Petit problème sur des racines de l'unité
dans Arithmétique
Bonjour,
Je suis en train de faire un exercice où il faudrait que je montre la propriété suivante:
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $d|n$. Soit $\omega$ une racine primitive $d$ème de l'unité. Il s'agit de montrer que chaque racine primitive $d$ème est obtenue le même nombre de fois quand on regarde $\{\omega ^k / k \leq n , pgcd(k;n)=1 \}$.
Quelqu'un a une idée ?
Merci d'avance !
Je suis en train de faire un exercice où il faudrait que je montre la propriété suivante:
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $d|n$. Soit $\omega$ une racine primitive $d$ème de l'unité. Il s'agit de montrer que chaque racine primitive $d$ème est obtenue le même nombre de fois quand on regarde $\{\omega ^k / k \leq n , pgcd(k;n)=1 \}$.
Quelqu'un a une idée ?
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Réponses
Vu que pour $d=2$ il y a une seule racine primitive 2-ème de l'unité, la réponse dans ce cas est trivialement oui !
Analysons la situation. Le choix de $\omega$ permet d'identifier le groupe $\mu_d$ des racines $d$-èmes de l'unité à $\Z/d\Z$. L'application $\Z/n\Z\to \Z/d\Z$ définie par $k\mapsto \omega^k$ est le morphisme d'anneaux passage au quotient par $d\Z/n\Z$, et il induit un morphisme de groupes $(\Z/n\Z)^* \to (\Z/d\Z)^*$ ( $(\Z/d\Z)^*$ correspond à l'ensemble des racines primitives $d$-èmes de l'unité dans $\mu_d$).
Il reste à voir que le morphisme $(\Z/n\Z)^* \to (\Z/d\Z)^*$ est surjectif. Je laisse ça à la sagacité de la lectrice.