Multiplication de nombres décimaux

JérOnimo · November 2015

Bonsoir,

Au primaire et au collège avec les 6emes, on revoit comment poser une multiplication de nombres décimaux sans tenir compte des virgules lorsque l'on ajoute les nombres obtenus.

Par curiosité, savez-vous s'il existe une méthode similaire avec laquelle il faut tenir compte des virgules lors de l'ajout des nombres obtenus ?

Merci.

Dom · November 2015

Je ne comprends pas la question.

JérOnimo · November 2015

Je reformule.
La multiplication apprise aux élèves

         1 2 , 4 
      *    6 , 2
      ------------
        2   4  8
    7   4   4  0
=   7   6 , 8  8

Dans les étapes intermédiaires (248 et 7 400), on ne tient pas compte de la virgule, que l'on place dans le résultat final en comptant le nombre de chiffres après la virgule dans chaque facteur.
Ma question est :
connaissez-vous un autre système où l'on pose une multiplication où, dans ces étapes intermédiaires, apparaissent les multiplications ?
En fait, je comprends bien que pour faciliter les choses on effectue les calculs comme si c'étaient des entiers.
J'aimerais savoir s'il était, en fait, possible, lorsque l'on pose une multiplication de nombres décimaux, de tenir compte de la virgule sur chacune des étapes intermédiaires (la faire apparaitre) ?

En reprenant l'exemple précédent (ce que je vais écrire est étrange mais c'est pour vous faire comprendre) :

         1 2 , 4 
      *    6 , 2
      ------------
        2 , 4  8       car 0,2 * 12,4 = 2,48
     7  4 , 4  0             6 * 12,4 = 74,4
=    7  6 , 8  8

Les virgules sont alignées pour l'addition finale et le résultat peut ainsi être obtenu comme dans une addition posée traditionnelle.
Comment savoir où mettre la virgule dans chaque étape intermédiaire et de telle sorte à ce qu'elle soit alignée "au bon endroit" (alignées avec toutes les autres) ?
Vous allez me dire : "bah tu le sais où les aligner puisque tu viens de le faire", mais pour les élèves de primaire voire de 6ème je fais référence.
J'espère avoir été plus clair ...

bisam · November 2015

Il suffit de compter à chaque ligne le nombre de chiffres après la virgule au lieu de le faire seulement pour le résultat final.
(Par exemple, 1ère ligne : 0,2 * 12,4 -> 1+1 chiffres après la virgule. 2ème ligne : 6 * 12,4 -> 0+1 chiffre après la virgule)

Par conséquent, c'est plus fatigant que la méthode usuelle...

JérOnimo · November 2015

Je vois.
Après, quelque chose me gène dans la méthode traditionnel, c'est le fait d'écrire, dans les étapes intermédiaires quelques choses de faux (puisqu'on ne tient pas compte des virgules) puis, en appliquant le fait que l'on compte le nombre de décimales de chaque facteurs pour déterminer le nombre de décimal du produit, d'arriver à un résultat juste.
Mais je dois être le seul surpris (choqué...) par cela.

rakam · November 2015

Où vois-tu quelque chose de faux ? Pour reprendre ton exemple, tu n'écris pas $6*(12,4)=744$ mais tu écris une suite de 3 chiffres dans un tableau (bien décalé) qui te permettront d'arriver au résultat !

bisam · November 2015

@JérOnimo : C'est sans doute l'occasion de faire un lien avec les conversions...

Dom · November 2015

Une explication : on ne fait rien de faux, on multiplie des entiers !

On veut calculer : $1,3\times2,45$.
$1,3$ s'écrit $\frac{13}{10}$ ou encore $13\times\frac1{10}$.
$2,45$ s'écrit $\frac{245}{100}$ ou encore $245\times\frac1{100}$.

$1,3\times2,45=13\times245\times\frac1{10}\times\frac1{100}=13\times245\times\frac1{1000}$.

Il faut poser l'opération (avec des entiers, sans afficher de virgule) puis écrire la réponse en écrivant l'égalité.
Je recommanderais de ne pas écrire la virgule dans l'opération posée.

soland · November 2015

Bonjour.
On peut aussi placer une barre verticale et écrire
$$\begin{array}{r|l}
12&4 \\
6&2 \\\hline
2&48 \\
74&4 \\\hline
76&88
\end{array}$$

Mais à mon sens, un algorithme fait ce qu'il veut à l'interne, du moment que l'output est correct.

Dom · November 2015

On a un algorithme ou plusieurs qui fonctionnent.
Il faut savoir pourquoi ; donner du sens à l'algorithme.

kioups · November 2015

Quand on pose une multiplication, on fait de la distributivité. 12,4 x 6,2, c'est 12,4 x (6 + 0,2). On commence par 12,4 x 0,2. On multiplie des dixièmes par des dixièmes donc on obtient des centièmes. On peut tout à fait écrire 2,48. Ensuite, on multiplie 12,4 par 6. On obtient des dixièmes. On ne peut pas ajouter des dixièmes et de centièmes donc on "ajoute" un zéro à 74,4 ou on décale d'un rang.

