Preuve par l'absurde

Bonjour, tu peux commencer comme ça:
Si $\sqrt{n^2+1}$ était entier, alors son carré serait un carré parfait, le suivant de $n^2$, par conséquent.

et alors...

Bonjour

Suppose qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $\sqrt{n^2+1}=k$ et regarde!

Montre comment tu as fait.

Il est utile de noter que $n\mapsto n^2$ est strictement croissante sur $\N$.

Oui, c'est ça.

J'ai l'impression que christophe veut relancer des discussions fermées (implique).
Je ne serai pas son sparring-partner.

@ Jacquot réagissant à mon post

Je ne me rappelle pas***.

[small]En fait, je donnais cette précision car le conditionnel n'a hélas pas pu recevoir d'interprétation mathématique (sauf depuis de récents développements de la TQ, mais bien entendu, ces derniers ne sont pas dans le contexte de ce genre de fil)

Une boite fermée avec dedans juste une bille bleue. Personne n'ouvre la boite. Voilà les hypothèses! Bon bin:

1) si j'ouvre la boite alors j'y trouve une bille rouge est une phrase vraie
2) si j'ouvrais la boite alors j'y trouverais une bille rouge est une phrase fausse

La deuxième ne fait pas partie du scop actuellement officiellement et formellement maitrisé par les mathématiques**. Pour info, elle est synonyme de dans tous les mondes où j'ouvre la boite j'y trouve une bille rouge, mais c'est une autre affaire[/small]

*** si j'ai déjà évoqué ça dans un fil fermé [small](je sais que je l'ai déjà signalé, mais je ne sais plus dans quel(s) fil(s) )[/small]

** il semble donc préférable de ne pas utiliser le conditionnel en maths devant de jeunes enfants ou jeunes adultes.

De rien ;-)

Ce que je trouve bizarre dans l'intervention de Christophe, c'est qu'il semble corroborer qu'on a bien affaire ici à un raisonnement par l'absurde...

@db, non ce n'en est pas un mais je répondais à autre chose de toute façon, mon propos n'était pas de signaler l'erreur à laquelle tu penses, de toute façon, les gens la font tout le temps*** et dans le présent contexte, j'ai fini par ne plus la relever

*** db pense au fait au fait que les gens prétendent faire un RPA quand ils prouvent non A en supposant A et en déduisant que les poules ont des dents.

Bonsoir,

J'ai une représentation sûrement simpliste de la différence entre un raisonnement par contraposition et un raisonnement par l'absurde, et je ne demande qu'à en changer si vous m'en prouvez ses limites (a fortiori son ineptie).
Attention: dans "m'en prouver", il y a deux mots-clefs: "moi "et "preuve". Vous l'aurez compris, je ne suis pas logicien: mon "niveau" me permet tout juste de comprendre (je crois!) la remarque de Christophe sur le conditionnel et l'étonnement de db.
Donc, à supposer que vous ayiez la gentillesse de me répondre, faites le avec des mots simples pour moi. Merci :-)

Pour moi, démontrer par contraposition que (A implique , c'est démontrer que (non B implique non A) sans avoir besoin d'aller checher dans son lot de connaissances un C et un D tels que la proposition (C implique D) soit vraie.

En revanche, démontrer par l'absurde que (A implique nécessite la connaissance d'un C et d'un D ayant la vertu susdite.

Une démonstration par l'absurde de (A implique , n'était-ce la jouissance de la majorité de ses auteurs à prolonger le suspens pour qu'on lise leur prose avec attention et excitation, prose qui se terminera alors toujours par " or (C implique D). Contradiction! :-) pourrait tout aussi bien commencer par l'énoncé de la clef du problème: Vous savez tous que (C implique D). Pour vous prouver que (A implique , je vais vous montrer que (non (A implique implique non (C implique D)).

Si l'on admet que C et D peuvent être identiques, on peut considérer qu'une démonstration par contraposition peut être vue comme une démonstration par l'absurde, mais alors tout C convient: c'est pauvre!

