fascination des nombres premiers
Salut à tous
Les nombres premiers regorgent d'innombrables secrets et richesses sources de leur fascination. On les trouve desfois là où on ne les soupçonne pas jouer un rôle .
Si vous êtes amateur ou utilisateur ou un spécialiste chercheur; partageons des connaissances sur ces nombres par une remarque; une propriété ou une anecdote.
Merci
A vos plumes !
Les nombres premiers regorgent d'innombrables secrets et richesses sources de leur fascination. On les trouve desfois là où on ne les soupçonne pas jouer un rôle .
Si vous êtes amateur ou utilisateur ou un spécialiste chercheur; partageons des connaissances sur ces nombres par une remarque; une propriété ou une anecdote.
Merci
A vos plumes !
Réponses
-
bonjour
les entiers premiers exercent en effet une fascination sur les chercheurs mathématiques (depuis Pythagore soit 25 siècles)
comme les "jeunes premiers" subjuguent les dames spectatrices au cinéma
la coquetterie des nombres premiers est de surgir à l'improviste dans la liste des entiers naturels à un moment où on les attend pas
Euler était persuadé qu'il n'existait aucune règle gouvernant l'apparition de ces entiers premiers
Legendre et Gauss étaient convaincus du contraire et ils ont conjecturé tous les deux (fin 18ème et début 19ème siècle)
que la proportion des nombres premiers par tranche d'entiers inférieurs à $p$ dimininuait comme $\frac{1}{lnp}$
les entiers impairs obéissent à une règle algébrique simple et les sommer jusqu'au nième est facile (le résultat est $n^2$)
et Euler constatait que cela était impossible pour les entiers premiers, il n'avait pas pensé faire un raisonnement probabiliste
la fonction "logarithme intégral" était connue d'Euler
mais le chercheur suisse n'avait pas fait le rapprochement (il est vrai surprenant)
avec la quantité des nombres premiers jusqu'à l'entier $n$
et il a fallu attendre la fin du 19ème siècle avec le Français Hadamard et le Belge La Vallée Poussin
pour que le théorème des nombres premiers quantifiant ces nombres soit démontré
ils ont pour cela utilisé le produit infini démontré par Euler (paradoxe de l'Histoire!) avec $p_n$ le nième nombre premier
$\frac{1}{Z_x} = (1-\frac{1}{2^x})(1- \frac{1}{3^x})...........(1-\frac{1}{p^x_n})......$
avec $Z_x$ la fonction baptisée "tséta" par Riemann
(mais qu'Euler connaissait y compris son prolongement sur les entiers négatifs)
et qui a aussi permis de démontrer que la probabilité que deux entiers naturels
soient premiers entre eux est constante égale à $\frac{6}{\pi^2}$
à propos des nombres premiers il était admis il y a 50 ans (voir les livres de Lespinard et Pernet)
que le premier d'entre eux était $1$ tout simplement (il obéit en effet à la définition des nombres premiers)
l'exclure de la liste introduit une exception qui ne se justifie pas (à mon point de vue)
c'est comme si on décrétait que $1$ n'est pas un nombre impair
ou que $0$ n'est pas un entier naturel sous prétexte qu'il n'a pas de signe
les découvertes liées aux nombres premiers sont devant nous plus que derrière nous
(en particulier celles liées aux nombres premiers jumeaux)
et ils méritent l'attention des chercheurs mathématiques du monde entier
aidés pour cela par les progrès extraordinaires de l'informatique
cordialement -
"à propos des nombres premiers il était admis il y a 50 ans (voir les livres de Lespinard et Pernet)
que le premier d'entre eux était 1 tout simplement (il obéit en effet à la définition des nombres premiers) "
Un nombre entier $p$ est premier si et seulement si l'anneau quotient $\mathbb Z/p\mathbb Z$ est un corps. Je te laisse me démontrer que l'anneau nul est un corps jean lismonde.
