Preuve par l'absurde
dans Arithmétique
Bonjour,
Je me demandais comment montrer par l'absurde que:
Etant donné un entier $ n>0 $ alors $\sqrt{n^2+1}$ n'est pas un entier.
Merci de votre intérêt.
Je me demandais comment montrer par l'absurde que:
Etant donné un entier $ n>0 $ alors $\sqrt{n^2+1}$ n'est pas un entier.
Merci de votre intérêt.
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Réponses
Si $\sqrt{n^2+1}$ était entier, alors son carré serait un carré parfait, le suivant de $n^2$, par conséquent.
et alors...
Donc ici, ça doit commencer par: supposons qu'il existe $n\geq 1$ tel que $\sqrt{n^2+1}$ soit entier. Alors, il existe un entier $m\geq 0$ tel que $\sqrt{n^2+1}=m$ blablabla...
Suppose qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $\sqrt{n^2+1}=k$ et regarde!
@ Jacquot, je ne vois pas la contradiction!
@GreginGre et Magnolia, la contradiction que j'obtient, en utilisant les notations de Magnolia, est le fait d'avoir un produit de deux entiers distincts qui vaut $1$ ce qui est impossible.
Pour la piste que je t'indiquais:
si $n^2$ est un carré parfait, quel est le suivant ?
Si $\sqrt{n^2+1}=k$ alors en élevant au carré j'aurai $k^2-n^2=1$ ce qui donne $(k-n)(k+n)=1$ ce qui est faux si les termes $k$ et $n$ sont entiers.
@Jacquot , le suivant est $(n+1)^2$ absurde car $n^2+1<(n+1)^2$, c'est bien ça!
[RPA : Raisonnement Par l'Absurde. AD]
Je ne serai pas son sparring-partner.
Mais en tout cas, l'essentiel de la démo est là :-)
Je ne me rappelle pas***.
[small]En fait, je donnais cette précision car le conditionnel n'a hélas pas pu recevoir d'interprétation mathématique (sauf depuis de récents développements de la TQ, mais bien entendu, ces derniers ne sont pas dans le contexte de ce genre de fil)
Une boite fermée avec dedans juste une bille bleue. Personne n'ouvre la boite. Voilà les hypothèses! Bon bin:
1) si j'ouvre la boite alors j'y trouve une bille rouge est une phrase vraie
2) si j'ouvrais la boite alors j'y trouverais une bille rouge est une phrase fausse
La deuxième ne fait pas partie du scop actuellement officiellement et formellement maitrisé par les mathématiques**. Pour info, elle est synonyme de dans tous les mondes où j'ouvre la boite j'y trouve une bille rouge, mais c'est une autre affaire[/small]
*** si j'ai déjà évoqué ça dans un fil fermé [small](je sais que je l'ai déjà signalé, mais je ne sais plus dans quel(s) fil(s) )[/small]
** il semble donc préférable de ne pas utiliser le conditionnel en maths devant de jeunes enfants ou jeunes adultes.
En réponse à christophe c qui écrivait plus haut:
il [me]semble donc préférable de ne pas utiliser le conditionnel en maths devant de jeunes enfants ou jeunes adultes
D'abord, hors de notre contexte, le mode conditionnel fait encore partie de notre langue, et je ne vois pas il faudrait en éviter l'usage devant les enfants... de quoi veux-tu donc les protéger ?
Venons-en au raisonnement par l'absurde.
(Bien que tu aies écrit tout petit, je me suis donné, cette fois, la peine de te lire)..
OK, ta première phrase bleue est vraie si, toutefois, la boîte n'est pas transparente, et elle restera vraie tant que tu n'ouvriras pas la boîte.
Et la deuxième phrase est peut-être fausse, mais je n'en suis convaincu qu'à 95%,( il conviendrait de bien préciser le théâtre de cette expérience de pensée).
Mais lorsque je fais plus haut ma démonstration par l'absurde, il ne s'agit pas d'étudier la valeur de vérité de mon implication:
$(n\in \mathbb N^* et \sqrt {n^2+1}\in \mathbb N) \Longrightarrow n^2+1=(n+1)^2$
Cette implication est VRAIE en vertu de la théorie, mais il s'agit de montrer que l'hypoyhèse est fausse.
Tel que je le comprends, le jeu proposé était celui-là:
Tout le monde s'accorde à penser que :
si $n$ est un entier strictement positif, alors $\sqrt{n^2+1}\notin \mathbb N$
mais sauriez-vous le démontrer ?
