conjecture des palindromes à retard
dans Arithmétique
Bonjour,
Remplacer la conjecture " tous les nombres donnent un palindrome " par son équivalence " tous les nombres donnent une infinité de palindromes "
Il est probable que tous les nombres donnent une quantité finie de palindromes puis un lychrel, vérifiable jusqu'à la limite que vous vous fixez.
La probabilité pour qu'un nombre donne un palindrome est divisé par 2 à chaque fois qu'il donne un nombre avec 2 chiffres de plus.
Une probabilité aussi infime soit-elle se réalise une infinité de fois dans l'infini à condition d'être constante.
nouvelle conjecture : les nombres qui donnent 20 palindromes ou plus sont en quantité nulle.
J'espère ne pas m'être trompé de forum.
Remplacer la conjecture " tous les nombres donnent un palindrome " par son équivalence " tous les nombres donnent une infinité de palindromes "
Il est probable que tous les nombres donnent une quantité finie de palindromes puis un lychrel, vérifiable jusqu'à la limite que vous vous fixez.
La probabilité pour qu'un nombre donne un palindrome est divisé par 2 à chaque fois qu'il donne un nombre avec 2 chiffres de plus.
Une probabilité aussi infime soit-elle se réalise une infinité de fois dans l'infini à condition d'être constante.
nouvelle conjecture : les nombres qui donnent 20 palindromes ou plus sont en quantité nulle.
J'espère ne pas m'être trompé de forum.
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Comment ?
As-tu un exemple ?
Coreialement
" tous les nombres donnent un palindrome " C'est ce qu'affirme son auteur.
exemple avec 149 et 1663
149-941-1090-0901-1991
1663-3661-5324-4235-9559
Prendre un nombre, lui ajouter le même nombre retourné, réitérer l'opération jusqu'à l'obtention d'un palindrome.
certains nombres comme 196, 879, 9999 ... semblent ne jamais donner de palindrome.
Il y a une infinité de nombres qui donnent un palindrome, mais aucun nombre ne donne une infinité de palindromes.
Dire que tous les nombres donnent une quantité finie de palindromes implique que tous les nombres ne donnent pas un palindrome.
252-252-504-405-909-909-1818-8181-9999
252 donne 2 palindromes, 909 et 9999 puis un lychrel.
cordialement
Chaque palindrome génère une ligne infinie, je n'écris pas tous les nombres mais seulement les palindromes rencontrés, le dernier donnant un lychrel, vérifiable sur le net, sur un testeur de lychrel.
Quand 2 lignes convergent, garder celle qui donne le plus de palindromes.
1-2-4-8-77-1111-2222-4444-8888-661166-3654563
3-6-33-66-363-4884-8836886388-47337877873374
5-11-22-44-88-44044-88088-44177144-454576675454-678736545637876
7-55-121-242-484-8813200023188
9-99-79497-49985258994
101-202-404-808-7777-233332-466664-663305503366
131-262-949-2322232-4644464
141-282-13431-26862-12455421
151-505-1111
convergence vers ligne 1
161-545-1991-52788725-999425524999
171-585-1881-59895-639936
181-2662-9559-1136311-89540004598
191-2552-9119-9912199-3912442193-147632343236741
212-424-848-68486
232-464-88555588
252-909-9999
272-989-89540004598
convergence vers ligne 12
292-233332
convergence vers ligne 6
etc..., les lignes ont en moyenne moins de palindromes quand le nombre de départ est plus grand, la probabilité étant divisé par 2 quand le nombre est plus long de 2 chiffres.
Pourquoi 3 conjectures, la première n'est pas de moi, la deuxième est une équivalence, tous les nombres qui suivent le dernier palindrome ne donne pas de palindromes, la troisième sert à prouver que les deux précédentes sont fausses.
11 palindromes sur la première ligne, ensuite ça baisse, par sécurité je me limite à 20 palindromes, en supposant qu'il y en ait, ils seraient rares.