Ben, un petit stress à l'attente de vos remarques!
Cordialement
Paul

Que se passe t-il , j'y comprends rien: j'écris à Christophe un message où je ne vomis ni sur Hollande, ni sur Sarko, même pas sur Marine.
Ni en latin, ni en suèdois. Et on me dit que je fais erreur.

Grand merci, Christophe, pour ta si prompte réponse

Tu te doutes que je ne l'ai pas encore digérée!

De db et du conditionnel, je ne parlai que pour situer mon "niveau". J'ai interprêté la remarque de db comme "il n'est pas question d'absurde, ce n'est que contraposition" et pensé que db considérait que si mon C et mon D étaient identiques, ça ne méritait pas le terme d' "absurde".
Quant à ta remarque sur le conditionnel, je l'approuve totalement mais n'ai jamais dit qu'elle avait un rapport avec la choucroute (salut Jacquot:-)) (i.e:c'est-y de la contraposition, c'est-y de l'absurde?). Que ce soit contraposition ou absurde, le conditionnel est à bannir...mais une fois qu'on aura interdit qu'il y ait des riches et des pauvres. Les effets de manches du bon prof de Jacquot ne permettent certes pas d'apprendre la différence entre absurde et contraposition mais, au fond, qu'importe, si ce n'est aux logiciens?

Là où tu me tues (tu dois le savoir) c'est quand tu dis, je te cite:
"Comme la vox populi a une certaine tendance à considérer $X\mapsto non(X)$ comme une notion première.."

Kristof matuez

Amicalement
Paul

PS Y a un abruti qui croit que je code un message suèdois et qui a peur que tu le décodes. Je retente demain.
Edit: pour finir par arriver à envoyer mon message, j'ai dû en écrire un bidon (les deux premières lignes), qui est passé sans difficulté, puis utiliser le "modifier" pour que mon vrai message soit envoyable.

Je vais essayer un peu plus tard si tu veux.

Non, il n'a pas fait de lapsus. Une "notion première" est quelque chose qui n'est pas défini à partir d'autre chose mais quelque chose qui satisfait une certaine axiomatique. Si tu poses non X = (X implique absurde), alors 'non' n'est plus une notion première. Ce que dit Christophe, c'est que "la vox populi" ne pose pas non X = (X implique absurde), mais considère 'non' comme une notion première qui vérifie l'axiome $(\forall X) non (non X) = X$; en procédant ainsi, il peut devenir très difficile de savoir quand on a affaire à un raisonnement par l'absurde ou non. Si, à la place, on ne considère plus "non" comme une notion première, mais qu'on considère "non X" comme une abréviation de (X implique absurde), alors on peut plus facilement distinguer les preuves par l'absurde des autres.

db a écrit:

Je confirme ce qu'a écrit Christophe : comme il est intervenu, à raison, de nombreuses fois sur le forum (ainsi que moi-même) pour démentir le fait qu'on avait affaire à un raisonnement par l'absurde quand il ne s'agissait que de montrer la négation d'une proposition A en supposant qu'on avait A et en en déduisant une contradiction.

Christophe, db, GaBuZoMeu, etc., veulent qualifier de raisonnement par l'absurde le schéma d'axiome $\neg \neg A \Rightarrow A$. Ils tiennent aussi à ce qu'on sache que c'est la définition officielle. Officielle pour qui, je ne sais pas, car après avoir réitéré mes demandes de références pour cette terminologie à Christophe et à GaBuZoMeu, je n'en ai jamais obtenu une seule de leur part. J'ai néanmoins trouvé par moi-même une référence avec quelque chose qui s'en approche : Sheaves in geometry and logic, de Mac Lane et Moerdijk. Cet axiome est appelé reductio ad absurdum, ce qui est déjà bien différent car le mot latin reductio ne se traduit pas par raisonnement.