"l'exclure de la liste introduit une exception qui ne se justifie pas (à mon point de vue)"
La raison la plus simple est que l'on n'aurait plus l'unicité de la décomposition des entiers en produit de facteurs premiers (à l'ordre près). -
Bonjour,
Un nombre premier a exactement deux diviseurs, ce qui n'est pas le cas de $1$.
C'est la définition que je donnais en TS Spé.
Cordialement,
Rescassol -
J'ai déjà vu (mais où ?) "exactement quatre diviseurs" car on s'autorise aussi les entiers négatifs.
. -
Bonjour,
Je sous-entendais dans $\mathbb{N}^*$, car sinon le TFA a quelques problèmes.
Cordialement,
Rescassol -
Oui bien sûr, c'est même la définition la plus commune ("exactement deux") et, j'oserais dire LA définition.
-
C'est marrant comme les manuels de maths des années 50 reprenaient les définitions des éléments d'Euclide, dont " un nombre est premier s'il n'a pas d'autre diviseur que 1 et lui-même". Ce qui ne pose aucun problème à Euclide, pour qui 1 n'est pas un nombre (c'est l'unité" )!! Donc pour Euclide la liste des premiers nombres premiers est : 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
Mon manuel de quatrième (Maillard) reprend cette définition, note que 1 la vérifie, puis, comme c'est un problème, l'évacue subrepticement en notant qu'on ne ne comptera pas comme un entier premier. La méthode "règle avec exception" qu'on pratique beaucoup en grammaire.
Ce qui est ahurissant, c'est que Jean Lismonde, comme sur d'autres sujets, reprend la vieille fable de "1 est premier", tout en l'oubliant immédiatement dans la définition de la fonction zéta (elle serait nulle si on utilisait l'entier "premier" 1). Bizarre schizophrénie ! -
Ce que je vais dire n'apporte pas grand chose (et j'espère que c'est plutôt rare lol).
On pourrait considérer le 1 comme une sorte de "nombre premier au sens de l'addition".
Chaque entier (non nul) se décompose en une somme unique de 1.
On écarterait le zéro dans les décompositions en somme.
C'est pas très riche, j'en conviens. ;-) -
En définissant pour un entier $n\gt 1$ la quantité $r_{0}(n)$ comme le plus petit entier naturel $r$ tel que $n-r$ et $n+r$ sont tous deux premiers, on peut montrer que $r_{0}(n)\lt C.(\log n)^{4}$ pour un certain $C\gt 0$, d'où l'on déduit que pour $n$ assez grand $r_{0}(n)\lt n$ et donc que tout entier pair assez grand est la somme de deux nombres premiers, ce qui fut peu ou prou l'énoncé initialement conjecturé par le mathématicien prussien Christian Goldbach dans une lettre au bâlois Leonhard Euler datant du 7 juin 1742.
-
Et bien Dom, comme le remarque Tenenbaum dans son bouquin "Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres", $1$ est l'unique générateur du groupe $(\mathbb Z, +)$ tandis que les nombres premiers sont les générateurs du monoïde $(\mathbb Z, .)$.
-
Merci bien pour ce message ;-)
-
je contribue en partageant un résultat démontré par Schnirelman, en 1930 : Il existe un nombre N tel que tout nombre plus grand que 2 est somme d’au plus N nombres premiers. Schnirelman n'a pas précisé ce nombre et les mathématiciens s’intéressaient aux N admissibles ( les plus petits). Olivier Ramaré en 1995 a démontré que N=7 est admissible; ensuite vient Terence Tao en 2012 et affine ce résultat en démontrant N=6 est admissible et si on arrive à N=3; la conjecture de Goldbach tombe sous sa forme originale Tout nombre plus grand que 2 peut être écrit comme une somme de trois nombres premiers.
-
ouai enfin les nombres premiers fascinent parce qu'ils arrivent très tôt dans l'apprentissage des maths, mais côté utilité pratique de, par exemple :
connaître très bien la répartition des nombres premiers ou bien des nombres composés de tels nombres premiers,
l'utilité pratique est quand même beaucoup moins claire que par exemple :
trouver et manipuler facilement les solutions des équations de Navier-Stokes (autre problème du millénaire)
ça pourrait vraiment servir pour des tonnes de trucs dans la vie de tous les jours. -
Il suffit d'aller regarder du côté de la crypto pour avoir des applications des nombres premiers. La résolution du problème du millénaire sur Navier-Stokes ne devrait rien changer à notre vie quotidienne, les ingénieurs et chercheurs font déjà des simulations numériques avec Navier Stokes dans tous les sens.