Eh bien là, je trouve que le mode conditionnel se prête fort bien à la rédaction du raisonnement:
[small](On sait bien que c'est faux, mais)[/small]Supposons un seul instant* que $\sqrt{n^2+1}\in \mathbb N$
alors $n^2+1$ serait un carré parfait, le suivant de $n^2$, et on aurait $ n^2+1=(n+1)^2$, puis $2n=0$, puis $n=0$.
On arrive à une contradiction, donc l'hypothèse ne tient pas la route.
(*)Ces effets de manche de l'avocat du diable sont ceux que faisait mon prof de math quand j'étais lycéen et je crois qu'il m'a bien aidé à comprendre le RPA (Raisonnement Par l'Absurde).
Amicalement. jacquot
Mon propos est juste de dire (pour les raisons que j'ai invoquées) qu'il ne faut pas l'utiliser (ie en arriver un jour à une situation d'enseignement où on aura, en tant qu'enseignants, réussi à prendre l'habitude de ne pas l'utiliser). Mais d'une certaine manière, si on le fait, c'est pas non plus un crime contre l'humanité, presque tous les enseignants ont pris cette mauvaise habitude.
Probablement que sans réfléchir, j'aurais dit pareil, ou que je dis pareil parfois en classe. Mon propos est juste de dire qu'il vaut mieux dire
pour la raison invoquée au fil qui précède le "merci" de PB (le si Xvait alors Yrait n'est hélas mathématiquement pas actuellement géré et diffère grandement du si X alors Y). A partir de là, scientifiquement, on n'a plus de validité de ce qu'on raconte (à 95% pour toi, mais c'est déjà beaucoup) et avec un petit effort, je pense qu'on peut consrtuire un petit raisonnement rigolo avec des conditionnels qui serait valable si on le traduisait au présent de l'indicatif et qui devient complètement foireux si on garde le conditionnel: je n'ai pas cherché à en consrtuire un mais peut-être que j'essairai)
edit: @Jacquot: un triangle avec 3 côtés de longueur 1 et Pythagore. L'utilisation de Pythagore t'amène, avec un conditionnel**, à la conjonction 1+1 serait égal à 1 et 1+1 différent de 1. Or ce n'est pas à priori une contradiction à cause de la différence $serait\neq est$. Le cerveau est spécial, tétu et instinctif sur certains points. De jeunes enfants, on ne peut pas savoir l'effet qu'a sur leur formation l'acte de leur faire avaler A et nonB comme une contradiction quand $B\neq A$.
[small]** "s'il était rectangle"[/small]
[small]Pour digresser (mais j'arrête là, je vais me déconnecter), on ne commence à comprendre pourquoi le cerveau a instinctivement inventé le conditionnel (sous la pression de la Nature) depuis la TQ, et plus précisément la TQ récente, ie les expériences de pensée de Elitzur Vaidman ou Marlian Scully
Sur le plan formel, on peut prouver irréfutablement[****] à l'aide de très peu d'axiomes que $A \Rightarrow B$ se comporte "essentiellement" comme ((non A) ou . Ce n'est pas une convention (au chouya près de non(non(X) = X pour tout X, qui distingue logique classique de logique intuitionniste. Je ne crois pas qu'il existe d'articles de recherche qui ait rencontré du succès dans l'élucidation honnête du conditionnel (la Krypke-idée ne marche pas à cause de [****] , etc).[/small]
*** db pense au fait au fait que les gens prétendent faire un RPA quand ils prouvent non A en supposant A et en déduisant que les poules ont des dents.
à quoi pense-t-on ?
S
J'ai une représentation sûrement simpliste de la différence entre un raisonnement par contraposition et un raisonnement par l'absurde, et je ne demande qu'à en changer si vous m'en prouvez ses limites (a fortiori son ineptie).
Attention: dans "m'en prouver", il y a deux mots-clefs: "moi "et "preuve". Vous l'aurez compris, je ne suis pas logicien: mon "niveau" me permet tout juste de comprendre (je crois!) la remarque de Christophe sur le conditionnel et l'étonnement de db.
Donc, à supposer que vous ayiez la gentillesse de me répondre, faites le avec des mots simples pour moi. Merci :-)
Pour moi, démontrer par contraposition que (A implique , c'est démontrer que (non B implique non A) sans avoir besoin d'aller checher dans son lot de connaissances un C et un D tels que la proposition (C implique D) soit vraie.
En revanche, démontrer par l'absurde que (A implique nécessite la connaissance d'un C et d'un D ayant la vertu susdite.