Qu'est-ce qu'un raisonnement ? Le mot "raisonnement" est-il synonyme de "axiome" comme le sous-entendent
"les logiciens" (car je crois volontiers Christophe, db, GaBuZoMeu, etc., lorsqu'ils me disent que c'est là le vocabulaire standard de tout logicien) ?
1. D'après Christophe, un raisonnement est une forme, et rien d'autre (je cite le fil le plus récent sur le sujet, mais il y en a d'autres où il écrit ceci).
2. D'après le littré, c'est au choix "La faculté ou l'action de raisonner" ; "un enchaînement de divers arguments" ; ou "des paroles, discours".
3. Le Larousse donne la même disjonction, quand l'article de l'Encyclopaedia Universalis insiste sur l'interpénétration du langage et des idées qui interviennent dans un raisonnement.
De toutes ces définitions, il m'apparaît une chose. Un raisonnement, et un (schéma d')axiome, ce n'est pas la même chose. Attention, je n'ai aucun problème avec le fait que "les logiciens" utilisent dans un sens technique des mots qui ont un autre sens dans le langage courant. Je n'ai aucun problème non plus lorsqu'ils reprochent à quelqu'un d'utiliser le sens courant dans une discussions technique. Mais je suis très mal à l'aise lorsqu'ils s'invitent dans une discussion non technique entre personnes qui utilisent le sens courant pour imposer leur sens technique.


Minute, me dira-t-on. Si le mot "raisonnement" a un sens courant, l'expression "raisonnement par l'absurde" a-t-elle un sens courant différent du sens technique ?

En fait, oui, mais ce n'est pas trop mon sujet : par exemple dans un fil relativement récent, un avocat blogueur se prend une volée de boit vert pour utiliser l'expression dans un sens juridique qui n'est pas le même que celui utilisé en mathématique. Mais je veux ici me concentrer sur le sens courant de l'expression en mathématiques.

L'expression "raisonnement par l'absurde" nous est léguée par Aristote, dans les premiers analytiques. À l'époque, il n'y avait pas de frontière nette entre mathématiques, physique, philosophie, droit, etc., ce qui explique sans doute que cette expression existe aujourd'hui dans ces différentes disciplines. Mais voyons comment, dans le chapitre XXIII, il explique de quoi il s'agit :

Aristote a écrit:

En effet, tous les syllogismes qui démontrent par l’absurde concluent le faux par
syllogisme ; mais ils démontrent la donnée initiale par hypothèse, en prouvant qu’il y a
une absurdité dans la supposition de la contradictoire. En voici un exemple : on prouve
que le diamètre est incommensurable, parce que, si on le suppose commensurable, il
s’ensuit que le pair est égal à l’impair. On conclut donc par syllogisme que l’impair
devrait être égal au pair ; et l’on ne démontre alors que par hypothèse que le diamètre
est incommensurable, parce que la contradiction de ceci conduit à une erreur évidente.
En effet, raisonner par l’absurde, c’est précisément montrer que quelque impossibilité
résulte de l’hypothèse d’abord admise.

La définition d'Aristote s'applique au delà des frontières actuelles des mathématiques, mais l'exemple qu'il donne, par chance, est purement mathématique. Or de quoi s'agit-il ? D'une preuve d’irrationalité. Une de celles-là même pour lesquelles "les logiciens" crient au scandale lorsqu'on utilise l'expression "raisonnement par l'absurde".

En résumé : Aristote nous lègue une expression, "raisonnement par l'absurde", qui dénote un certain type de raisonnement qui dans sa forme, conduit à une absurdité. L'expression s'ancre dans le langage courant en mathématiques comme dans d'autres disciplines. En mathématiques, ce sens courant englobe les preuves "par élimination de la négation" ($(A\Rightarrow Faux) \Rightarrow \neg A$), ce qui est bien la moindre des choses puisque c'était l'exemple-type donné par Aristote. "Les logiciens" lui donnent un sens technique différent, ce qui est parfaitement légitime. Puis ils s’incrustent lorsque quelqu'un donne l'exemple de raisonnement par l'absurde d'Aristote pour faire la morale et expliquer que l'expression n'est pas employé dans un sens convenable... ce qui est beaucoup moins légitime. Que dirait-on à quelqu'un qui reprocherait aux autres de ne pas utiliser sa définition personnelle des nombres réels, différente de la définition courante ? Au fait, il n'y a qu'à regarder...

db a écrit:

Et t'es-tu demandé à quoi sert ton post ?

