Question 0,9999[...]99=1
dans Arithmétique
Bonjour, je suis actuellement à la fac, en mathématiques et j'aimerais vous poser une question, j'espère être au bon endroit.
Je m'intéresse aux "singularités" aux choses qui ne sont pas naturelles, par curiosité, et je suis tombé sur le fait que "0,99999999[...]99=1"
J'ai essayé plusieurs preuves que j'ai montré à ma prof d'outils mathématiques, mais elle ne semble pas d'accord avec les preuves fournies, selon elle, ça ne fonctionne pas.
La plus "propre" selon moi utilise les sommes, que je vous expose dans l'image ci-jointe, mon logiciel de calcul formel étant en accord avec moi, j'aimerais savoir ce que vous en pensez, et avoir quelques explications de votre part.
En espérant une réponse et en vous remerciant par avance.
Cordialement.
Je m'intéresse aux "singularités" aux choses qui ne sont pas naturelles, par curiosité, et je suis tombé sur le fait que "0,99999999[...]99=1"
J'ai essayé plusieurs preuves que j'ai montré à ma prof d'outils mathématiques, mais elle ne semble pas d'accord avec les preuves fournies, selon elle, ça ne fonctionne pas.
La plus "propre" selon moi utilise les sommes, que je vous expose dans l'image ci-jointe, mon logiciel de calcul formel étant en accord avec moi, j'aimerais savoir ce que vous en pensez, et avoir quelques explications de votre part.
En espérant une réponse et en vous remerciant par avance.
Cordialement.
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Réponses
Sniff ! Ne faudrait il pas faire une FAQ avec tous les marronniers ?
Cordialement,
Rescassol
Pour traiter cette question, il faut définir les écritures qu'on utilise. Déjà, la tienne me semble fausse, puisque 0,999[...]99 veut dire qu'on met un certain nombre de 9 à la place du crochet, puis qu'on termine par encore deux 9. Par exemple 0,9999999999999 ou 0,9999999999999999999999999.
par contre si tu veux parler de l'écriture 0, suivi d'une infinité de 9, alors il existe plusieurs façons de lui donner une signification. Déjà, contairement à 0,333... (une infinité de 3 après la virgule), elle ne peut pas apparaître comme le résultat d'une division (la preuve que ça fait 1 le justifiera). Mais par exemple comme 3 fois 0,333..., trois fois 1/3, donc c'est 1.
Ensuite, il faut définir ce genre d'écriture, ce qu'on fait en définissant la notation décimale illimitée, par exemple comme :
$a_0,a_1a_2a_3...a_n...=a_0+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{a_k}{10^k}$ où $a_0$ est un entier positif et les $a_k$ sont des entiers entre 0 et 9, vus aussi comme des chiffres.
On peut ensuite, quand on connait bien les propriétés des nombres réels, voir qu'il existe des cas où deux écritures illimitées donnent le même nombre, et que ces cas correspondent exactement aux nombres décimaux. Et une preuve que tu peux facilement faire si tu es en terminale montre alors que ton nombre est l'une des deux écritures décimales illimitées de 1 (l'autre est 1,00000...).
Cordialement
> Sniff ! Ne faudrait il pas faire une FAQ avec tous les marronniers ?
> Rescassol
Comme par exemple sur Futura ?
Cordialement.
Cordialement.
Preuve à la "deux gendarmes" qui fonctionne en classe.
Le maître écrit au tableau
1.00000000000...
0.99999999999...
et demande à un partisan du $1\neq 0.999999...$ d'intercaler décimale par décimale, en respectant la place de ces décimales, un nombre entre 1.000... et 0.99999...
Les intellectuels peuvent convertir la manip. en preuve par récurrence.
$10x-x=\cdots99990-\cdots9999$, soit $9x=-9$, d'où $x=-1$.
En divisant $x$ par $10^n$ et en faisant tendre $n$ vers l'infini,
on peut conclure $0,9999...=0$.
L'histoire se passe bien sûr dans l'anneau des nombres 10-adiques.
Cette écriture de 1 avec que des 9 dans la "partie décimale", peut s'avérer utile par exemple pour calculer, en écriture décimale la différence $1-x$ lorsque $x$ est un rationnel où l'on connaît la période. Il suffit de prendre, à chaque rang, le chiffre "complément" à 9.
J'ai une question, on considère la série : $\quad\displaystyle \sum_{i \in \N} \frac{a_i}{2^i},\ $ avec $a_i \in \{-1,0,1\}$
On note $S$ l'ensemble des écritures possible de $\frac{1}{2}$, $\mathrm{card}(S)=\mathrm{card}(\N)$ ou bien $\mathrm{card}(S)=\mathrm{card}(\R)$.
Merci.
Il me semble que les restes d'ordre $n$ de la série $\quad\displaystyle \sum_{i \in \N} \frac{a_i}{2^i}$ sont bornés avec une borne supérieure qui diminue avec $n$.
PS:
$1$ et $0,99999999999999....$ diffèrent pour moi d'une quantité infiniment petite donc nulle.
Montrer qu'une quantité positive est $0$ peut se faire en montrant qu'elle est strictement inférieure à tout nombre réel (et même tout simplement rationnel) strictement positif.
Je pense que c'est différent du fait que 1/2 = 2/4, car si tu dis que 0.99999999[...]99/1 = 1 t'as rien démontrer parce que t'as déjà supposé que 0.99999[...]99 = 1.
Par définition de 1 t'as le droit que de dire que 0.99999[...]99/1 = 0.9999999[...]99 !
Les nombres $1$ et $\quad\displaystyle \sum_{i \in \N^*} \frac{9}{10^i}$ sont égaux. Ils ne diffèrent de rien (sauf $0$).
@babsgueye
Il a déjà été dit que la notation 0.99999999[...]99 est trompeuse, à moins que tu ne désignes par cela qu'une somme partielle de la série... ce qui est bien un autre nombre que $1$.
Je ne comprends pas la réponse mais peut-être ne m'est-elle pas adressée (?).
Je parle de la notation beaucoup plus ambiguë en mettant des pointillées "entre des extrémités chiffrées" qu'en en mettant juste à la fin comme "des élèves" feraient.
$\alpha$ est "infiniment petite":
Pour tout réel $\epsilon>0$ , $|\alpha|<\epsilon$
Théorème:
Une quantité "infiniment petite" est nulle.
(cette propriété pour caractériser une quantité nulle m'a toujours semblé magique)
T'as que ici 1 est point d'adhérence d'une façon plus générale (topologique !)
.... n'est qu'une autre façon de dire ''limite''. ça c'est pas une découverte ! On peut être d'accord sur n'importe quelle notation, vu qu'on est d'accord tout simplement..