu'il utilise, celles-ci entrainent-t-elle, dans un anneau noethérien qu'il est factoriel?

Donc la question qu'on pourrait se poser est:

est-ce qu'un anneau noethérien intègre vérifiant le phénomène PGCD-lemme de Gauss-lié est forcément factoriel?

Merci JLT: donc pour l'instant "objectivement" le résultat ne se prouve qu'avec des hypothèses qui sont au moins aussi fortes que la factorisation (dans les noethériens)