Conjecture : Les nombres qui donnent 20 palindromes ou plus sont en quantité nulle.
si tous les nombres donnent moins de 20 palindromes, les 2 conjectures précédentes sont fausses, il faudrait une infinité de palindromes.
si quelques nombres donnent 20 palindromes ou plus, les 2 conjectures précédentes sont toujours fausses, c'est l'ensemble des nombres qui doit donner une infinité de palindromes et les nombres qui donnent plus de 20 palindromes n'en donnent pas l'infini.
la recherche de nombres lychrels est difficile.
Le nombre 196 a été testé jusqu'à 10 000 000 d'itérations ; les nombres obtenus étant de plus en plus grands (plusieurs centaines de millions de chiffres) .
voir A023108 et A088753 dans OEIS.
Pourtant la règle de construction est simple.
C'est un peu comme la conjecture de Collatz ( algorithme simple mais étude hypercompliquée).
bien cordialement
kolotoko
Tu commences très mal sur ce forum. Nous ne sommes pas à ton service pour explorer tes soi-disant conjectures, mais pour lire tes assertions justifiées ; tu obtiendras une aide sur des questions précises à condition que cela intéresse l'interlocuteur potentiel. Mais on n'est jamais certain d'obtenir un dialogue.
Recommence cela et tu sera vite rayé des cadres.
Bruno
On n'est jamais certain d'obtenir un dialogue, mais si on essaye pas on est encore moins certain, comme je n'avais pas d'interlocuteur, j'ai inventé une petite fiction et ça a fonctionné.
Mes soi-disant conjectures, prenez- moi pour un sous-homme si vous voulez, c'est votre droit, ça ne m'affecte pas.
Vous n'êtes pas à mon service, je ne l'ai jamais prétendu et ça me serai même pas venu à l'idée.
C'est pas facile de répondre à votre message, morale et menaces, si vous voulez me rayer, rayer-moi mais dépêchez-vous, je risque d'être parti avant.
Je me suis fixé un ultimatum, si je ne trouves personne d'ici la fin de la semaine, je pars.
cordialement
La recherche des lychrels est difficile?
A l'époque, ils étaient persuadés que tous les nombres donnaient un palindrome, quand un nombre ne donnait pas de palindrome, c'était parce qu'il n'avait pas été testé assez longtemps. Aujourd'hui c'est différent, Jean-Paul Delahaye a suggéré de faire de 196 un axiome, c'est bien la preuve que les mentalités ont changé.
Si tu vas sur le site de Jason Doucette, il explique pourquoi il n'est pas nécessaire de les tester aussi longtemps.
89 donne un palindrome 8813200023188 qui donne ensuite un lychrel, la première information est sur tous les sites, la deuxième demande un petit effort de recherche et pourtant c'est la plus importante. La plupart des palindromes les plus retardés donnent immédiatement un lychrel, alors qu'un lychrel qui donne un palindrome, ils n'en ont pas trouvé et pourtant ils ont mis le paquet.
ils prennent un nombre, réitère jusqu'à un palindrome puis passe à un autre nombre,ils ne sont pas près d'arriver à 0% de densité surtout que ça baisse de moins en moins vite. les nombres à 30 chiffres, c'est pas pour demain.
Des nombres qui donnent un palindrome, en densité il y en a de moins en moins mais en nombres il y en a de plus en plus et ça prend du temps de les analyser.
Pour montrer que la conjecture est fausse, il suffit de montrer que tous les nombres convergent vers un lychrel, si tous les palindromes convergent vers un lychrel, tous les nombres convergent vers un lychrel, on peut partir de l'ensemble des palindromes, pourquoi prendre le référentiel le plus grand ? Les palindromes non multiples de 11 sont en quantité finie, 4 maximum par ligne, on peut les ignorer.
Au niveau de la convergence, il y a 3 parties distinctes, les non multiples de 3 donnent des non multiples de 3, les multiples de 3 non multiples de 9 donnent des multiples de 3 non multiples de 9 et les multiples de 9 donnent des multiples de 9, prendre une partie suffit.
J'ai une probabilité de disons 1 chance sur mille environ d'avoir un palindrome,vrai pour un nombre d'une certaine longueur, je fais une dizaine d'itérations, je passe à une chance sur 2000, je fais une dizaine d'itérations, je passe à une chance sur 4000, etc...c'est compréhensible que des nombres ne donnent pas de palindrome et si la raison est unique, je peux le montrer de 10 façons différentes.