Une démonstration par l'absurde de (A implique , n'était-ce la jouissance de la majorité de ses auteurs à prolonger le suspens pour qu'on lise leur prose avec attention et excitation, prose qui se terminera alors toujours par " or (C implique D). Contradiction! :-) pourrait tout aussi bien commencer par l'énoncé de la clef du problème: Vous savez tous que (C implique D). Pour vous prouver que (A implique , je vais vous montrer que (non (A implique implique non (C implique D)).
Si l'on admet que C et D peuvent être identiques, on peut considérer qu'une démonstration par contraposition peut être vue comme une démonstration par l'absurde, mais alors tout C convient: c'est pauvre!
Ben, un petit stress à l'attente de vos remarques!
Cordialement
Paul
1) je prouve que nonA => tout
2) je déclare "donc A"
Elle est "profondément" par l'absurde quand dans l'argumentation qui t'amène à déduire tout de non A, tu utilises plusieurs fois (de manières éventuellement très différentes) l'hypothèse non A
Un préjugé populaire étend parfois ça (à tort) aux preuves ayant le profil suivant:
1) je prouve que A=>tout
2) je déclare "donc non A"
Ce profil n'est pas une preuve par l'absurde car par définition (pour ainsi dire),
En tout cas, ce profil est intuitionnistiquement valide
Comme la vox populi a une certaine tendance à considérer $X\mapsto non(X)$ comme une notion première vérifiant $\forall X: non(non(X))=X$, ça brouille (pour elle) un peu les pistes puisque dans ce cas, logique classique et logique intuitionniste coincident
Donc la meilleure manière est de ne pas parler de "non", ie de retenir qu'une preuve par l'absurde est une preuve qui va déduire A de (A=>B)=>A. Quand tu n'as pas besoin d'utiliser ce stratégème, tu n'es pas vraiment dans le recours à un raisonnement par l'absurde. Par ailleurs, toujours au niveau vox populi, tout dépend ce qu'on déclare notions premières. Si irrationnel est la notion première et que rationnel signifie non irrationnel, certains seraient légitimes à appeler leur preuve habituelle que $\sqrt{2}\notin \Q$ une preuve qui a recours au RPA.
db évoquait cette affaire. Les histoires de conditionnel que j'ai évoquées n'ont rien à voir avec ça.
Ni en latin, ni en suèdois. Et on me dit que je fais erreur.
Grand merci, Christophe, pour ta si prompte réponse
Tu te doutes que je ne l'ai pas encore digérée!
De db et du conditionnel, je ne parlai que pour situer mon "niveau". J'ai interprêté la remarque de db comme "il n'est pas question d'absurde, ce n'est que contraposition" et pensé que db considérait que si mon C et mon D étaient identiques, ça ne méritait pas le terme d' "absurde".
Quant à ta remarque sur le conditionnel, je l'approuve totalement mais n'ai jamais dit qu'elle avait un rapport avec la choucroute (salut Jacquot:-)) (i.e:c'est-y de la contraposition, c'est-y de l'absurde?). Que ce soit contraposition ou absurde, le conditionnel est à bannir...mais une fois qu'on aura interdit qu'il y ait des riches et des pauvres. Les effets de manches du bon prof de Jacquot ne permettent certes pas d'apprendre la différence entre absurde et contraposition mais, au fond, qu'importe, si ce n'est aux logiciens?
Là où tu me tues (tu dois le savoir) c'est quand tu dis, je te cite:
"Comme la vox populi a une certaine tendance à considérer $X\mapsto non(X)$ comme une notion première.."
Kristof matuez
Amicalement
Paul
PS Y a un abruti qui croit que je code un message suèdois et qui a peur que tu le décodes. Je retente demain.
Edit: pour finir par arriver à envoyer mon message, j'ai dû en écrire un bidon (les deux premières lignes), qui est passé sans difficulté, puis utiliser le "modifier" pour que mon vrai message soit envoyable.
Son dernier post est très bien, mais un peu (trop?) subtil; il demanderait, je crois, pour être compris, des développements (sur un autre fil?) : par exemple, la distinction entre un raisonnement par l'absurde et un raisonnement "profondément" par l'absurde (qui utilise plusieurs fois l'hypothèse non A) demanderait d'être explicitée - ça m'étonnerait que beaucoup de monde ait compris ce passage. Si jamais Christophe a le courage d'écrire un tel post, il pourrait peut-être ouvrir un autre fil auquel on pourrait faire référence dans de futures discussions? (:D
Merci Christophe pour ton inlassable dévouement et pardon d'en profiter.
