Récréation

Rescassol a écrit:

Comme il ne sait pas distinguer une chaussette gauche d'une chaussette droite, je peux les mélanger, à condition de refaire à l'arrivée deux tas de respectivement $m$ et $n$ chaussettes.
De combien de façons puis je faire ça ?

Pourrais-tu détailler ce passage s'il te plaît ?

@Rescassol : Ta méthode de décompte des chaussettes est bien compliquée par rapport à la solution que je propose, car la formule donnant la valuation de $n!$ en un entier premier $p$ fait partie du bagage standard de l'arithméticien et que sa démonstration n'est pas très compliquée. Je la rappelle : $$v_p(n!)=\sum_k E\Big(\dfrac n {p^k}\Big).$$
En évaluant $v_p(K)$, on se trouve face à une série dont le terme général, en vertu de la formule que j'ai proposée plus haut (à démontrer), est positif.

Avec les chaussettes, je n'arrive pas à faire un raisonnement "garantie". Je me suis rabattu sur le calcul.
Mais peut-être que tu sauras nous produire un raisonnement incontestable, court et élégant.

Cordialement,
zephir.

Cher Rescassol, je suis désolé mais je ne comprends toujours pas ton argument. As-tu une démonstration détaillée ?

Les informations apportées par YvesM me font douter.

Bonjour,

il me semble que le raisonnement de Rescassol, si je l'ai compris, est faux:

s'il était correct, alors en partant de n'importe quel couple $(k,l)$ ( i.e pas seulement $(2m,2n)$) on démontrerait que
$X=\dfrac{\binom{k}{m} \times
\binom{l}{n}}{\binom{m+n}{m}}$
est un entier, ce qui est faux comme le prouve $(m,n,k,l)=(2,3,3,4)$

Cordialement
Paul

Contrairement à ce qu'affirme un intervenant sur le forum roumain cité par JLT, la formule donnant la valuation $p$-adique de $n!$ n'est pas due à Lagrange, mais à Legendre. On la trouve dans l'édition de 1830 de sa Théorie des nombres, rééditée en 1955 par la librairie Albert Blanchard, Tome I, page 10.
Cet ouvrage est d'une grande importance dans l'histoire des mathématiques car sa première édition, en 1798, est le premier traité jamais consacré à la Théorie des nombres comme discipline spécifique, précédant (de peu) les Disquisitiones arithmeticae de Gauss.
Il est fascinant d'observer qu'une propriété de la fonction partie entière conduit à démontrer le caractère entier de ce nombre $\displaystyle \frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!}$.

Le forum roumain fait apparaître une autre démonstration de ce caractère entier, au moyen du raisonnement par récurrence : encore un exemple de l'efficacité de ce mode de raisonnement.

On trouve aussi ces deux démonstrations dans : Samuel L. Greitzer, International mathematical olympiads,1959-1977, The MAA, 1978.

Le forum roumain signale aussi une démonstation combinatoire, avec l'expression donnée par YvesM :
$\displaystyle { m!{2m \choose m} n!{2n \choose n} \over (m+n)! }= {(2m)! (2n)! \over m! n! (m+n)! }$

Comme dit YvesM, c'est Catalan qui a prouvé en 1872 le caractère entier de ce nombre, au moyen de fonctions elliptiques, la preuve arithmétique ayant été donnée en 1875 par Bachmann. Mais il n'est pas certain que ce soit lié aux nombres de Catalan. Par la suite, ce résultat a été précisé et généralisé. Voir : Dickson, History of the theory of numbers, vol. I, 1923, Chelsea 1971, chap. IX, p. 263, 265, 266.

Bonne soirée.
Ch.

@Rescassol : je réponds à ton ps ci-dessus.

Pour discret, je ne sais pas, mais je connais (un peu) enonce, et je pense qu'il ne reviendra plus ici.