problème premiers jumeaux

maroufle · July 2015

bonjour
je vous présente un problème, je cherche des solutions, j'ai des pistes, mais je m'interroge aussi...
je ne suis pas matheux juste amateur de quelques sciences en vrac ^^

le problème que je vous propose, comme un jeu ;-)
prouvez que chaque nombre impair précédent une série de nombres premiers jumeaux est divisible par 3
Comment vous y prendriez vous?
merci ^^
(c'est de la théorie de l'absurde, je ne suis pas sûr de ce que j'avance)

Shah d'Ock · July 2015

Deux questions:
Que peut on dire de $n$, quand $n+2$ et $n+4$ ne sont pas divisibles par 3?
Qu'entendez-vous par "c'est de la théorie de l'absurde"?

kolotoko · July 2015

Bonjour

3 ; 5 est un couple de nombres premiers jumeaux précédé par 1 qui est divisible par 3 comme chacun sait.

bien cordialement

kolotoko

YvesM · July 2015

Bonjour,

Voici ce que j'ai fait :
Les nombres premiers jumeaux sont écrits : $n+2, n+4$ avec $n$ impair. Le premier nombre impair qui les précèdent est $n$.

On vérifie le cas $n=1$ :
$1, 3, 5$ vérifie les conditions et $3 \not\mid 1$

Donc l'énoncé devrait dire : pour tout nombre impair différent de $1$.

Donc $n > 1$ :
On suppose $3 \not\mid n$ et on arrive à une contrdiction.

On raisonne modulo $3$. Donc $n \equiv 0, 1, 2 \quad [3]$.
On exclut $n \equiv 0 \quad [3]$ car par hypothèse $3 \not\mid n$.

Cas $n \equiv 1 \quad [3]$ :
$n \equiv 1 \quad [3] \implies \exists u \in \N^*, n = 3u+1 \implies n+2 = 3(u+1) \implies u+1 \mid n+2$

Comme $u+1 \neq n+2$ car sinon $n+2 = 3(n+2)$ et $u+1 \neq 1$ car $u \neq 0$ alors contradiction car $n+2$ est premier.

Cas $n \equiv 2 \quad [3]$ :
$n \equiv 2 \quad [3] \implies \exists v \in \N^*, n = 3v+2 \implies n+4 = 3(u+2) \implies u+2 \mid n+4$

Comme $u+2 \neq n+4$ car sinon $n+4 = 3(n+4)$ et $v+1 \neq 1$ alors contradiction car $n+4$ est premier.

On a démontré que :
$n, n+2, n+4$ avec $n+2, n+4$ premiers (jumeaux), alors $n=1$ ou $3 \mid n$.

maroufle · July 2015

Merci c'était facile, et c'est aussi pour y rajouter le fait que les premiers jumeaux finissant par 7 et 9 ont pour n-2 un nombre finissant par 5 et donc divisible par 3 et par 5 aussi.
et oui c'est pour tout impair différent de 1 désolé ^^

Je voudrais savoir si on peut parler de nombres seconds (qui n'auront que des facteurs premiers), vu que les techniques de recherche de primalité employés sont souvent statistiques, et qu'on peut parler de nombres probablement premiers dans le Test de primalité de Miller-Rabin par exemple.

maroufle · July 2015

J'essaie aussi de faire du recoupement de données, les premiers jumeaux finissant par 1 et 3 ont comme nombre impair précédent (différent de 1) un modulo 5 = 4
et pour ceux finissant par 9 et 9+2, un modulo 5 = 2

Jules Renucci · July 2015

Pour Maroufle

Bonjour

Un couple de jumeaux (à l'exception du couple 3,5) est nécessairement précédé ET suivi par un impair multiple de 3

(c'est du niveau CM1 !)