Je cherche un interlocuteur qui soit déjà familier de la conjecture ou qui soit intéressé, mais peut-être que cette personne n'existe pas chez vous.
cordialement
8813200023188 donne un lychrel ? J'avais cru lire qu'on n'en connaissait pas.
Que l'on me dise à quoi pourrait bien servir de démontrer par exemple qu'il existe au moins un nombre qui soit un Lychrel.
En ce qui me concerne je trouve que la recherche des records représente une perte de temps et d'ènergie.
Un lychrel qui donne un palindrome, on peut tout supposer tant que la conjecture n'est pas prouvée.
Un lychrel c'est un nombre qui ne donne pas de palindrome pendant au moins 10000 itérations, certains ont été testés plus longtemps. Comme ils trient les nombres, ils leur donnent des noms. Bien sur, aucun nombre n'est testé pour un nombre infini d'étapes.
Quand il disent aucun lychrel n'a été trouvé, il faut traduire aucune preuve ou aucun contre exemple n'a été trouvé.
Tant qu'ils ne changeront pas de méthode, ils ne trouveront rien d'exceptionnel.
Prouver qu'il existe au moins un lychrel, c'est déjà fait pour certaines bases, ça sert à prouver ou infirmer la conjecture.
Si quelqu'un n'aime pas le saut à la perche, il peut dire la recherche des records est une perte de temps et d'énergie.
A partir d'un lychrel, on peut en trouver une infinité, tous les nombres que génère ce lychrel , les nombres qui convergent etc...
Mais je pense que c'est mieux de comprendre comment elle fonctionne et en tirer un théorème, plutôt que de faire un axiome.
Un théorème, c'est toujours intéressant.
"Bizarre $-$ moi j'ai dit bizarre ? Comme c'est étrange !"
Bruno
* un Lychrel est un nombre qui ne donne jamais de palindrome. On soupçonne qu'il en existe mais on ne sait pas le démontrer.
* S'il existe un Lychrel alors tous ses itérés sont des Lychrel.
* Tous les nombres connus pour aboutir à un palindrome mettent beaucoup moins de 10000 étapes pour le faire (record actuel = 261 étapes). C'est pourquoi un nombre qui n'aboutit pas à un palindrome au bout de 10000 étapes est soupçonné d'être un Lychrel.
D'autre part, il semble très difficile de démontrer mathématiquement quoi que ce soit sur ces conjectures. Il pourrait être amusant de regarder informatiquement, pour tous les nombres compris entre $1$ et $10^9$, combien de palindromes on obtient avant d'aboutir sur un Lychrel probable (mais je ne le ferai pas).
« nouvelle conjecture : les nombres qui donnent 20 palindromes ou plus sont en quantité nulle. »
Ce résultat entraînerait l'existence de nombres de Lychrel.
Questions :
- Ai-je bien compris ?
- Pourquoi 20 ?
- As-tu des idées pour attaquer ce problème ? As-tu des raisons de penser qu'il est peut-être plus simple d'attaquer ce problème (en dehors du fait qu'il est légèrement différent) ?
Pour voir si cette conjecture est plausible, il faudrait au moins la tester informatiquement pour tous les entiers entre 1 et $10^9$ (je ne l'ai pas fait).
Notons $\phi : \N^* \to \N^*$ l'application qui permet d'itérer dans cette histoire. Pour tout entier $k\ge 0$ je note $\phi^k$ son $k$-ème itéré. Je comprends la conjecture de roar ainsi : pour tout entier $n \ge 1$, l'ensemble des $k$ tels que $\phi^k(n)$ est un palindrome est de cardinal au plus $20$. Si c'est le cas alors il existe $k_0$ tel que pour tout $k \ge k_0$, $\phi^k(1)$ n'est pas un palindrome. Par conséquent $\phi^{k_0}(1)$ est un nombre de Lichrel.