-
Bonsoir Héhéhé,
C'est quoi Navier-Stokes ? Une référence où c'est défini ?
Quel rapport avec les nombres premiers ?
Cordialement,
zephir. -
aucun désolé, c'était juste parce que quand les gens qui n'y connaissent rien en maths, j'essaye de leur expliquer que résoudre les problèmes sur les nombres premiers ça ne transcenderait pas non plus leur vie de tous les jours contrairement à ce que les matheux prétendent, enfin c'est mon avis.
-
On utilise pourtant des nombres premiers très régulièrement... Sans le savoir !
-
Savoir factoriser les grands entiers rapidement permettrait de décrypter les données cryptées (avec RSA par exemple) très facilement. Ca serait un truc énorme qui auraient des répercussions pratiques absolument gigantesques.
-
Dommage que cette connaissance ne viendra que d'une institution qui s'empressera de ne pas divulguer cette information trop rapidement pour cause de chaos monétaire assuré s'il y a divulgation sauvage genre "exploit 0day". :-D
PS:
Il se peut aussi qu'il n'existe pas un tel algorithme pour factoriser rapidement un produit de deux grands nombres premiers et que le seul moyen de le faire sera d'avoir des ordinateurs encore plus puissants ou différents (cf ordinateurs quantiques)
PS2:
Celui qui prétendra avoir découvert un tel algorithme (et qui a une qualité d'universitaire car les rigolos qui prétendent savoir faire ça sont sans doute légion mais ils se trompent) disparaitra de la circulation et finira au fond de la mer avec des semelles en ciment. B-) -
Voici un propos peut-être un peu naïf que m'inspire ce grand mystère ...
Mon père, un jour, m’avait raconté le grand mystère des nombres premiers, ceux que l’on ne peut diviser par aucun autre nombre et qui génèrent tous les nombres par le pouvoir de la multiplication entre eux.
Dans l’immensité vertigineuse de la suite des nombres ils sont là, les premiers, imprévisibles et souverains, se suivant dans un ordre qui semble aléatoire.
Personne, pas même les plus grands mathématiciens, les plus habiles spécialistes des nombres, ne peut vous dire, par exemple, quel est le 1001 ème nombre premier sans l’aide d’un ordinateur ou de calculs pénibles et en l’absence d’une formule satisfaisante.
Au tout début de la série infinie des nombres ils sont là, évidents, en rangs serrés : 2, 3, 5, 7, 11, 13...puis , peu à peu, plus distants, parfois encore rapprochés comme 51,53, mais, inexorablement, ils s’éloignent les uns des autres et, très loin, lorsqu’on aborde les grands nombres, ceux dont l’écriture décimale comporte des milliers , des millions et plus de chiffres, il existe des séries de nombres successifs, aussi grandes que vous pourriez le souhaiter et dont aucun n’est premier. Et, curieusement, même pour de grands nombres on peut trouver deux nombres premiers seulement séparés par un nombre pair. ainsi, 1931 et 1933. On les appelle des premiers jumeaux. On ne sait pas si des jumeaux existent encore pour les très grands nombres.
Un mathématicien amateur peut très facilement trouver une suite de nombres successifs dont il soit certain qu’aucun n’est premier, cette suite comportant autant de nombres qu’il le souhaite. Nous sommes certains que dans le déroulement inexorablement infini des nombres il existe des suites qui, par exemple, sont formées de plusieurs milliards et davantage de nombres consécutifs dont aucun n’est premier.
