Équation dans $\Z^2$

Défricher pour déchiffrer...

D'abord $x$ est multiple de $5$. Soit $x=5x_1$, l'équation devient : $5x_{1}^{2}-y^{2}=9$.
Si $x_1$ n'était pas multiple de $3$, alors $5x_{1}^{2}\equiv 2\pmod 3$, d'où : $y^{2}\equiv 2\pmod 3$, impossible.
Donc $x_1$ et $y$ sont multiples de $3$. Soit $x_1=3x_2$, $y=3y_1$, l'équation devient : $y_{1}^{2}-5x_{2}^{2}= -1$.

On voit apparaître l'équation de Fermat, parfois improprement dite "de Pell", que l'on résout selon la méthode bien-connue, au moyen de l'unité fondamentale de l'anneau $\Z[\sqrt{5}]$ (qui est si je ne me trompe $2+\sqrt{5}$).

Bonne journée, encore dans la nuit.
F. Ch.