Oui. Et toi, t'es-tu demandé quel était l'objectif de mon post ?

Désolé que tu l'aies mal pris. Je voulais juste vous faire prendre conscience du distinguo entre sens technique et sens courant. Échec critique. Tant pis.

:-D @NM moi je plaide non coupable, je ne suis pas intervenu pour rappeler la bonne parole logique mais parler du conditionnel (même si après j'ai dû détailler) :-D

Ce que tu oublies ou ne comprends pas c'est que les logiciens, ou GBMZ ne re-signalent pas régulièrement ces différences pour rien, en tout cas, par pour des raisons d'officialité.

Contrairement à ton analogie avec les différentes constructions de IR, on n'obtient pas les mêmes logiques, donc les mêmes mathématiques avec les uns ou les autres (axiomes logiques ou raisonnements "autorisés").

Pour éviter d'en écrire long et à cause de mon traitement médicamenteux, je souffle et continue au post suivant

cc a écrit:

Ce que tu oublies ou ne comprends pas c'est que les logiciens, ou GBMZ re-signale régulièrement ces différences pas pour rien, en tout cas, par pour des raisons d'officialité.

Dans ce cas mea culpa et j'ai mal compris, mais comment interpréter le premier post de db sur ce fil ?

Ce distinguo n'est pas pertinent. Quelqu'un qui utilise l'expression "raisonnement par l'absurde" au sens "courant" est juste quelqu'un qui n'a pas pris conscience qu'il désigne par la même expression "raisonnement par l'absurde" des raisonnements qui n'ont rien à voir les uns avec les autres (ceux qui utilisent un axiome non(non A) => A et ceux qui ne l'utilisent pas) d'une part, et qu'il fait des distinctions sans motivation parmi des raisonnements identiques (ceux qui prouvent B en supposant A en fonction de B = absurde ou non) d'autre part. Qu'Aristote n'ait pas eu conscience de cela me semble évident : il n'a pas pu, contrairement à toi, profiter des progrès faits en mathématiques depuis plus de 2000 ans. Aujourd'hui on y voit plus clair qu'Aristote en ce qui concerne le raisonnement par l'absurde, de même qu'on y voit plus clair au sujet du concept de continuité que du temps d'Euler, donc on s'exprime différemment.
Il n'y a pas de sens "courant" ici, on fait des mathématiques, pas du droit ou je ne sais quoi.

Un raisonnement n'est pas une preuve formelle, et encore moins un (schéma d')axiome. Un raisonnement est un enchaînement d'arguments destiné à convaincre.

Peut-être que "les logiciens" veulent identifier "raisonnement" et "preuve formelle", mais "les mathématiciens", à ma connaissance, non.

Je t'épargne les 3 familles (enfin en fait 2 mais peu importe) de présentations de preuve et je traite uniquement les raisonnements hilbertiens (de toute façon par définition de la logique on exige qu'il y ait toujours correspondance parfaite entre les types de présentations, ceux à la Hilbert présentant l'avantage de n'avoir qu'une seule règle d'inférence: le modus ponens

Je prends des noms neutres et priorité à gauche par défaut pour les parenthèses, j'en suis à 25mg de valium je risque de me tromper sinon:

1) Tu as la logique $L_1$ dont les axiomes sont:

1.1) a=>(b=>c)=>((a=>b)=>(a=>c))
1.2) a=>(b=>a)
1.3) tout=>a
1.4) non(a)=>(a=>tout)
1.5) (a=>tout)=>(non(a))

