nombres premiers jumeaux

LEG · June 2015

Bonjour
En regardant la progression arithmétique de raison 30 des nombres premiers, avec ce petit crible « G », je me suis aperçu que le cycle « 6.4.2.4.2.4.6.2 » entre ces nombres premiers, pouvait bien se répéter une infinité de fois.
Ce cycle dont la somme est 30, énumère les nombres premiers en progression arithmétique, et avec un maximum de 7 nombres premiers consécutifs par cycle…

Cela est probablement une conséquence du théorème de Green –Tao, sur l’infinité de nombres premiers, en progression arithmétique….
Si tel est le cas, il est évident qu’il y a une infinité de premiers jumeaux… !

J’ai joint ce petit crible sous Excel, pour un aperçu. Les trois premières lignes de nombres premier > 23, pour une progression de 30 dans chacune famille, à partir de 60, tel que :
30k – P’ = q sont :

7	11	13	17	19	23	[color=#FF00FF]29	31
37	41	43	47	  0	53[/color]	[color=#660099]59	61
67	71	73	  0	79	83	[/color][color=#99FF00]89	  0  
97	101	103	107	109	113[/color]	…	 …
…	…	…	…	…	…		

-----------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                     
0...     0...   5623... 0	  ... 0 ... 0 ... [color=#0000CC] 5369 ...  5641
5647	5651	5653	5657	5659[/color]	...0

(Où $P’$ est un nombre premier non congru à $30k\ (modulo\ P_i)$, avec $P_i < \sqrt {30k}$ ; et $q$ un nombre premier par obligation.)

Et on retrouve ce cycle, après 188 lignes ou itérations du crible …On peut tout aussi remarquer qu’il y a beaucoup de cycles comportant 6 nombres premiers, donc des couples de premiers jumeaux…

Je pense que ce cycle de 6 ou 7 nombres premiers se répète une infinité de fois, conséquence de ce théorème….

lien du crible :
http://www.cjoint.com/c/EFpmOpPGmzf

Poirot · June 2015

Observer que quelque chose se produit une infinité de fois en regardant des tableaux contenant un nombre fini de valeurs, c'est fort !

Fin de partie · June 2015

Cela est probablement une conséquence du théorème de Green –Tao, sur l’infinité de nombres premiers, en progression arithmétique…. a écrit:

Moi qui croyais que le fait qu'il y ait une infinité de nombre premiers dans une progression arithmétique du type $ax+b$ , avec $a$ et $b$ des entiers naturels premiers entre eux était un théorème du XIXème siècle démontré par Lejeune-Dirichlet.

Il y a même une version qualitative de ce résultat démontrée par La Vallée Poussin:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_la_progression_arithmétique#Version_quantitative

Si je comprends bien ce dernier résultat cela dit en gros qu'il y a autant de nombres premiers dans les progressions arithmétiques $30x+b$ , $x$ variant dans les entiers naturels et avec $b$ premier avec $30$

LEG · June 2015

Bonjour
@Poirot
Je n'ai pas dit cela, mais j'ai bien précisé je pense que ce cycle....etc.

Ce cycle est répétitif, et il y a une infinité de fois des longueurs finies de $2,3,4,5,6, ou,7$ nombres premiers consécutifs ou pas dans ce cycle : ${4,2,4,2,4,6,2,6}$ dont la somme vaut 30. Ce n'est pas une observation, mais une évidence.

Ce qui veut dire entre autre, que lorsque l'on augmente de $30$ le crible de Goldbach, cela augmente chacune des 8 familles de $30$, ("et il apparaîtra 8 nouveaux entiers, congru à 1 ou P modulo 30 avec $P, [7;29]$ ") et on crible les 8 nombres premiers: $[7;31]$ dont la différence ou écart entre ces entiers, est généré par ce cycle..
Ce crible, permet aussi : de cribler les trois couples de familles des premiers jumeaux...$[11;13] ; [17;19]; [29;31]$. Ce n'est pas une observation....Mais un constat; le crible se démontre de façon élémentaire.

