amusette niveau collège
Quel est le plus grand nombre premier de p chiffres qui demeure premier quel que soit le nombre de chiffres qu'on lui retire compris entre 1 et (p-1) ? (on considère que 1 est premier)
Combien existe t-il de tels nombres?
Combien existe t-il de tels nombres?
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Réponses
Il ne peut pas contenir deux fois le même (hormis 1 (qui ne peut apparaître que deux fois au plus)) (lui ayant retiré p-2 chiffres il n'est pas divisible par 11 (et 111 n'est pas premier)).
Il ne peut contenir 2 qu'en première position (lui ayant retiré tous les chiffres après 2 il n'est pas divisible par 2).
Il ne peut contenir 5 qu'en première position (lui ayant retiré tous les chiffres après 5 il n'est pas divisible par 5).
S'il contient 2 il ne contient donc ni 1 ni 5 ni 7 et il ne reste donc que 23.
S'il contient 5 il ne contient ni 1 ni 2 ni 7 et il ne reste donc que 53.
Il ne peut pas avoir trois chiffres (car il ne contiendrait alors pas 2, mais la somme de trois impairs est divisible par 3).
Il reste donc toutes les permutations de 1137 et tous les nombres à deux chiffres convenables.
711 n'est pas premier.
713 non plus.
Il reste donc toutes les permutations de 1137 terminant par 71 ou 73 ou 7.
171 n'est pas premier.
117 non plus.
Il rest donc que 1371, mais 171 n'est pas premier donc il ne reste que les nombres à deux chiffres.
À partir de là j'ai envie de dire âne qui trotte.
113 n'est pas divisible par trois il me semble
(et 113 fait d'ailleurs partie des solutions vu qu'il est premier)
cordialement.
dont le premier est un préfixe (resp. un suffixe) de l'autre, comme par exemple $23$ et $233$ (resp. $23$ et $1123$) ?
(Plus précisément : c'est dur de montrer qu'il y en a une infinité ?)
Le plus grand nombre cherché est 317
A part les solutions à 2 chiffres on obtient 6 solutions à 3 chiffres, à savoir
113, 131, 137, 173, 311, 317
(ton raisonnement tient la route si tu évites les nids de poule !!)
Par le théorème de la progression arithmétique il existe une infinité de nombres premiers de la forme $10n + 23$ (par exemple).
$\pi(10^n(p+1)-1) \sim \frac{10^n(p+1)}{nln(10)}$
Par exemple:
7
71
719
7193
71933
719333
Puis ça s'arrête là.
Qu'en est il dans les autres bases? Et si on n'exige pas que le premier terme ait un seul chiffre?