La première partie de ton message ( celle qui se termine juste avant "Comme la vox populi a une certaine tendance à
considérer $X\mapsto non(X)$ comme une notion première..") je l'ai lue avec le plus grand des plaisirs: celui d'apprendre et de (croire) comprendre.
Et puis, patatras, ta phrase que je viens de citer m'anéantit! J'aurais compris " "Comme la vox populi a une certaine tendance à
considérer $X\mapsto non(non(X))$ comme une notion
première.."
De deux choses l'une: ou je n'ai rien compris ou tu as fait un lapsus! Rassure-moi s'il te plaît.
Amicalement
Paul
L'ignare que je suis s'est dit: "tiens, les logiciens utilisent pour désigner l'implication soit le même signe que les matheux (la flèche avec deux traits), soit la flèche mapto". Du coup, je me suis dit: "c'est pas possible de faire de la logique qui soit utile en maths si (A implique non A) est un axiome".
Et j'ai pensé que Christophe voulait dire par sa satanée phrase (où il aurait omis un non) que la vox populi disait (à tort) que l'axiome (X implique non(non X)) impliquait, quelque soit l'axiomatique, (X est équivalent à non(non X)); bref j'ai pensé que Christophe signifiait que, contrairement à ce que suggère le "bon sens", il existe des logiques où (X implique non(nonX)) et (non(nonX) n'implique pas X).
La logique utilisée classiquement en Maths n'étant pas de ce genre, je l'ai pris juste comme un petit plus culturel.
Clairement, j'ai brodé n'importe quoi à partir de ma confusion des deux flèches!
Encore merci
Paul
Christophe, db, GaBuZoMeu, etc., veulent qualifier de raisonnement par l'absurde le schéma d'axiome $\neg \neg A \Rightarrow A$. Ils tiennent aussi à ce qu'on sache que c'est la définition officielle. Officielle pour qui, je ne sais pas, car après avoir réitéré mes demandes de références pour cette terminologie à Christophe et à GaBuZoMeu, je n'en ai jamais obtenu une seule de leur part. J'ai néanmoins trouvé par moi-même une référence avec quelque chose qui s'en approche : Sheaves in geometry and logic, de Mac Lane et Moerdijk. Cet axiome est appelé reductio ad absurdum, ce qui est déjà bien différent car le mot latin reductio ne se traduit pas par raisonnement.
Qu'est-ce qu'un raisonnement ? Le mot "raisonnement" est-il synonyme de "axiome" comme le sous-entendent
"les logiciens" (car je crois volontiers Christophe, db, GaBuZoMeu, etc., lorsqu'ils me disent que c'est là le vocabulaire standard de tout logicien) ?
1. D'après Christophe, un raisonnement est une forme, et rien d'autre (je cite le fil le plus récent sur le sujet, mais il y en a d'autres où il écrit ceci).
2. D'après le littré, c'est au choix "La faculté ou l'action de raisonner" ; "un enchaînement de divers arguments" ; ou "des paroles, discours".
3. Le Larousse donne la même disjonction, quand l'article de l'Encyclopaedia Universalis insiste sur l'interpénétration du langage et des idées qui interviennent dans un raisonnement.
De toutes ces définitions, il m'apparaît une chose. Un raisonnement, et un (schéma d')axiome, ce n'est pas la même chose. Attention, je n'ai aucun problème avec le fait que "les logiciens" utilisent dans un sens technique des mots qui ont un autre sens dans le langage courant. Je n'ai aucun problème non plus lorsqu'ils reprochent à quelqu'un d'utiliser le sens courant dans une discussions technique. Mais je suis très mal à l'aise lorsqu'ils s'invitent dans une discussion non technique entre personnes qui utilisent le sens courant pour imposer leur sens technique.
Minute, me dira-t-on. Si le mot "raisonnement" a un sens courant, l'expression "raisonnement par l'absurde" a-t-elle un sens courant différent du sens technique ?
En fait, oui, mais ce n'est pas trop mon sujet : par exemple dans un fil relativement récent, un avocat blogueur se prend une volée de boit vert pour utiliser l'expression dans un sens juridique qui n'est pas le même que celui utilisé en mathématique. Mais je veux ici me concentrer sur le sens courant de l'expression en mathématiques.
