Bézout
dans Arithmétique
Bonjour,
Pour un DM je dois réussir à montrer que 15n+8 et 21n+11 sont premiers entre eux grâce au théorème de Bézout, mais quand je le fais je trouve 3 et pas 1
? Comment je dois-je faire ?
Pour un DM je dois réussir à montrer que 15n+8 et 21n+11 sont premiers entre eux grâce au théorème de Bézout, mais quand je le fais je trouve 3 et pas 1
? Comment je dois-je faire ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Attention, le théorème de Bézout n'a rien à voir la dedans et par nature**, il ne peut pas permettre de prouver (plus facilement) que deux entiers sont premiers entre eux (sauf dans des constructions extrêmement élaborées).
Quand un énoncé est de la forme H=>C, si on a une preuve qu'il implique H, alors on peut s'en passer sans rallongement pour prouver H (autrement dit, il est inutile et ne simplifie rien). Et ce pour la bonne raison que si ((nonH) ou C) entraine H, en particulier (nonH) entraine H, donc H.
** pas plus que le théorème de Pythagore ne permet de (mieux) prouver qu'un triangle est rectangle, etc
Le calcul de NdT est valable dans $\Z[X]$, ie dans tout anneau, ie dans tout anneau et pour tout a : 15a+8 et 21a+11 sont premiers entre eux
*** en résumé: toute consigne de la forme "utiliser le théorème de Bézout pour montrer que truc et machin sont premiers entre eux" est idiote et irréfléchie
Je suis curieux de voir ça.
Alors $d$ divise aussi $7 \times (15n+8)$ et $5 \times (21n + 11)$ et donc $d$ divise la différence entre ces deux nombres, c'est à dire $105n+56 - (105n+55)=1$, $d$ divise donc $1$.
Conclusion, $15n+8$ et $21n+11$ sont premiers entre eux pour tout n entier.
C'est le sens facile du théorème dit de Bézout.
Si tu arrives à en déduire A, cela veut dire que tu as prouvé** (A=>B)=>A. Tu n'as alors pas besoin de (A=>B). En logique classique, tu as prouvé que ((nonA) ou =>A. Tu as donc prouvé (non(A))=>A, c'est à dire A ou A, c'est à dire A, sans utiliser A=>B
** sans utiliser A=>B
[small]Evidemment, je ne parle pas d'éventuelles situations (non abordées ici) où on utiliserait $\forall x,y: $ si $x,y$ premiers entre eux alors blabla pour prouver que pour des $a,b$ particuliers, $a,b$ premiers entre eux.[/small]
Jamais le théorème de Bézout (ou plutôt de Bachet-Bézout) n'a été à même de prouver que deux entiers sont premiers entre eux. Ce théorème dit que si $a$ et $b$ sont deux entiers premiers entre eux, alors il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que : $au+bv=1$. Certes la réciproque est vraie mais c'est une trivialité, qui ne mérite pas même d'être mentionnée (sinon incidemment), et encore moins décorée de ces patronymes illustres.
Bonne soirée.
F. Ch.
Par analogie, pour exprimer le critère classique pour l'injectivité d'une application linéaire $f$, est-ce que vous diriez : $f$ injective SSI $\ker f\subset\{0\}$, au prétexte que l'inclusion inverse est moins intéressante ?
Remarque : j'ai tendance à nommer « théorème de Bézout » la version la plus générale de cette relation (d'accord avec mes collègues d'ailleurs), à savoir (pour $a$ et $b$ donnés) : pour tout $c$, il existe $x$, $y$ tels que $ax+by=c$ SSI un (le) PGCD de $a$ et $b$ divise $c$.
*** sauf à se trouver dans des situations sophistiquées qui ne sont pas concernées ici.
Tu utilises le théorème de Bézout (l'implication facile).
Dans l'enseignement secondaire, ce théorème et, depuis quelques années, le théorème de Pythagore aussi, sont des équivalences.
Cela dit, cacher un raisonnement simple dans un théorème fourre-tout conduit à des effets indésirables. Je n'en doute pas.
Demandez à un élève de terminale S:
Si $x,y$ vérifient $5x+3y=2$ que peut-on dire de leur PGCD?
Je suis prêt à parier qu'il va répondre que ce pgcd est $2$.
Et je te re-cite Ben tu as vu.
Et pourtant devant l'affirmation de FdP, j'ai juste essayé de combiner les deux nombres pour éliminer $n$ puisque la propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ et ils se trouve que j'ai obtenu 1, $d | 1$ permettant de conclure.
