Question 0,9999[...]99=1

Bonjour.

Pour traiter cette question, il faut définir les écritures qu'on utilise. Déjà, la tienne me semble fausse, puisque 0,999[...]99 veut dire qu'on met un certain nombre de 9 à la place du crochet, puis qu'on termine par encore deux 9. Par exemple 0,9999999999999 ou 0,9999999999999999999999999.
par contre si tu veux parler de l'écriture 0, suivi d'une infinité de 9, alors il existe plusieurs façons de lui donner une signification. Déjà, contairement à 0,333... (une infinité de 3 après la virgule), elle ne peut pas apparaître comme le résultat d'une division (la preuve que ça fait 1 le justifiera). Mais par exemple comme 3 fois 0,333..., trois fois 1/3, donc c'est 1.

Ensuite, il faut définir ce genre d'écriture, ce qu'on fait en définissant la notation décimale illimitée, par exemple comme :
$a_0,a_1a_2a_3...a_n...=a_0+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{a_k}{10^k}$ où $a_0$ est un entier positif et les $a_k$ sont des entiers entre 0 et 9, vus aussi comme des chiffres.
On peut ensuite, quand on connait bien les propriétés des nombres réels, voir qu'il existe des cas où deux écritures illimitées donnent le même nombre, et que ces cas correspondent exactement aux nombres décimaux. Et une preuve que tu peux facilement faire si tu es en terminale montre alors que ton nombre est l'une des deux écritures décimales illimitées de 1 (l'autre est 1,00000...).

Cordialement

Tu ne nous as pas proposé de preuve. On ne peut pas te dire ce que ta prof rejette. (Et bizarrement, tu mets une photo d'écran: j'espère que tu ne confonds pas ça avec une preuve de maths, sait-on jamais)

Mais 0,9999... < 1, voyons !

Si on pose $x=\cdots9999$ alors $10x=\cdots99990$ et

$10x-x=\cdots99990-\cdots9999$, soit $9x=-9$, d'où $x=-1$.

En divisant $x$ par $10^n$ et en faisant tendre $n$ vers l'infini,

on peut conclure $0,9999...=0$.

La question posée ici est tout simplement de savoir ''est ce qu'on peut écrire une notion qui s'appelle limite d'une autre manière ?''

Bonjour,
J'ai une question, on considère la série : $\quad\displaystyle \sum_{i \in \N} \frac{a_i}{2^i},\ $ avec $a_i \in \{-1,0,1\}$
On note $S$ l'ensemble des écritures possible de $\frac{1}{2}$, $\mathrm{card}(S)=\mathrm{card}(\N)$ ou bien $\mathrm{card}(S)=\mathrm{card}(\R)$.

Merci.

On ne fait pas tout un foin sur le fait que $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{4}{6}$ qui sont des écritures formellement dissemblables sont pourtant deux écritures parmi tant d'autres pour le même nombre réel.

PS:
$1$ et $0,99999999999999....$ diffèrent pour moi d'une quantité infiniment petite donc nulle.

Montrer qu'une quantité positive est $0$ peut se faire en montrant qu'elle est strictement inférieure à tout nombre réel (et même tout simplement rationnel) strictement positif.

@Fin de partie
Les nombres $1$ et $\quad\displaystyle \sum_{i \in \N^*} \frac{9}{10^i}$ sont égaux. Ils ne diffèrent de rien (sauf $0$).

@babsgueye
Il a déjà été dit que la notation 0.99999999[...]99 est trompeuse, à moins que tu ne désignes par cela qu'une somme partielle de la série... ce qui est bien un autre nombre que $1$.

@babsgueye
Je ne comprends pas la réponse mais peut-être ne m'est-elle pas adressée (?).
Je parle de la notation beaucoup plus ambiguë en mettant des pointillées "entre des extrémités chiffrées" qu'en en mettant juste à la fin comme "des élèves" feraient.

Ok ;-)

En tout cas quelque soit la tournure, tu ne sort pas de la notion de limite !

T'as que ici 1 est point d'adhérence d'une façon plus générale (topologique !)

Dom a écrit:

Comme ça j'ai plutôt l'impression que $S$ est de cardinal fini.

Non car pour tout $i$ entier, on a $\frac{-1}{2^{i-1}}+\frac{1}{2^{i+1}}+\frac{1}{2^{i+2}}+...=0$

Les ... c'est l'esprit qui y va. En tout cas ce serait pas bien de présenter cette égalité à de jeunes collégiens tout simplement parce qu'ils ne connaissent pas la notion de limite. On leur dit que l'ensemble des décimaux est inclus dans l'ensemble des rationnels et l'écriture avec un nombre infini de chiffres se conçoit avec des zéros inutiles.
.... n'est qu'une autre façon de dire ''limite''. ça c'est pas une découverte ! On peut être d'accord sur n'importe quelle notation, vu qu'on est d'accord tout simplement..