Euclide, déjà lui, par un raisonnement lumineux, a démontré que la suite des nombres premiers était infinie. Il y a donc, tapis dans le fin-fond de la série vertigineuse, à l’abri de tous les mathématiciens du monde et même des ordinateurs les plus puissants du globe, des nombres premiers inaccessibles, des monstres faits de dizaines de millions de chiffres décimaux et bien plus. Le plus grand connu ce jour possède 4 053 946 chiffres et se lit : 2 à la puissance 13 466 917 moins un !!! Celui qui l’a débusqué peut être fier mais sa fierté sera atténuée si vous lui demandez quel est celui qui le suit immédiatement ! Les puissances de 2 auxquelles on ajoute ou l’on retranche 1 sont riches de nombres premiers mais d’autres premiers rodent, encore plus grands qui eux ne peuvent être découverts.
Il est des astronomes qui se perdent dans l’infini de l’univers, qui découvrent des monstres, trous noirs, quasars, des astrophysiciens qui imaginent le fameux big-bang à l’origine de notre univers. Les mathématiciens, certains du moins, se perdent dans l’infini des nombres entiers et vont traquer les nombres premiers. Leur big-bang c’est le début, la fameuse série 2, 3, 5,7,11,13… si resserrée au départ puis qui s’élargit peu à peu.
Cet univers des nombres premiers, en expansion lui aussi, produit ses monstres ou ses curiosités et, comme pour l’astronomie, ses confins sont difficilement abordables.
Il est des nombres premiers que l’on appelle « résistants « . Si vous leur retirer les chiffres un à un, à partir de la droite, les nombres restants sont aussi premiers, jusqu’au dernier! Le plus grand résistant connu à ce jour est le nombre 73 939 133 … Il est relativement modeste ! On dit que c’est un « résistant à droite », mais il existe aussi des résistants à gauche, et même au centre !
Fantasme d’un matheux qui est toujours demeuré débutant, la recherche passionnée et tâtonnante de la Loi suprême, celle qui permettrait de trouver simplement le nombre premier de rang n … Que de pages de cahier ais-je remplies. Mais plus que ces calculs hasardeux et chimériques c’est l’intuition que les nombres premiers doivent relever d’une formule magique et accessible au calcul qui a hanté mon esprit, parfois même la nuit !
Je sais, à présent que tout cela est vain, que ces nombres résisteront longtemps et peut-être à jamais à toute tentative de les organiser, de les encadrer et que si certains ont pu être qualifiés de résistants, ils sont surtout anarchistes par définition. -
Bonjour Jules et :)o c'est une belle tiradeX:-(.....
Bonne journée
gilbert -
Salut Gilbert, heureux de te retrouver ! merci et amicalement.
-
J'ai bien aimé le texte également, et comme dit la chanson les trous noirs c'est troublant.
S -
Qu'est-ce qui distingue dans l'absolu l'algorithme de multiplication par 2 et, de vérifier qu'un nombre n'est divisible par aucun nombre inférieur à sa racine carrée autre que l'unité (et donc qu'il est premier)? Le temps d'exécution? Si c'est seulement cela alors c'est une différence mineure car nous savons que les mathématiques est un monde où le temps est absent, qu'il n'a pas d'importance B-) -
Je ne savais pas que cela avait été démontré....:-S, peut on donc conclure que P = NP puisqu'il n'y a pas de temps....(:DLe temps d'exécution? Si c'est seulement cela alors c'est une différence mineure car nous savons que les mathématiques est un monde où le temps est absent, qu'il n'a pas d'importance -
Où vois-tu du temps dans les notions de P et NP? -
Pour ce qui est de 1 qui n'est pas premier, on peut aussi préciser que le nombre doit être non inversible (analogie du coup avec les idéaux premiers)
-
Fin de partie a écrit:Où vois-tu du temps dans les notions de P et NP ?
