Petit problème sur des racines de l'unité

Il n'y a pas tant que ça de racines primitives deuxièmes de l'unité ! (:D

@YvesM : On fixe $\omega$ une racine primitive $d$-ème de l'unité, et $n$ un multiple de $d$. Demat demande si dans l'ensemble $\{ \omega^k\mid k\in (\Z/n\Z)^*\}$ dont tous les éléments sont des racines primitives $d$-èmes de l'unité, chaque racine primitive $d$-ème figure autant de fois que chaque autre.
Vu que pour $d=2$ il y a une seule racine primitive 2-ème de l'unité, la réponse dans ce cas est trivialement oui !
Analysons la situation. Le choix de $\omega$ permet d'identifier le groupe $\mu_d$ des racines $d$-èmes de l'unité à $\Z/d\Z$. L'application $\Z/n\Z\to \Z/d\Z$ définie par $k\mapsto \omega^k$ est le morphisme d'anneaux passage au quotient par $d\Z/n\Z$, et il induit un morphisme de groupes $(\Z/n\Z)^* \to (\Z/d\Z)^*$ ( $(\Z/d\Z)^*$ correspond à l'ensemble des racines primitives $d$-èmes de l'unité dans $\mu_d$).
Il reste à voir que le morphisme $(\Z/n\Z)^* \to (\Z/d\Z)^*$ est surjectif. Je laisse ça à la sagacité de la lectrice.