J'ai l'impression que tu cherches à te venger de moi, cette fois ci, je vais te laisser avoir raison pour rétablir l'équilibre.
cordialement
Je ne suis qu'un lurker sur le sujet de ce fil, mais, Roar, ne pourrais tu pas faire un effort pour parler de façon un peu plus courtoise avec les gens qui font l'effort de te répondre ?
As tu d'ailleurs fait l'effort de lire l'historique de ce forum pour t'imprégner des us et coutumes des uns et des autres ?
Cordialement,
Rescassol
Si les palindromes sont en quantité finie, après le dernier palindrome, il n'y a plus que des lychrels.
En partant des palindromes, ça fait beaucoup moins de nombres à analyser, si tous les palindromes finissent par donner un lychrel, tous les nombres finissent par donner un lychrel et un nombre qui ne donnerait pas de palindrome serait déjà un lychrel.
Pourquoi 20 palindromes, en partant de 1, je trouve 11 palindromes, voir message n°4,après ça baisse, comme il s'agit d'une extrapolation, je prends une sécurité et fixe la barre à 20 palindromes, il existe une infinité de nombre, de densité 0, qui donne 11 palindromes.
1-2-4-8-77-1111-2222-4444-8888-661166-3654563
1000001-2000002-4000004-8000008-77000077-1111001111-2222002222-4444004444-8888008888-661166661166-3654566654563
en rajoutant un 0 au nombre de départ, j'aurai une nouvelle ligne de 11 palindromes, comme on peut ajouter autant de 0 que l'on veut, on obtient une infinité de lignes de 11 palindromes.
Il s'agit de faire une preuve par raisonnement, et je ne connais pas de précédent.
La conjecture, tous les nombres donnent moins de 20 palindromes, n'a que 2 alternatives, elle est vraie ou elle est fausse.
Si elle est vraie, la première conjecture est fausse, puisque tous les nombres après le dernier palindrome donnent des lychrels.
Si elle est fausse, elle n'est fausse qu'en partie, quelques nombres pourraient donner 20 palindromes ou plus, mais la plus grande partie donnera moins de 20 palindromes et si un seul nombre donne moins de 20 palindromes, j'ai déjà une infinité de lychrel après le dernier palindrome suffisant pour que la première conjecture soit fausse.
12=33, un nombre de 2 chiffres a 1 chance sur 2 de donner un palindrome à l'itération suivante.
1234=5555, un nombre de 4 chiffres a 1 chance sur 4
123456=777777, un nombre de 6 chiffres a 1 chance sur 8
Il faut environ 5 itérations pour passer d'un nombre à un autre avec 2 chiffres de plus, la probabilité est divisée par 2 à chaque fois et n'a qu'un temps fini pour se manifester ( 5 itérations environ ), on a donc 1 probabilité multipliée par 5 qui est divisée par 2 toutes les 5 itérations et qui tend rapidement vers 0, il est normal que les palindromes soient en quantité finie sur un fil.
cordialement
Si cela peut te rassurer, je fais énormément d'efforts, mais chassez le naturel, il revient au galop.
Je ne cherche à me venger de personne. Si tu ne vois pas l'aspect contradictoire des deux citations, je n'y peux rien.
Bruno
C'est de l'humour, il ne faut pas te fâcher.
Sur certains sites, les seeds ou semences sont abusivement appelés lychrels alors qu'ils sont infiniment moins nombreux, le signaler, c'est être contradictoire.
C'est mon dernier jour et mon dernier message, je cherchais un interlocuteur mais j'ai parlé à un mur. La loi de [size=large]P[/size]oisson et le théorème central limite, je te les laisse, mais avec une probabilité qui baisse rapidement, il était facile de montrer que la quantité de palindromes était finie donc suivie de lychrel et impliquant que la conjecture : " tous les nombres donnent un palindrome " était fausse.
Séparons-nous sur une phrase de Goethe qui est toujours d'actualité.
"Les mathématiciens sont comme les Français, quoique vous leur disiez, ils le traduisent dans leur propre langage et cela signifie alors quelque chose de complètement différent."
Cordialement
Fin de discussion
[Siméon Poisson (1781-1840) s'écrit toujours avec une majuscule. AD}
ce mec ( c'est un palindrome)
Eh ! ça va la vache ( c'est un palindrome)
.