maroufle · July 2015

oui mais c'était pour introduire les questions subsidiaires au dessus ^^
j'essaie de trouver un séquençage de nombres premiers, je travaille, niveau CM1 ou pas, c'est pas le problème, parce que le CM1 c'était ya plus de 30 ans et que j'étais un premier de la classe sans rien glander (:P)
Certes je devrais refaire quelques années de maths pour me remettre à un niveau décent, mais je préfère encore apprendre à me servir d'un tableur, ou tellement d'autres choses possible et faut pas négliger l'aspect visuel des problèmes des fois!
112 12 112 2 2
Voilà pour le séquençage, comme on pourrait faire un séquençage ADN

maroufle · July 2015

bon voilà je me suis amusé à faire une sorte de séquençage des nombres premiers, ça vaut ce que ça vaut, ça révolutionne rien, je suis pas matheux, mais pour ceux qui veulent s'amuser avec si ils veulent ^^
voilà la séquence qui marche par blocs de 15 nombres impairs

2- bloc de 2 pas premiers, sauf 3 et 5 (le début de la séquence)

1- potentiellement premier
1- pas premier
2- bloc de 2 potentiellement premiers

1- pas premier
2- bloc de 2 potentiellement premiers (potentiellement jumeaux aussi donc ^^)

1- pas premier
1- potentiellement premier
2- bloc de 2 pas premiers

2- bloc de 2 potentiellement premiers (et potentiellement jumeaux)

et ça se répète à l'infini
pour ceux qui veulent s'amuser à trouver des premiers jumeaux potentiels faut trouver des impairs qui donneront 5 ou 6 mod 15, ou 8 ou 9 mod 15, ou 13 et 14 mod 15
voilà j'ai fait joujou, je vous laisse entre matheux, au plaisir ^^

gerard0 · July 2015

Maroufle,

il existe des suites de 15 (*) nombres impairs successifs dont aucun n'est premier. En cherchant un peu tu trouveras sans doute pourquoi (pense aux factorielles).

Cordialement.

(*) ou 30, ou 10000, ou 10¹⁰⁰⁰⁰, ou ...

Shah d'Ock · July 2015

... ou $\omega$?

gerard0 · July 2015

Tu crois vraiment à ce que tu écris, Shah d'Ock ?

maroufle · July 2015

ce que j'appelle potentiellement premiers c'est des nombres composés ou des nombres premiers, donc ils peuvent ne pas être premiers, 15 d'affilés et même plus ^^
Je sais pas si l'appellation nombre composés est la bonne, c'était surtout pour mettre en évidence les premiers potentiellement jumeaux par rapport à ceux qui ne peuvent pas l'être.

Utilisateur anonyme · July 2015

« ce que j'appelle potentiellement premiers c'est des nombres composés ou des nombres premiers »

Tu as un exemple de nombre qui n'est pas potentiellement premier

!?

run-run-shaw · July 2015

Bien sûr que si. En effet, prenons le nombre $m!$ comme point de départ d'une suite d'entiers consécutifs sans nombres premiers, avec bien sûr un $m$ quelconque.

La suite $m!+3, m!+5, m!+7, m!+9, ..., m!+k$ ne contient aucun nombre premier si $k$ est l'impair précédant $m$. Exemple: notre $m=600$, étant donné que $600!=600.599.598.597...3.2.1$, alors la suite concerné est la suivante:

$600!+3, 600!+5,600!+7, 600!+9,600!+11, 600!+599$.

Chacun des termes de cette dernière suite est divisible par tous les impairs plus petits que $600$.

En généralisant, on peut affirmer, avec force détails que les termes de la suite $m!+3, m!+5, m!+7, m!+9, ..., m!+k$, (qui sont tous impairs d'ailleurs), sont divisibles par deux, au moins, entiers distincts (pour tous les $k$ impairs inférieurs à $m$.

Bien cordialement
Run-Run-Shaw

Utilisateur anonyme · July 2015

Edit : j'avais mal lu.

maroufle · July 2015

((H)) écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1118673,1119723#msg-1119723

Un multiple de 3 et/ou de 5
c'est d'ailleurs le résultat de ce crible
2x3x5 = 30 (15 pour la position du nombres impairs, ce qui revient au même)
je mettais juste en évidence lesquels avaient le potentiel d'être premiers ET jumeaux, certains peuvent être premiers mais ne peuvent PAS être jumeaux
le résultat d'un crible par 2x3x5x7 n'est pas tellement plus significatif à ce niveau, il pointera que des séries de 4 nombres ne peuvent pas être premiers, mais pas tellement plus et surtout la série est beaucoup plus longue 2x3x5x7= 210
les seuls premiers 4 jumeaux sont 2,3,5 et 7
une série de 210 c'est 105 impairs qui vont avoir des suites de 1 à 4, et bien sûr aucune suite de premiers au dessus de 2 ne peut exister sinon elle est divisible par 3