Ce qui ne me plaît pas trop dans l'équivalence, c'est le problème soulevé par FdP (là il va plutôt dans mon sens) : Le risque est d'être tenté d'utiliser la réciproque dans tous les cas où ua+vb=d, $d>1$
Bon j'imagine que les profs qui enseignent l'arithmétique (pas mon cas) savent le mieux ce qui est préférable.
Tu es le monsieur Jourdain des mathématiques. X:-(
Pour rappel:
Théorème de Bézout, tel qu'il est présenté dans l'enseignement secondaire:
Soient $x,y$ deux entiers
Les propositions:
a) Il existe $a,b$ deux entiers tels que $ax+by=1$
b) $pgcd(x,y)=1$
Sont équivalentes.
PS:
Pédagogiquement le théorème de Bézout tel qu'il est enseigné en terminale S est une catastrophe.
C'est ce qu'on peut trouver à y redire à mon humble avis.
Et je répète ton affirmation : mais qu'appelles-tu utiliser un théorème ? je commence à me poser la question...
Si tu exhibes une égalité du type $au+bv=1$ que tu invoques le théorème de Bézout pour conclure, ou que tu aies commencé par prendre un diviseur commun à $x$ et à $y$, c'est bonnet blanc et blanc bonnet pour moi.
Dans un cas, celui où tu prends un diviseur commun, tu montres que tu comprends ce que tu fais, dans l'autre cas, en invoquant le théorème de Bézout, c'est moins clair, mais pas exclus. B-)
Ni Bezout, ni Pythagore, ni Thalès (*) ne sont des équivalences. Accepter le contraire, pour faciliter la vie de nos chers petits (désir démago de l'EN vassale inconditionnelle des parents électeurs), c'est collaborer à la formation de crétins. La notion de réciproque est une pierre angulaire du raisonnement. Que seraient ennuyeuses les maths si toutes les réciproques étaient vraies!
(*)Je parle de Thalès car il y a déjà dix ans certains démagos pédagos rajoutaient de l'ordre dans les points du théorème direct (dans la série: ça mange pas de pain) et comme ça t'as plus qu'un théorème. Elle est pas belle la vie qu'on propose à nos (petits) enfants?
Paul
Je rejoins dépasse, cette ânerie qui consiste à enseigner, par exemple le "théorème-réciproque" de Pythagore, sous la forme d'une "égalité de Pythagore" en 4e, et qui malheureusement est suivie par de nombreux collègues, ne fait qu'abrutir les élèves.......
Pas étonnant que le niveau baisse si nos élèves ne distinguent plus les conditions et les conséquences...et encore moins étonnant qu'ils utilisent des propriétés parfois dans le mauvais sens...
Al-Kashi
A la fin d'une année de quatrième (quand j'avais à l'enseigner le théorème de Pythagore old fashion ) combien d'élèves étaient capables de distinguer le théorème de Pythagore et de son théorème réciproque à la fin de l'année?
(cela devait être effrayant)
Il y a malheureusement une fâcheuse tendance à vouloir tout tirer vers la bas, et c'est le cas dans d'autres matières, notamment en français.
Heureusement que nous restons libres dans nos salles de cours de transmettre les mathématiques d'une manière la plus rationnelle possible.
Al-Kashi
-- les situations où il y a équivalence ne me paraissent pas le meilleur terrain d'apprentissage possible ;
-- si on souhaite retenir le plus petit nombre d'énoncés possible, il vaut mieux éviter de doublonner les résultats pour rien ;
-- je crois que c'est un objectif de rendre aussi familières/naturelles que possible toutes les façons d'exprimer une notion donnée : par exemple, l'existence de coefficients de Bézout pour caractériser que deux entiers (ou plus) sont premiers entre eux, c'est une bonne chose que ça devienne un réflexe (je ne dis pas : le seul réflexe) ; ne pensez-vous pas qu'il est sain de passer de façon fluide entre toutes les caractérisations d'un parallélogramme (côtés opposés parallèles deux à deux, côtés opposés parallèles et de même longueur (+ convexité), diagonales qui se coupent en leur milieu, égalité de vecteurs) ? cela passe par l'énoncé d'équivalences, même si pendant l'apprentissage il faut commencer par distinguer propriétés et réciproques.
Au fond, le débat ne semble pas être « réciproques ou pas de réciproques » (ce serait ridicule) mais le moment de l'apprentissage où chacun arrête son regard. Je pense que la dénomination des théorèmes doit correspondre à l'état final (et j'affirme qu'elle n'est pas universelle).
Et monsieur Jourdain faisait de la prose à l'insu de son plein gré. :-D