L'expression "raisonnement par l'absurde" nous est léguée par Aristote, dans les premiers analytiques. À l'époque, il n'y avait pas de frontière nette entre mathématiques, physique, philosophie, droit, etc., ce qui explique sans doute que cette expression existe aujourd'hui dans ces différentes disciplines. Mais voyons comment, dans le chapitre XXIII, il explique de quoi il s'agit : La définition d'Aristote s'applique au delà des frontières actuelles des mathématiques, mais l'exemple qu'il donne, par chance, est purement mathématique. Or de quoi s'agit-il ? D'une preuve d’irrationalité. Une de celles-là même pour lesquelles "les logiciens" crient au scandale lorsqu'on utilise l'expression "raisonnement par l'absurde".
En résumé : Aristote nous lègue une expression, "raisonnement par l'absurde", qui dénote un certain type de raisonnement qui dans sa forme, conduit à une absurdité. L'expression s'ancre dans le langage courant en mathématiques comme dans d'autres disciplines. En mathématiques, ce sens courant englobe les preuves "par élimination de la négation" ($(A\Rightarrow Faux) \Rightarrow \neg A$), ce qui est bien la moindre des choses puisque c'était l'exemple-type donné par Aristote. "Les logiciens" lui donnent un sens technique différent, ce qui est parfaitement légitime. Puis ils s’incrustent lorsque quelqu'un donne l'exemple de raisonnement par l'absurde d'Aristote pour faire la morale et expliquer que l'expression n'est pas employé dans un sens convenable... ce qui est beaucoup moins légitime. Que dirait-on à quelqu'un qui reprocherait aux autres de ne pas utiliser sa définition personnelle des nombres réels, différente de la définition courante ? Au fait, il n'y a qu'à regarder...
Wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_l'absurde#En_math.C3.A9matiques est pas mal sur la question, mais ce n'est peut-être pas la référence que tu cherches. Sinon par exemple, Goldblatt, Topoi : "We have already noted that the so-called 'argument by contradiction' (alpha is true, because otherwise a contradiction would follow) is contructively unacceptable in existence proofs."
Oui. Et toi, t'es-tu demandé quel était l'objectif de mon post ?
Désolé que tu l'aies mal pris. Je voulais juste vous faire prendre conscience du distinguo entre sens technique et sens courant. Échec critique. Tant pis.
Les fonctions continues existaient avant Euler. Il est possible qu'Euler soit le premier a avoir tenté une formalisation mais on ne lui doit nullement le mot "continu" pour qualifier une fonction. Le laisser entendre est malhonnête.
Ton argument est du même acabit que de dire : « Avant Sarkozy, on pensait que "l'héritage de Jaurès", c'est la lutte pour l'intérêt des travailleurs. Maintenant, on sait bien que "l'héritage de Jaurès", c'est le libéralisme ». Désolé, mais c'est non. Respectez Jaurès. Respectez Aristote.
Ce que tu oublies ou ne comprends pas c'est que les logiciens, ou GBMZ ne re-signalent pas régulièrement ces différences pour rien, en tout cas, par pour des raisons d'officialité.
Contrairement à ton analogie avec les différentes constructions de IR, on n'obtient pas les mêmes logiques, donc les mêmes mathématiques avec les uns ou les autres (axiomes logiques ou raisonnements "autorisés").
Pour éviter d'en écrire long et à cause de mon traitement médicamenteux, je souffle et continue au post suivant
Je t'avoue que je n'ai pas non plus très bien compris l'objectif de ton long message.
Tu sembles vouloir connaître et comprendre le sens précis du "raisonnement par l'absurde" et, dans le même temps, tu sembles t'insurger du fait que ce sens précis ne corresponde pas au sens ancien du terme ni au sens naïf dans lequel l'emploient la plupart des mathématiciens.
Peut-être pourrais-tu tenter d'être plus clair sur ce que tu souhaites.
Dans ce cas mea culpa et j'ai mal compris, mais comment interpréter le premier post de db sur ce fil ?
???
Je ne vois pas à quel moment j'ai fait preuve de cette incompétence que tu me prêtes.
Edit : As-tu lu mon message ? As-tu lu la citation d'Aristote ?
Il n'y a pas de sens "courant" ici, on fait des mathématiques, pas du droit ou je ne sais quoi.
Mince, j'ai répondu avant d'avoir lu ça. Sinon, je n'aurais pas répondu : je ne discute pas avec des gens qui m'insultent. BASTA! Comment se fait-il que ce forum ait dégénéré à ce point?!
Mais il est devenu fou? Je n'ai jamais parlé de Jaurès ni d'Aristote. Qu'est-qui est arrivé à Nîmes-man?!