Utilisateur anonyme · July 2015

Donc $3$ n'est pas potentiellement premier !? Il faudrait que tu donnes une vraie définition si tu veux que l'on te comprenne. Qu'est-ce qu'un nombre potentiellement premier ?

maroufle · July 2015

la série des 4 premiers ne change pas
2,4,5,7, je mets le 2 je sais pas pourquoi, il ne sert à rien mais bon
en tout cas y'a pas d'autres série de 4 jumeaux ça c'est certain ^^

gerard0 · July 2015

Bon, avec des définitions vagues et le changement des significations des mots, on raconte n'importe quoi, on n'est pas sérieux. j'en avais déjà une vague idée, maintenant je sais !

Encore un farfelu !

Shah d'Ock · July 2015

gerard0 a écrit:

Tu crois vraiment à ce que tu écris, Shah d'Ock ?

En l'occurence, non.

maroufle · July 2015

gerard0 écrivait: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1118673,1119843#msg-1119843
[Inutile de répéter l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Désolé de manquer de backgroud mathématiques, je n'aime pas les anglicismes mais le mot me semble le plus adapté.
Farfelu, oui sûrement, poster dans un forum de math sans avoir le langage math ^^
Après tu peux me donner un nombre, ma limite est 2^100000 (celle de la calculatrice par exponentiation modulaire) et je te dirais si il peut avoir un jumeau ou pas, pas plus.

LEG · July 2015

Bonjour
@maroufle , quelque soit un produit de nombre premiers >5 et pour un nombre > 100 chiffres, il est simple de montrer avec le crible P modulo 30, qui est une variante d'Eratosthène, qu'il y a toujours dans l'intervalle de 120 entiers congrus à 1 ou à P modulo 30; avec P appartenant à [7 ; 29], 6 couples de premiers Jumeaux possibles, sur les 46 nombres premiers possible...
ci joint fichier en exemple: http://www.cjoint.com/c/EGjiIKZK4GM

maroufle · July 2015

J'ai trouvé d'autres propriétés intéressantes, mais il me faudrait un tableur 3D lol
un crible qui exclut très peu de nombres potentiellement premiers (j'avais trouvé le nom exact de ces nombres hier mais j'ai oublié), bref...
il me semble qu'ils sont appelés des pseudo premiers dans le test de primalité de Miller-Rabin
C'est en gros une constatation, sur un séquençage, de concaténation des chiffres qui composent le nombre, on dit qu'il y a autant de pairs que d'impairs, et ça a déjà été prouvé, mais si le modulo de la concaténation des chiffres qui composent le nombre par ce même nombre donne 0 alors il n'est pas premier, même si il est pseudo premier.

Ce qui est intéressant pour moi, c'est plus les nombres premiers jumeaux dans ce cas, mais la propriété d'aspect des nombres, ils suivent le schéma 5 impairs + 5 pairs par séquences de 100 nombres impairs, puis ça sera le contraire 5 pairs + 5 impairs pour la prochaine centaine, il y a un incrément de 2 par centaine sur la somme des modulo de concaténation de (100+n)+(100-n) (la seule exception c'est 2 qui est pair et fait parti d'une série d'impair)

il me faudrait un meilleur tableur et de meilleures compétences pour faire quelques recoupements de données sur tout ça parce que ça me semble intéressant, je reste persuadé mais c'est qu'une sensation qu'il faut ajouter un modulo pair sur ces nombres impairs et qu'il y a des similitudes de motifs, comme des empreintes numériques, du genre md5 ou CRC ou checksum pour des tests de sommes de contrôle, le but ultime c'est de trouver comment diviser de grands nombres (s'ils sont pseudo premiers), dans les limites du tableur, ou à défaut au moins sortir un test de primalité simplifié au maximum.
Bref je fouille et passe le temps, c'est une occupation comme une autre après tout ^^

problème premiers jumeaux

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