@Fin de partie
Je pense que tous les matématiciens connaissent très bien le théorème de Green -Thao, et ne le confondent pas avec celui de Dirichlet....
le crible P modulo 30, n'est pas une théorie mais simplement une variante du crible d'Eratosthène , comme le crible de Goldbach; et effectivement la densité du nombre de nombres premiers dans une des 8 familles en progression arithmétique de raison 30 et de premier terme $1, ou, P$ premier, appartenant à $[7;29]$, est en moyenne générale: la même..
Ces cribles fonctionnent avec 8 premiers: $[7 ; 31]$; cela montre en autre, pourquoi cette densité est la même....
Ils tournent en boucle et par conséquent, certain cycles vont se répéter une infinité de fois....De même, qu'il y aurra des premiers consécutifs de raison 30, de longueur arbitrairement longue...etc, et ce, dans chacune des 8 familles.....Dixit: BG - TT...

Fin de partie · June 2015

.De même, qu'il y aurra des premiers consécutifs de raison 30, de longueur arbitrairement longue...etc, et ce, dans chacune des 8 familles.....Dixit: BG - TT... a écrit:

Le théorème de Green-Tao énonce, si je comprends bien, que si on se donne un entier $r\geq 1$
Il existe une suite arithmétique $(u_n)$ telle que les $r$ entiers $u_0,u_1,...,u_{r-1}$ soient des nombres premiers.

Dans ce théorème, si $u_n$ est de la forme $an+b$, on ne maîtrise ni $a$ ni $b$ (mais toutefois $a$ et $b$ sont premiers entre eux).

Le théorème de Lejeune-Dirichlet quant à lui demande en entrée un couple de nombres $a$ et $b$ entiers naturels et premiers entre eux et affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $u_n=an+b$.

Mais ces nombres premiers ne sont pas nécessairement des termes consécutifs de la suite $(u_n)$

Donc si tu imposes $a=30$ je ne vois pas en quoi, si je comprends bien, le théorème de Green-Tao peut t'aider d'une quelconque manière.

LEG · June 2015

@Fin de partie
Sur le fond tu as raison, mais je part de lhypothèse qu'il existe une infinité de suites arithmétiques de premiers de raison 30 dans chacune de ces 8 famille de premiers de longueur $r = 4,5,ou,6$
Je pense aussi qu'ils en existent de longueur $r$ dans chacune de ses 8 familles avec $an$ multiple de 30, du fait de leur densité quasiment identique, quelque soit une de ces 8 familles.
Bien entendu le lien n'est pas évident ..... avec une infinité de cycles tel que défini, ayant par exemple 6 ou 7 premiers...

Mais si il ya une infinité de suites $(u_n)$ de raison 30 ayant $r$ premiers, alors il en est probablement de même avec le cycle ${6.4.2.4.2.4.6.2}$ avec $r = 4,5,6, ou, 7$ en partant de 1.
("donc on a éliminé les $2m,3m,et, 5m$ soit 73,333.....% des entiers naturels").
Les suites $(u_n)$ de premiers, sont donc dans les 26,666...% d'entiers qui restent, le cycle aussi...

Par contre je ne sais pas si ce théorème de Green-Tao, implique aussi que l'on peut fixer $R$ à $3,4,5,6$ premiers et en progression arithmétique de raison 30, je suis parti de l'hypothèse que c'est aussi le cas, car il a bien fallu qu'ils partent d'un constat....pour ensuite le généraliser à une longueur arbitrairement longue....

C'est pour cela que j'ai mis le crible de G.., en lien, car la similitude est trop frappante pour que cela soit une coïncidence, entre les deux cas.....
Cela se voit aussi avec l'algorithme P modulo 30, qui ne fonctionne pas de la même façon que le crible de Goldbach...

("je n'arrive pas à joindre le tableau de cet algorithme..")

Alannaria · June 2015

LEG a écrit:

Cela est probablement une conséquence du théorème de Green-Tao, sur l’infinité de nombres premiers, en progression arithmétique… Si tel est le cas, il est évident qu’il y a une infinité de premiers jumeaux… !

En 2014, Y.Zhang a juste démontré que : $\lim\limits_{n \to \infty} \inf(P_{n+1}-P_{n}) \lt 7*10^7$

nombres premiers jumeaux

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