Peut-être que "les logiciens" veulent identifier "raisonnement" et "preuve formelle", mais "les mathématiciens", à ma connaissance, non.
Exact : tu les insultes d'abord, puis tu leur fais la morale, puis tu claques la porte.
Ce n'est effectivement pas une discussion.
Je prends des noms neutres et priorité à gauche par défaut pour les parenthèses, j'en suis à 25mg de valium je risque de me tromper sinon:
1) Tu as la logique $L_1$ dont les axiomes sont:
1.1) a=>(b=>c)=>((a=>b)=>(a=>c))
1.2) a=>(b=>a)
1.3) tout=>a
1.4) non(a)=>(a=>tout)
1.5) (a=>tout)=>(non(a))
Et bien cette logique est la logique intuitionniste. Elle démontre peu de théorèmes, l'ensemble de ses théorèmes propositionnels est PSPACE-complet (donc coSPACE-complet), en particulier il y a un algorithme rapide $f$ qui a la propriété que pour tout $x: x\in L_1\iff f(x)\notin L_1$, etc, etc. Elle est la logique préférée des gens qui s'auto-déclarent constructifs, etc, etc. Pourtant dans cette logique, on utilise tout à fait "supposons a blablabla , donc tout, finalement non(a)". Or les gens qui se déclarent constructifs sont les premiers à dire "nous refusons le RPA, ça donne trop ed résultats non constructifs"
2) Tu as la logique $L_2$ dont les axiomes sont:
2.1) a=>(b=>c)=>((a=>b)=>(a=>c))
2.2) a=>(b=>a)
2.3) tout=>a
2.4) non(a)=>(a=>tout)
2.5) (a=>tout)=>(non(a))
2.6) non(non(a))=>a
Je la commente au post suivant
NM, par son comportement sur ce fil, ne mérite pas que tu perdes ton temps à lui expliquer quelque chose. Mais c'est vrai que ça pourrait être profitable à quelqu'un d'autre (peut-être sur un autre fil?).
L'ensemble de ses théorèmes propositionnels est co-NP-complet (NP est une classe à priori bcp plus petite que la PSPACE), et il y est un théorème pour tout a,b que a ou (a=>b) (pour les gens qui ne veulent pas voir "ou", il y est un théorème que (a=>x)=>(((a=>b)=>x)=>x), autrement dit, il y est un théorème qu'une phrase ne peut qu'être vraie ou fausse (prendre $x:=tout$)
Je ne sais pas ce que tu entends par "peu". J'ai même l'impression qu'elle démontre plus de théorèmes que la logique classique si on quotiente ceux-ci par non non X = X, car à tout théorème classique correspond un théorème intuitionniste.
Tout raisonnement mathématiques, même les plus mauvais articles, ce sont des suites de chaines de caractères connectées de manière formelle par quelques mots qui sont toujours les mêmes. Et par défaut, disons qu'il y a "donc" sous-entendu. De toute façon en cas d'exception il n'est pas bien difficile de remettre le texte en forme de manière que les donc soient bien à leur place (et que les autres mots aient disparu)
Il revient à la logique d'avoir exhibé (démontré) que de toute façon, tout ça ça revient au même, et que ça peut soit se présenter à la Hilbert, soit se présenter sous la forme "calcul des séquents" soit se présenter en "déduction naturelle". Contrairement à ce que tu sembles croire nous parlons bien de la même chose, toi et nous, quand nous nous disputons sur "ce qu'est un raisonnement par l'absurde", etc, etc. Ce n'est pas une histoire de formel d'un côté VS argumentations au bord d'un pastis détente de l'autre
Ce n'est pas là que je me trompe, c'est là que nous ne sommes pas d'accord.
Je formule les choses ainsi : ça s'appelle la politesse. Tu écris que je me trompe : c'est une façon de faire moins polie. Quant à db, il ne prend même pas acte du désaccord : c'est une façon de faire... disons, encore moins polie, puisque parler d'insulte est insultant.
Ce post exprime mieux que je pourrais le faire mon ressenti face à ces procédés :
Je ne continue pas, je pense que tu peux maintenant avoir compris. J'aurais pu continue avec la correspondance de CuHo et te dire à quel point il y a une différence entre inférer A de (nonA)=>tout et inférer nonA de A=>tout. Je me suis donné la peine d'écrire un post en réponseà depasse où j'ai évoqué la vox populi. Donc tu vois, j'ai pensé à elle et ne l'ai pas "oubliée" dans mon propos.