Je pensais que la notion de rapidité d’un algorithme de résolution en temps polynomial était en rapport avec cette conjecture …
Si maintenant un algorithme en temps polynomial ou en temps exponentiel s’exécute dans le même temps, puisque ce dernier ne compte pas en mathématique, on peut donc considérer qu’ils ont la même rapidité et que cette conjecture n’a pas lieu d’être … L’absence de temps répond à cette question, puisque sa complexité est une notion de temps…
Mais effectivement cela peut prendre le temps que l'on veut ; et il y en aura bien un plus court que l'autre ... -
Il me semble qu'il y a quelque temps Harald Helfgott a publié une preuve, je n'ai pas suivi l'affaire depuis.gebrane a écrit:si on arrive à N=3; la conjecture de Goldbach tombe sous sa forme originale -
Si on dément l'unité comme facteur premier, on pourrait dire que la définition du nombre premier n'a qu'un seul diviseur, lui même ^^
2 serait le cas particulier de l'unité, vu comme c'est un intrus dans ces suites. -
Une polémique qui n'en est pas une et qui revient ici bien trop souvent.maroufle a écrit:Si on dément l'unité comme facteur premier, on pourrait dire que la définition du nombre premier n'a qu'un seul diviseur, lui même ^^
Hein???maroufle a écrit:2 serait le cas particulier de l'unité, vu comme c'est un intrus dans ces suites. -
> Hein???
ben la seule série de 4 nombres premiers jumeaux est 2, 3, 5, 7
D'après mon séquençage, il n'y a après plus que des groupes de 2 jumeaux, normal ils sont bornés par les multiples de 3 -
D'accord. Et par "2 serait le cas particulier de l'unité, vu comme c'est un intrus dans ces suites", il fallait comprendre "la seule série de 4 nombres premiers jumeaux est 2, 3, 5, 7"?
(et d'ailleurs je ne suis pas sûr que l'on puisse dire de 2 et 3 qu'ils sont jumeaux mais là encore c'est une question de convention). -
Si 1 n'est pas premier, 2 est le début de la série, donc l'unité de la série de nombres premiers, on dit qu'ils sont aussi divisible par 1, qui ne serait pas premier, ça voudrait dire que des nombres premiers ont un facteur non premier (le 1), c'est un peu un non sens, c'est dans cette esprit que je pense à 2 en tant qu'unité, le début de la série.
tout nombre entier est divisible par 1, du coup ça n'a pas trop d'intérêt, il n'est pas significatif, c'est que mon avis ^^ -
C'est quand même beau les nombres premiers
J'ai tracé des graphiques à gauche sur l'image des nombres premiers de 1 à 1 million (mais dans la limite de mes 65 533 cellules, faut que je change de tableur) et à droite un algo de répartition que j'essaie de faire, encore très prototype puisque j'en suis qu'à 400 cellules
à gauche les points uniquement et à droite les lignes sans les points :-)
-
Bonjour
La page de Renucci est très belle , ainsi que les 2 graphiques de maroufle .
Celà m' à donné mon inspiration de ce jour .
Un nombre premier devrait satisfaire à la définition numérique actuelle ( seulement 2 diviseurs 1 et lui même ) avec en plus une condition géométrique . Bref , trouver cette condition géométrique , si elle existe .... encore une invention de ma part . Je dirai que les nombres premiers obéissent à une définition supplémentaire .... numérique , géométrique ou autre qui ne serait pas incompatible avec la définition initiale .
Je pense pas avoir aidé beaucoup et dit peut être des bétises .
A+
Denis -
moi je dirais qu'il ne sera pas possible de trouver les facteurs de nombres pseudo premiers autrement que par approximation, idem pour générer les nombres premiers, ça serait peut être déjà un progrès comparé à un crible, mais bon, c'est qu'une impression, vu la complexité de la répartition, la forme rubanoïde (forme de ruban en 3D, sauf que c'est de la 2D) avec des pliures (plages de moindre densité) et le développement logarithmique (plus les nombres sont grands, moins il ont de chance d'être premiers)
Si quelqu'un trouve l'équation de ce ruban je suis preneur (:D
en tout cas l'organisation en cercle des données donne plus d'informations je trouve (visuelles en tout cas) que de les représenter à plat, faut juste pouvoir dépasser les 360° et je sais pas si mon tableur sait le faire.
edit: pour info il y a 65533/360 valeurs par degré d'angle! c'est pour ça que le trait est épais ^^ (la somme des points)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 7
+5 Invités