Pgcd de (a^3-b^3) et de (a-b)^3

Effectivement en me creusant un peu les méninges, je suis arrivé au résultat suivant :

soit d = pgcd(a,b) on obient a = dp et b=dq avec p et q éléments de Z premiers entre eux.
donc pgcd(a3-b3,(a-b)3) = (a-b)pgcd(a2+ab+b2,a2-2ab+b2) comme dit plus haut
et donc pgcd(a3-b3,(a-b)3) = (a-b)d²pgcd(p²+pq+q²,p²-2pq+q²)
soit d' le pgcd de p²+pq+q² et de p²-2pq+q² donc d' divise ces deux expressions et donc n'importe quelle combinaison de ces expressions comme tu le disais fort justement Fin de partie
d' divise donc : (p²+pq+q²)-(p²-2pq+q²) = 3pq
or d' divise p²-2pq+q² = (p-q)² donc d' divise p-q

soit d"=pgcd(p-q,pq) d" divise pq et p-q, donc d" divise p ou q (p et q étant premiers entre eux):
si d" divise p, il divise en outre p-q et ainsi d" divise q donc d"=1
si d" divise q, il divise également p-q et ainsi d' divise p donc d"=1

par conséquent pq et p-q sont premiers entre eux donc d' divise 3 ou divise 1
c'est à dire d'=3 si et seulement si p-q multiple de 3 sinon d'=1
Finalement les solutions sont :
d=3(a-b)pgcd(a,b)² ou d= (a-b)pgcd((a,b)²

Exemple :
a=15 et b=6 le pgcd(a,b)=3
donc p=5 et q =2 donc p-q =3 est bien un multiple de 3, c'est donc la première formule qui s'applique
on trouve pgcd(a3-b3,(a-b)3) = 243

Eh oui emporté par mon élan, j'ai commis de grosses erreurs, sur tes conseils GreginGre, je recommence ma démonstration avec des diviseurs premiers :


soit d = pgcd(a,b) on obient a = dp et b=dq avec p et q éléments de Z premiers entre eux.
donc pgcd(a3-b3,(a-b)3) = (a-b)pgcd(a2+ab+b2,a2-2ab+b2) comme dit plus haut
et donc pgcd(a3-b3,(a-b)3) = (a-b)d²pgcd(p²+pq+q²,p²-2pq+q²)
soit d' le pgcd de p²+pq+q² et de p²-2pq+q² donc d' divise ces deux expressions et donc n'importe quelle combinaison de ces expressions :
d' divise donc : (p²+pq+q²)-(p²-2pq+q²) = 3pq
or d' divise p²-2pq+q² = (p-q)² donc il existe un diviseur premier k qui divise (p-q) et donc d' et donc 3pq

soit k un diviseur premier de p-q et 3pq, k divise 3pq et p-q, donc k divise p ou q ou 3
si k divise p, il divise en outre p-q et ainsi k divise q sauf que p et q sont premiers entre eux et donc le seul diviseur commun à p et q est 1
si k divise q, il divise également p-q et ainsi k divise p et de même p et q étant premiers entre eux, le seul diviseur commun à p et q est 1
Si k divise 3, il divise également p-q donc p-q est un multiple de 3

par conséquent seuls 3 ou 1 divisent d'

donc soit d'=1 si 1 est l'unique diviseur de d'
ou
d' est divisé par 3

A contrario si p-q est multiple de 3, nous ne pouvons pas avoir p et q multiples de 3 car p et q ne seraient pas premiers entre eux. Donc comme d'=3pq, donc d' est uniquement et seulement divisé par 3 et ainsi d'=3

Finalement les solutions sont :
d=3(a-b)pgcd(a,b)² ou d= (a-b)pgcd(a,b)²

Exemple :
a=15 et b=6 le pgcd(a,b)=3
donc p=5 et q =2 donc p-q =3 est bien un multiple de 3, c'est donc la première formule qui s'applique
on trouve pgcd(a3-b3,(a-b)3) = 243

oui on peut préciser en effet en fonction de a et b :

$ Pgcd(a^3-b^3,(a-b)^3)=3(a-b)pgcd(a,b)^2 \quad si \quad \frac{a-b}{pgcd(a,b)} \; \in \; 3\mathbb Z$
$ Pgcd(a^3-b^3,(a-b)^3)=(a-b)pgcd(a,b)^2 \quad si \quad \frac{a-b}{pgcd(a,b)} \; \notin \; 3\mathbb Z$

Voilà j'espère que j'en ai terminé de mon exercice et merci à tous ceux qui m'ont aidé.