Conjecture de Syracuse

Ce lien pointe vers un certain nombre de pages d'où une certaine unanimité se dégage : la conjecture de Syracuse (au singulier) est une conjecture. Wikipedia aurait-elle raison pour une fois ?

Tu peux présenter ta démonstration en créant une nouvelle discussion dans le sous-forum http://www.les-mathematiques.net/phorum/list.php?43
On pourra t'aider à y voir clair.

Et dire qu'on accusait ci-dessus la fiabilité des sources de wikipedia ...

On n'est pas pressé de voir cette démonstration, tu n'as qu'à publier dans Acta Mathematica, nous on n'est pas de taille.

christophe c a écrit:

Avant de prouver la conjecture de Syracuse, il serait déjà bien de donner une raison de croire à sa vérité.

S'il a une démonstration de Syracuse, ça me paraît être une raison parfaitement suffisante pour croire à sa véracité 8-)

christophe c a écrit:

Quelqu'un connait-il au moins un article dont le contenu vise à faire pencher l'opinion "pour" sa vérité?

Il y a déjà des articles qui ont testé numériquement la conjecture jusqu'à des valeurs très élevées. J'avais aussi déjà vu des arguments heuristiques, peut-être que Tao en parle dans le lien que j'ai mis ci-dessus.

une réponse des plus prometteuse ... !! tu me dis si tu trouve plus fiable comme source !! a écrit: »

Wikipedia est plutôt fiable quand il s'agit de donner une information simple.
Affirmer que telle conjecture a été démontrée est une information simple.

sauf que c'est un calcul ... qu'est ce que je raconte, c'est plus un raisonnement ... qui fait meme pas 5 ligne du coup je me demande comment j'ai pu faire une erreur !! bon bref c'est dommage je serais jamais si mon raisonnement était bon !! a écrit:

Des "raisonnements'" de 5 lignes, ou à peine plus, qui prétendent démontrer des conjectures célèbres, ce forum en est plein.
Dois-je ajouter que tous ces "raisonnements" se sont avérés faux jusqu'à maintenant?

A propos de Syracuse:

Ce résultat porte-t-il un nom, christophe? Ce n'est pas la première fois que tu le cites et en le copiant-collant sur Google, je n'obtiens pas de résultat satisfaisant. La démonstration m'intéresse aussi, si tu l'as, stp.

À propos du théorème de Sylvester-Gallai.

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Ce théorème a été énoncé comme question par Sylvester dans The Educational Times en 1893, sous la forme plus parlante suivante (à peu près) :
"démontrer qu'il n'existe pas d'ensemble fini de points tels que toute droite passant par deux d'entre eux passe par un troisième, sauf s'ils sont tous alignés".
L'énoncé exact a été reproduit en fac-similé dans : Aigner, Ziegler, Proofs from Thje Book (traduction française : Raisonnements divins).

Ce que Motzkin a reformulé "positivement" :
"si $n$ points du plan ne sont pas tous alignés, alors il existe une droite qui contient exactement deux de ces points".

Comme dit Coxeter ce résultat a été oublié jusqu'en 1933, où Erdös l'a conjecturé sans savoir qu'il avait été déjà énoncé quarante ans auparavant. Erdös l'a posé en 1943 dans la rubrique des problèmes de l' American Mathematical Monthly et c'est Gallai (Grünwald) qui l'a résolu. D'où le nom de ce théorème

Peu après Kelly a donné une solution qui est sans doute la plus simple, qui tient en onze lignes avec figure (et non deux lignes) dans Introduction to Geometry de Coxeter (mais sans doute suffit-il d'avoir de longues lignes...) et qui n'est triviale que quand on la lit a posteriori car il fallait y penser. Mais pour les génies tout est trivial...

Les gens à qui l'on pose ceci comme problème, sans qu'ils le connaissent, commencent généralement par suggérer un raisonnement par récurrence, mais déchantent rapidement.

Cette propriété, élémentaire au départ, a eu de nombreux prolongements. Les démonstrations de Gallai et Kelly utilisent la structure euclidienne du plan, mais cette structure n'intervient en rien dans l'énoncé du théorème. Alors il y a une solution de Steinberg (1944) dans le cadre projectif qui n'utilise que les axiomes d'ordre et de partage du plan. Par exemple la géométrie du plan $\Q^2$ ne connaît pas la distance ni les angles, mais le théorème de Sylvester-Gallai y est tout de même vrai.

Dans "Le Petit Archimède" n° 71-72, février 1981, le problème PB 126 portait sur cette propriété. Internet n'existait pas à l'époque, c'était un moyen de faire connaître ce résultat. La solution était parue dans le n° 77-78, octobre-novembre 1981, où l'on donnait, outre la démonstration de Kelly, une version affine de celle de Steinberg. Dans les géométries sur des corps commmutatifs non-ordonnés, comme les corps finis ou le corps des complexes, le théorème de Sylvester-Gallai n'est plus vrai.

Bonne journée.
F. Ch.

@skyffer, c'est un peu exagéré de me dépeindre comme ça, je dis souvent au contraire à des étudiants qui postent que tout est difficile et rien n'est trivial. Tout dépend à qui je m'adresse. Ici en l'occurence, la solution tient même en une ligne*** quand je prends en compte à qui je m'adresse (des matheux pros); sans compter le "soit..." suivi de la répétition de l'énoncé"

*** soit $F$ un ensemble fini de points, non tous alignés. Prendre la plus petite hauteur d'un triangle qu'on peut former avec 3 de ses points et conclure.

@skyffer: evidemment, je ne parle pas de preuve formelle, et oui, j'ai utilisé une syntaxe d'indiaction. Mais dire

"soit ABC le triangle qui a la plus petite hauteur parmi tous ceux possibles faisables avec des points de $F$. On a nommé A le point dont elle est issue. Aucun point de F (à part B et C) n'est sur (BC)"

qui fait 2 lignes est "une preuve" adressée aux gens concernés par la remarque (ie des matheux pro, voir même amateurs réactifs), puisque j'ai mis ces lignes en "syntaxe de preuve" et non "d'indication".

C'est très dur à [size=x-large]t[/size]rouver certes, mais une fois proposé, l'argument (pas plus développé que ça) constitue "une honorable" preuve du type de celles que s'échangent régulièrement les initiés. Là, c'est même accessible à bac+1