Nombre de Mersenne
dans Arithmétique
Bonjour,
Je ne sais pas si cela est vrai, voyez vous si le fait suivant est correct
Si $p$ est premier et si il existe $k$ et $n$ tel que $2^k=1+p+p^2+...+p^n$ alors $n$ est $0$ ou $ 1$
Merci d'avance
Je ne sais pas si cela est vrai, voyez vous si le fait suivant est correct
Si $p$ est premier et si il existe $k$ et $n$ tel que $2^k=1+p+p^2+...+p^n$ alors $n$ est $0$ ou $ 1$
Merci d'avance
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Réponses
dans ce cas :
$(p-1)2^k = p^{n+1}-1$
$p^{n+1}-1 = (p^{(n+1)/2}+1)(p^{(n+1)/2}-1)$
l'un des deux est divisible une seule fois par $2$ donc l'autre est divisible par $2^{k-1}$,
et même $2^k$ puisque $(p-1)$ est pair
et donc puisqu'on a trouvé $p^{(n+1)/2}-1 \ge 2^k$ ----> $n=0$ ou $n=1$
Pourquoi un facteur ne peut être divisible qu'une fois par 2?
$2^4=1+1^2+1^3+...+1^{15}$ et $15$ n'est ni $0$, ni égal à $1$
J'ai cru qu'il se plaçait dans ce cadre.
De toute façon, il faut bien qu'intervienne d'une façon ou d'une autre que $p>1$ et cette intervention n'est pas claire pour moi dans son raisonnement.
Le raisonnement en question fonctionne pour p impair strictement plus grand que 1, sauf erreur, donc quand je lis "p impair" je prends cette assertion pour ce qu'elle est: p est un nombre impair qui n'est pas nécessairement premier.
Généraliser un résultat pour obtenir ce qu'on veut est une méthode courante en mathématiques.
Est ce que la factorisation élégante de acx01b peut m’éclairer sur un problème:
$p^4 -1$ est divisible par 240 avec p un nombre premier plus grand que 7
Il est facile de voir que $p^4-1$ est un multiple de $16$ si $p$ est un nombre impair non nécessairement premier.
En effet:
$p^4-1=(p-1)(p+1)(p^2+1)$
Si $p$ est impair alors $p^2+1$ est pair.
Par ailleurs, si $p$ est impair alors il existe $k$ entier tel que $p=2k+1$ et ainsi $(p-1)(p+1)=2k(2k+2)=4k(k+1)$
Or $k,k+1$ sont deux nombres consécutifs donc l'un des deux est pair ce qui finit de prouver que si $p$ est impair alors
$(p-1)(p+1)$ est divisible par $8$ et donc $p^4-1$ est divisible par $16$.
Pour montrer que $p^4-1$ est divisible par $3$ quand $p$ n'est pas divisible par $3$:
On utilise les congruences.
$(+/-1)^4-1\equiv 0\mod {3}$
Pour $p$ qui n'est pas un multiple de $5$:
$(+/-1)^4-1\equiv 0\mod {5}$ et $(+/-2)^4-1\equiv 0\mod {5}$
Cela fini de démontrer, me semble-t-il, que pour tout entier impair qui n'est ni divisible par 3, ni divisible par 5 on a 240 qui divise $p^4-1$
NB:
$240=3\times 5\times 16$
tu démontres un résultat plus fort
Si j'ai bien compris pour conclure tu dis que si p est impair non multiple de 3 et 5 ( c'est moins exigeant que p premier plus grand que 7) alors 3 et 5 divisent p4?1 et 3 et 5 sont premier entre eux donc 3x5=15 divise p4?1. Ensuite 15 et 16 divisent p4?1 et 15 et 16 premiers entre eux donc 15x16 =240 divisent p4?1
Merci infiniment Il fallait remarquer que ce méchant 240=15x16 :-S
C'est un raisonnement standard: pour prouver qu'on peut diviser un nombre par n=pq, avec p,q premiers entre eux, on prouve qu'on peut diviser par p et par q.
Par ailleurs, si on pose $f(m)=m^4-1$, 240 n'est pas un nombre encore trop gigantesque, on peut encore vérifier à la main directement sans trop de subtilité que tous les entiers impairs compris entre 0 et 239 qui ne sont ni divisibles par 3, ni divisibles par 5 sont congrus à 0 modulo 240.
On peut encore se simplifier le calcul en prenant comme représentants des résidus les nombres de -120 à 120
ce qui permet de se limiter à l'intervalle 0 à 120* et on ne garde parmi ces nombres que ceux qui sont impairs, non divisibles par 3, non divisibles par 5.
Cela fait 32 entiers qu'il reste à tester.
* Il est clair que $f(-m)=f(m)$