Pourquoi - x - ça fait + ?

Bonjour,

Quand on étend certains comceptes, on tient à conserver certaines propriétés importantes.
Il me semble que la distributivité en est une
ainsi que le produit par l'unité et par $0$
Partant de celà:

$-1×(-1)+(-1)=-1×(-1)+(-1)×1=-1×(-1+1)=0$
$-1×(-1) $ est l'opposé de $-1$
Donc $-1×(-1)=1$

On peut ensuite étendre au cas général.

Al-Kashi

a écrit:

$(-n) * (-n) = +n^2$

A prouver, donc !

$\forall x: x\times (-1) = (-x)$ donc $(-1)\times (-1) = -(-1)=1$ donc $(-x)\times (-y) = (-1)\times x\times (-1)\times y=(-1)\times (-1)\times x\times y=1\times x\times y=x\times y$

Une vitesse est positive dans un sens, négative dans l'autre. Intuitivement, avancer à -3m/s c'est reculer à 3m/s.

En fait, on revient à l'idée intuitive des négatifs des banquiers du treizième siécle (le "quatrocento") : le - fait passer c'un crédit à un débit et vice-versa.

Cordialement.

NB : Pour les mathématiques actuelles, la question de la "signification" des négatifs ne se pose pas : On construit les notions (sur les idées apparues historiquement), et si certains veulent s'en servir pour des applications, c'est à eux de savoir si ça convient "dans la réalité" ou pas.

Pourtant, c'est utilisé par les physiciens couramment. Par exemple en cinématique du mouvement rectiligne. On fait plutôt ça en première ou terminale. Mais les lycéens de quatrième de 1951 étaient une petite élite.

Cordialement.

Pas loin, le "collège pour tous" n'était pas encore une réalité.

Bruno

Bonsoir,

On lance par exemple une pierre en l'air, verticalement.

Pour décrire facilement, mathématiquement, le mouvement, il est plus efficace de considérer des vitesses algébriques, qui peuvent être négatives.
On peut par exemple décider que l'axe est orienté du bas vers le haut.
Dans ce cas la vitesse est positive au début, s'annule au sommet de la trajectoire, devient négative.
Si l'on néglige le frottement de l'air, la vitesse est la même en module (en valeur absolue) lorsque la pierre revient à son point de départ, mais négative.

Un autre exemple, un mouvement rectiligne dirigé par un ressort.
On choisit un sens de déplacement, il y aura une portion de vitesse positive, qui s'annule à une extrémité du parcours, s'inverse et devient négative, s'annule à l'autre extrémité, s'inverse et devient positive, etc.

En l'absence de ces conventions, il serait difficile de traiter mathématiquement ces questions avec simplicité.

Bonne soirée.

Je me permets d'ajouter une petite remarque, pour aller dans le sens de certains posts ci-dessus : le signe $-$ peut être vu comme la notation généralement admise pour l'inverse d'un élément pour une loi additive (à ceci près que pour une loi additive, on parle d'opposé et pas d'inverse).
Cette notation vaut également dans le cas des nombres relatifs, si on les considère comme éléments d'un anneau. Grossièrement dit, on peut démontrer de façon "moderne" l'égalité que vous citez, en invoquant la seule structure d'anneau de l'ensemble $\Z$ des entiers relatifs, et, notamment, en invoquant les propriétés de ses deux lois internes, $+$ et $*$.

Dans ce cadre, pour $n$ entier relatif donné, il existe un unique élément $m$, entier relatif, tel que $m+n=0$. On note cet élément $-n$. Ainsi, l'expression $(-n)*(-n)$ peut être comprise comme la multiplication de deux opposés. Ce qui est dit ci-dessus, c'est que, l'opposé de $n$, est aussi le résultat de $(-1)*n$, où $-1$ est l'opposé de $1$, ce qui ne va pas pas de soi, même si ce n'est pas difficile à prouver. On peut donc écrire $(-n)*(-n) = ((-1)*n)*((-1)*n) = ((-1)*(-1))*n*n$ par associativité et commutativité de $*$. Pour prouver que $(-1)*(-1)=1$, on peut prendre comme notation $y=-1$ ; alors $y$ est, par définition, tel que $y+1=0$. En multipliant à droite cette égalité par $y$, on obtient $(y+1)*y=0$, donc $y*y+y=0$, c'est à dire : $y*y$ est l'opposé de $y$, et comme l'opposé est unique, $y*y=1$.
Conclusion : $(-n)*(-n)=n*n$.

Ceci étant (très grossièrement) dit et sorti de son contexte, je vous conseille (et je me conseille aussi, tiens) de lire les articles de la toile traitant des théories de construction de $\N$ et de $\Z$. Les démonstrations historiques sont tout aussi passionnantes, tout dépend des outils dont vous voulez vous doter pour réaliser cette démonstration.

gerard0 a écrit:

Par contre, depuis 62 ou 63, tous les élèves quasiment allaient au collège, éventuellement après le certificat d'études.

En 1980, j'ai dû passer des épreuves psychométriques pour être sélectionnée dans le collège coté de la ville et un examen d'aptitudes à l'acquis de connaissances était exigé pour valider le niveau attendu en sortie d'un CM2. Par JEU, j'ai décidé de passer le C.E.P des années 50 deux ans après.