Je doute que la multiplication posée soit enseignée de cette manière mais c'est ce que j'essaie de refaire avec mes 6èmes (rapidement, parce qu'ils pigent très vite l'idée de compter le nombre de chiffres après la virgule).

Dom · November 2015

Méfions-nous de "on ne peut pas ajouter des dixièmes et des centièmes" et préférons dire "c'est moins intuitif ou moins immédiat ou moins facile d'ajouter des dixièmes à des centièmes".

Je trouve étonnant du cas 6,2 qui se ramène au cas 0,2 qui reste "le même problème" à mon sens.

Et je ferais plutôt : 12,4x0,2 = 12,4x (2/10) = 24,8/10 = 2,48.

Remarque : multiplier des dixièmes est abstrait (en 6eme) alors que prendre des dixièmes de dixièmes est bien la définition des centièmes.

kioups · November 2015

Dom : oui, ça reste le même problème mais quand on pose la multiplication, on fait de la distributivité, c'est ce que je voulais dire.

Dom · November 2015

Ok, la technique de la multiplication posée est en effet une distributivité "cachée". Je n'avais pas compris ça.
Mea Culpa.

JérOnimo · November 2015

@ Soland : comment justifies-le fait que tu mettes certains nombres à gauche et d'autres à droite de ta barre verticale ?

@ Kioups : tu pourrais ecrire un exemple de la methode que tu utilises, Je suis curieux d en voir le detail ecrit.

@ Dom : on multiplie des entiers oui, mais à la base ce sont des nombres decimaux que l on considere, on leur a donc enleve la virgule et travailler sans. Ce procede me perturbe... mais pourquoi ca ? Mystere pour le moment.
J y travaille en tout cas.

Merci à vous.

Dom · November 2015

Non ! Enfin oui...

Les nombres décimaux sont des nombres entiers d'une fraction décimale de l'unité.
On n'enlève pas la virgule, en gros on change d'unité.
(Bien sûr qu'on l'enlève de l'esprit, ou qu'on l'enlève pour décrire l'algorithme, mais, pour rester dans le "travail avec du sens" et sans magie, je détaille un peu plus en dessous).

2,5 est un nombre décimal non entier.
Mais c'est un nombre entier ... de dixièmes.
C'est vraiment cela l'essentiel je pense (quand je pense à l'esprit des 6e).

3,78 est un nombre entier de millièmes.

Maintenant relies mon message avec ce point de vue.

kioups · November 2015

Jéronimo : je ne vois pas bien ce que je peux détailler. Je dis juste qu'une multiplication posée, c'est une utilisation de la distributivité. La méthode reste la même.

JérOnimo · December 2015

Comme vous l'avez constaté, avec le recul, c'est les nombres entiers que l'on écrit dans les étapes intermédiaires qui me gène, car,je pars du principe que lorsque l'on effectue des calculs, on écrit à la suite des choses justes.
Je suis tout à fait d'accord sur l'idée que:

        1 2 , 4 
      *   6 , 2
      ------------
   7   6 , 8  8

et que pour déterminer le résultat on effectue le calcul avec des nombres entiers :

         1 2  4 
      *    6  2
      ------------
        2   4  8
    7   4   4  0
=   7   6   8  8

Mais le fait de mélanger les deux comme dans :

         1 2 , 4 
      *    6 , 2
      ------------
        2   4  8
    7   4   4  0
=   7   6 , 8  8

ne me parait pas correct, ni rigoureux : d'où ma question (la recherche d'une stratégie d'afficher des virgules dans les étapes intermédiaires).

Cidrolin · December 2015

En 1852 Chavignaud disait : 46467

remarque · December 2015

Et si l'on explique que $12{,}4\times6{,}2=(124\times 0{,}1)\times(62\times 0{,}1)=(124\times62)\times(0{,}1\times 0{,}1)=124\times 62\times 0{,}01$ ? On peut donc faire à part la multiplication des entiers et celle des virgules (par associativité et commutativité).

Bon, ceci dit, j'ai appris la règle brutale à l'école sans que cela fasse d'histoire, et sans justification d'ailleurs. Autre temps, etc.

gerard0 · December 2015

JérOnimo,

tu pinailles. Déjà, lorsque tu écris 12,4 et 6,2, tu utilises des nombres entiers ; 12 et 4, séparés par une virgule.
La multiplication posée est une technique. Un point c'est tout.

Cordialement.

Chalk · December 2015

Comme l'ont mentionné Dom et remarque, pour multiplier deux nombres décimaux on peut bien décomposer la multiplication en une multiplication d'entiers suivie d'une multiplication par l'inverse d'une puissance de 10, ce qui revient à replacer la virgule au bon endroit.

Il n'y a rien de "faux" dans l'écriture qui passe par les entiers.

Multiplication de nombres décimaux

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