Une question de primalité
dans Arithmétique
Bonjour,
le nombre $4^{545}+545^4$ est-il premier?
(j'ai la réponse si vous en doutez chafouins que vous êtes! :-P)
Amicalement,
F.D.
le nombre $4^{545}+545^4$ est-il premier?
(j'ai la réponse si vous en doutez chafouins que vous êtes! :-P)
Amicalement,
F.D.
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Je n'ai pas compris la référence à l'identité de Sophie Germain qui est, sauf erreur:
$x^4+4y^4=(\big (x+y)^2+y^2\big)\big ((x-y)^2+y^2\big)$
PS:
Le nombre donné dans le premier message est aussi divisible par $9677$
$679369$ divise aussi ce nombre B-)-
\[4^{545}+545^4=545^4+4\times\bigl(4^{136}\bigr)^4=\bigl((545+4^{136})^2+4^2\bigr)\bigl((545-4^{136})^2+4^2\bigr)\]
et les facteurs valent...
11517219314030582739994978579676113558706424622852906580737934265886304206
519009775168733424412166571730937545923222960352700101270845940202114383005
8550044993554497
et
11517219314030582739994978579676113558706424622852906580737934265886304206
519008120864754888439754616876657516520404022678126220933284874205609214720
1746344389937217.
Mais j'ai un plus petit facteur et en plus il est premier...
Edit: multi-grillé et avec une faute de frappe. Mais j'ai toujours le plus petit facteur premier...
tandis que l'autre est divisible par $73$ et $9677$.
Mais en divisant ces deux grands nombres par leur facteurs connus, le résultat n'est pas un nombre premier dans les deux cas. :-D
La factorisation va être coton.
(si j'ai bien vu, il n'y a pas de diviseurs, autres que ceux déjà trouvés inférieurs à $200 000 000$)
PS:
J'ai factorisé l'un des deux gros facteurs
$9213479982293$
$322326610971024773$
$54898967567998143011198247530905627154282483189341522981181045317168022956956\\185672843704293807109173205486465482069277905641813$
Il n'y a rien de curieux, $545$ n'étant pas divisible par $4$ j'en ai conclu très hâtivement qu'on ne pouvait pas appliquer cette identité :-D
PS:
Cela fait plus d'une heure que j'ai lancé mon esclave numérique pour factoriser le gros facteur qui reste à factoriser et toujours rien. (j'ai lancé mon programme tout pourri évoqué dans un autre fil sans résultat non plus)
bravo pour ceux qui ont pensé à Sophie Germain
$a^4+4b^4=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$
et GreginGre l'a superbement bien appliqué
référence: Engels "Mathematical problems", il s'agit ici d'une olympiade polonaise je crois
Amicalement,
F.D.
L'identité ci-dessus sert à démontrer la non-primalité de pas mal de grands entiers. Il me semble qu'il y a quelques années, un intervenant (peut-être Géo ou encore FrançoisD) avait également demandé si $N = 3^{4^5} + 4^{5^6}$ était premier et, là encore, l'identité de Sophie Germain permet de conclure aisément.
Il y a une faute $4^{10}=1048576=6$ mod $10$ et une autre dans $5+4$.
Elle aurait résidé Rue de Savoie dans le 6ème arrondissement de Paris ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Rue_de_Savoie_(Paris) ) où elle y est décédée en 1831 (11 mois avant Galois)
Elle est la première femme a pouvoir assister aux travaux de l'Institut sans être l'épouse d'un de ses membres.
C'est dans ce cadre qu'elle a relaté la grossièreté de Galois, si je me souviens bien . B-)-
PS:
Factoriser complètement le dernier facteur est désespéré je le crains. :-D
Plus haut, j'ai utilisé : P. Ribenboim, Nombres Premiers : Mystères et Records, PUF, 1994.
Il semble qu'aucun livre bibliographique n'ait été consacré exclusivement à Sophie Germain (j'ai cherché en vain jusqu'à maintenant).
Dans une autre biographie ( http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/sophie-germain.html ) on apprend qu'elle ne s'est jamais mariée. Ce qui j'imagine est assez rare à son époque.
Elle n'est pas issue de l'aristocratie. Elle vivait de ses rentes. B-)-
PS:
La version anglaise de Wikipedia de sa biographie donne plus de détails d'ordre bibliographique.
On y apprend, par exemple, qu'elle y est enterrée au "Père Lachaise"