Et bien cette logique est la logique intuitionniste. Elle démontre peu de théorèmes, l'ensemble de ses théorèmes propositionnels est PSPACE-complet (donc coSPACE-complet), en particulier il y a un algorithme rapide $f$ qui a la propriété que pour tout $x: x\in L_1\iff f(x)\notin L_1$, etc, etc. Elle est la logique préférée des gens qui s'auto-déclarent constructifs, etc, etc. Pourtant dans cette logique, on utilise tout à fait "supposons a blablabla , donc tout, finalement non(a)". Or les gens qui se déclarent constructifs sont les premiers à dire "nous refusons le RPA, ça donne trop ed résultats non constructifs"

2) Tu as la logique $L_2$ dont les axiomes sont:

2.1) a=>(b=>c)=>((a=>b)=>(a=>c))
2.2) a=>(b=>a)
2.3) tout=>a
2.4) non(a)=>(a=>tout)
2.5) (a=>tout)=>(non(a))
2.6) non(non(a))=>a

Je la commente au post suivant

Qui ai-je insulté et où??
NM, par son comportement sur ce fil, ne mérite pas que tu perdes ton temps à lui expliquer quelque chose. Mais c'est vrai que ça pourrait être profitable à quelqu'un d'autre (peut-être sur un autre fil?).

@db peut-être mais ce n'est pas la première fois que NM commet son "erreur" de réagir un peu comme ça je crois, donc je donne quelques détails.

Ton erreur (je m'adresse à NM) est de faire, me semble-t-il un procès d'intention très formaliste à ce que tu appelles les logiciens que nous sommes, et dans un post un peu plus haut d'ailleurs tu le dis toi-même, tu as tendance à croire que les raisonnements des matheux ordinaires ne sont pas des histoires d'axiomes et de règles d'inférence. C'est là que tu te trompes.

Tout raisonnement mathématiques, même les plus mauvais articles, ce sont des suites de chaines de caractères connectées de manière formelle par quelques mots qui sont toujours les mêmes. Et par défaut, disons qu'il y a "donc" sous-entendu. De toute façon en cas d'exception il n'est pas bien difficile de remettre le texte en forme de manière que les donc soient bien à leur place (et que les autres mots aient disparu)

Il revient à la logique d'avoir exhibé (démontré) que de toute façon, tout ça ça revient au même, et que ça peut soit se présenter à la Hilbert, soit se présenter sous la forme "calcul des séquents" soit se présenter en "déduction naturelle". Contrairement à ce que tu sembles croire nous parlons bien de la même chose, toi et nous, quand nous nous disputons sur "ce qu'est un raisonnement par l'absurde", etc, etc. Ce n'est pas une histoire de formel d'un côté VS argumentations au bord d'un pastis détente de l'autre

cc a écrit:

Tu as tendance à croire que les raisonnements des matheux ordinaires ne sont pas des histoires d'axiomes et de règles d'inférence. C'est là que tu te trompes.

Ce n'est pas là que je me trompe, c'est là que nous ne sommes pas d'accord.

Je formule les choses ainsi : ça s'appelle la politesse. Tu écris que je me trompe : c'est une façon de faire moins polie. Quant à db, il ne prend même pas acte du désaccord : c'est une façon de faire... disons, encore moins polie, puisque parler d'insulte est insultant.

Ce post exprime mieux que je pourrais le faire mon ressenti face à ces procédés :

David Olivier a écrit:

Il y a différentes façons de faire des maths, d'aborder les problèmes, de se représenter les choses, etc. et je regrette que parfois on ait l'impression que ces approches apparaissent comme en concurrence, et que si l'approche du voisin diffère, il faille lui montrer que c'est pas la bonne et que y'a que la mienne qu'est bien. Je ne dis pas non plus qu'il ne faille jamais jamais critiquer le voisin, mais l'attitude par défaut devrait être: soit son approche m'intéresse, soit elle ne m'intéresse pas et je vais voir ailleurs.