congruence

fatma.kdr · January 2015

Salut à tous
Est-ce que quelqu'un pourra m'aider pour résoudre cette équation :

3n² - 5 = 0 mod(77)

Et merci !!

nicolas.patrois · January 2015

Résous-la mod 7 et mod 11 puis remonte avec le théorème Chinois.

fatma.kdr · January 2015

J'ai pensé à ça et j'aurai un système de deux équations
3n²=5mod(7)
3n²=5mod(11)
Après g j'ai multiplié par l'inverse de 3 dans Z/7Z et dans Z/11Z et j'ai eu
n²=3mod(7)
n²=9mod(11)
Et après je fais quoi ???

Fin de partie · January 2015

Commence par obtenir une équation de la forme $n^2\equiv a\mod{77}$ où $a$ est un entier à déterminer. Après, suis le conseil de Nicolas ou détermine par essai-erreur la table des carrés modulo $77$. Ce dernier nombre étant un nombre plutôt petit (et on peut utiliser un ou deux trucs standards pour diminuer encore le nombre d'entiers>0 à tester).

Fin de partie · January 2015

et apres je fais quoi ??????????? a écrit:

Tu dresses une table de carrés modulo 3. Tu dresses une table des carrés modulo 7.

fatma.kdr · January 2015

Vous voulez dire les carrés modulo 7 et les carrés modulo 11 qui vérifient le systèmes simultanément ?? ??
Parce que j'ai déjà fait les carrés modulo 7 et 11 et j'ai trouvé seulement que 3²=9mod11 mais pour l'autre (modulo7) je n'ai pas trouvé aucun carré l'autre (modulo7)qui est congru à 3 mod7 c'est pour ça je me suis retournée vers le forum

[Peux-tu te relire et écrire tes mots en entier ! Merci. AD]

abelgalois · January 2015

fatma.kdr écrivait:

> je n'ai pas trouvé aucun
> carré l'autre (modulo7)qui est congru à 3 mod7

Bien dans ce cas tu as fini il n y a pas de solution a l' equation quel est le problème ??

fatma.kdr · January 2015

Est-ce que c'est juste ce que j'ai fait ???

Fin de partie · January 2015

Qu'as-tu fait? Je ne vois pas grand chose de concret.

(ton équation initiale a 4 solutions dans $\mathbb{Z}/77\mathbb{Z}$ )

fatma.kdr · January 2015

je prossède comment alors ???

Fin de partie · January 2015

Vu la façon dont tu as commencé, il faut que tu résolves:

n²=3mod(7)
n²=9mod(11)

La deuxième équation est immédiate à résoudre. Toutes les deux ont deux solutions respectivement dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$

Fin de partie · January 2015

Si on te demandait de résoudre l'équation $x^2=9$ dans l'ensemble des entiers quel serait l'ensemble des solutions?

fatma.kdr · January 2015

et bien c'est 3

Fin de partie · January 2015

3 seulement?

fatma.kdr · January 2015

pour n²=9[11] c'est vrai que 3 et 8 se sont des solutions pour cette équation mais pour l'autre équation y a pas de solution déjà (z/7z)²={0,1,2,4} !!!

Fin de partie · January 2015

Par ailleurs, pour obtenir n²=3mod(7) je pense que tu as fait une simplification qui n'était pas très judicieuse si on veut résoudre le plus simplement possible cette dernière équation.

fatma.kdr · January 2015

oups 3 et -3 !!

Fin de partie · January 2015

Maintenant puisque 7 est un nombre premier, tu trouves une solution de x²=3mod(7) et tu sais comment avoir la deuxième solution ( il y a exactement deux solutions)