l'escargot de Pythagore, et de Fermat aussi!

Bonjour,

Je ne suis pas sûr que Fin de partie ait interprété correctement la question (un peu confuse) de Medhi Pascal: le $1^2=1$ permet de justifier l'infinitude de "l'escargot de Pythagore"

Medhi Pascal voudrait construire une "spirale de Fermat "en juxtaposant des triplets "de Fermat", plus communément appelés triplets pythagoriciens, c'est à dire que ce sont des triplets d'entiers $(a,b,c)$ tels que $a^2+b^2=c^2$

Il commence sa construction avec $(3,4,5)$ suivi de $(5,12,13)$.
Il me semble que sa question est de savoir si on pourra prolonger cette spirale indéfiniment, en particulier repartir après 106285.

À cet effet on pourra utiliser les deux remarques bien connues suivantes:
1) Si $p$ et $q$ sont des entiers alors le triplet $(a,b,c)$ défini par $a=p^2+q^2$, $b=2pq$ et $c=p^2+q^2$ est "de Fermat" ou pythagoricien.
(à vérifier en développant)
2) Tout nombre impair est différence de deux carrés consécutifs:
$2k+1=(k+1)^2-k^2$

Ainsi, on pourra toujours repartir en remarquant que $c_n$ est impair, étant somme d'un pair et d'un impair.
Il suffit alors de noter $p_{n+1}=k+1$ et $q_{n+1}=k$ pour construire le triplet $(a_{n+1}, b_{n+1},c_{n+1})$ suivant où $a_{n+1}=c_n$.

Par exemple: 106 285 est impair: $c_7=a_8=106285=2\times 53142+1= 53143^2-53142^2$
je note alors $b_8=2\times 53142\times53143$ pour fabriquer le triplet suivant .

Qu'en penses-tu , Medhi Pascal ?