Nouvel an 2016

Pour préciser le début de solution donné par @ezmaths, un peu d'autocitation.

L'ensemble des carrés magiques $3\times 3$ à entrées réelles est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^9$ dont les carrés
$$
S := \begin{pmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1 \end{pmatrix}\qquad
G := \begin{pmatrix} 1&-1&0\\-1&0&1\\0&1&-1 \end{pmatrix}\qquad
D := \begin{pmatrix} 0&-1&1\\1&0&-1\\-1&1&0 \end{pmatrix}
$$
constituent une base. Leur indépendance est en effet évidente et, si $X$ est un carré magique arbitraire, on calcule facilement les coefficients $\sigma$, $\gamma$ et $\delta$ tels que
$$
X - \sigma S - \gamma G - \delta D =
\begin{pmatrix} 0 & * & 0 \\ * & 0 & * \\ * & * & * \end{pmatrix}
$$
Ce dernier carré étant magique est forcément le carré nul, donc $X=\sigma S + \gamma G + \delta D$.
$$
\text{Soit}\qquad
\begin{pmatrix} \sigma+\gamma & \sigma-\gamma-\delta & \sigma+\delta \\ \sigma-\gamma+\delta & \sigma & \sigma+\gamma-\delta \\ \sigma-\delta & \sigma+\gamma+\delta & \sigma-\gamma \end{pmatrix}
\qquad \text{l'un des carrés cherchés.}
$$

Chez moi, ça commence par
$$
672^2+671^2-\;...
$$

Moi, j'ai un multiple impair de 4 et plusieurs 0