nombres premiers [N ; 2N]
dans Arithmétique
Bonjour
Est ce qu'une formule permettant de donner une estimation du nombre de premiers entre N et 2N, aurait un intérêt, au lieu d'être limité par le postulat de Bertrand; qui affirme qu'il existe au moins un nombre premier entre N et 2N...?
Est ce qu'une formule permettant de donner une estimation du nombre de premiers entre N et 2N, aurait un intérêt, au lieu d'être limité par le postulat de Bertrand; qui affirme qu'il existe au moins un nombre premier entre N et 2N...?
Réponses
-
Le nombre $\dfrac{N\log\left(\dfrac{N}{2}\right)}{\log(2N)\log(N)}$ n'est-il pas une telle estimation? B-)-
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Plus simplement : $\dfrac{N}{\ln N}$.
-
Jer:
Il y a donc autant de nombres premiers entre 1 et N qu'entre N et 2N?
PS:
J'ai testé les deux formules sur $N=10^{10}$ on ne peut pas dire que celle que j'ai donnée soit meilleure que $\dfrac{N}{\log(N)}$ -
Ben non, deux fois moins.
\[\frac{2N}{\ln(2N)}-\frac{N}{\ln N}=\frac{2N\ln N-N\ln(2N)}{\ln N\ln (2N)}
=\frac{N\ln N-N\ln 2}{\ln^2N\bigl(1+\frac{\ln2}{\ln N}\bigr)}\sim\frac{N}{\ln N}.\]
(La validité du calcul est justifiée car les erreurs commises sur $[0,N]$ et $[N,2N]$ sont négligeables par rapport au résultat.) -
$\dfrac{N}{\log(N)}$ est aussi asymptotiquement le nombre de nombres premiers inférieurs à $N$ sauf erreur.
-
Oui, c'est ce que j'ai utilisé ($2N/\ln(2N)$ premiers $\le 2N$ parmi lesquels $N/\ln N$ sont $\le N$).
-
Pour l'intervalle $\left ] N ,2N \right]$, on peut aussi prendre comme approximation
$$\int_{\sqrt N}^{\sqrt {2N}} \frac{x \, \textrm{d}x}{\log x}$$
qui est meilleure que $N / \log N$. -
Merci Noix de totos.
N'y a-t-il pas de meilleure approximation connue?
PS:
J'ai utilisé la formule donnée par Noix de totos avec $N=10^{10}$, l'amélioration du résultat par rapport à l'emploi des deux autres formules données est notable et assez impressionnante. -
FdP a écrit:N'y a-t-il pas de meilleure approximation connue?
Le mieux est $\textrm{li}(2N) - \textrm{li}(N)$. On montre que cette différence est égale à l'intégrale ci-dessus. -
Bonsoir
@Fin de partie:
afin qu'il n'y ai pas d'erreur d'interprétation dans ma question, c'est bien cette fonction qui donnerait le nombre de nombres premiers entre $N$ et $2N$. Actuellement on sait qu'il existe au moins un nombre premier dans cet intervalle...!
Mais il me paraît curieux , que l'on est pas trouvé une telle fonction qui serait prouvée, et qui donne cette estimation, comme on peut le faire, avec la fonction du TNP pour une limite $n$ fixée. où : $\dfrac {N}{log(N)}$ < $\pi{(N)}$
j'ai testé cette fonction que j'ai découverte , avec la construction du crible de G. (" réplique et variante du crible Eratosthène") après plusieurs tests, cette fonction pour estimer le nombre de premiers entre $N$ et $2N$ à une marge d'erreur inférieur, à la fonction du TNP...curieusement... :
il s'agit bien de $\dfrac {N} {log(2N)}$ .
("testé jusqu'à plusieurs milliards...") Vous me direz à juste raison, que des tests ne sont pas une preuve...
Mais aussi, je pense que la preuve que j'ai, est valable... pour cela je me suis servi d'un raisonnement impliquant le crible d'Eratosthène, le crible de Goldbach, et la fonction du TNP...
Supposons vraie cette fonction, y a t'il un intérêt autre, que d'oublier l'affirmation "sans utilité" ; qu'il existe au moins un nombre premier entre $N$ et $2N$.... -
LEG:
Que signifie "tester pour toi"?
Parce que j'imagine que bien évidemment le nombre de nombres premiers compris entre $N$ et $2N$ n'est pas exactement le nombre $\dfrac{N}{\log(2N)}$ (qui n'est pas un entier pour $N>1$)
Appliquée à $N=10^{10}$ cette estimation est meilleure que celle donnée par Jer et par moi-même mais nettement moins bonne que celle donnée par Noix de totos. Il faudrait voir ce que cela donne pour d'autres valeurs de $N$ très grandes.
On a:
$T(N)=\dfrac{2N}{\log(2N)}-\dfrac{N}{\log(N)}=\dfrac{N\log\left(\dfrac{N}{2}\right)}{\log(2N)\log(N)}=\dfrac{N}{\log(2N)}\times \dfrac{\log\left(\dfrac{N}{2}\right)}{\log(N)}=\dfrac{N}{\log(2N)}\times \left(\dfrac{\log(N)\left(1-\tfrac{\log 2}{\log N}\right)}{\log(N)}\right)$
Ainsi:
$T(N)=\dfrac{N}{\log(2N)}\times \left(1-\dfrac{\log 2}{\log N}\right)$
Les valeurs asymptotiques données par Jer, Leg et moi-même sont toutes les trois équivalentes.
Il semblerait que celle de LEG soit la plus précise mais néanmoins reste nettement moins bonne que celle donnée par Noix de totos -
@Fin de partie
tester veut dire que je calcul exactement le nombre de premiers entre $N$ et $2N$, avec mon algorithme
puis je vérifie avec la fonction ma fonction...
par contre je ne sais pas utiliser la fonction de Noix de totos; mais puisque tu as fait une comparaison avec sa fonction et qu'il semblerait qu'elle soit plus précise que la mienne aucun soucie , si ma fonction est vraie, cela ne serra que mieux pour la sienne...
je te donne les résultats de mes tests entre 15 000 000 000 et 30 000 000 000
et le résultat de la fonction qui serra effectivement < au nombre réel de premiers entre ces deux limites; ce qui restera conforme justement au TNP, sinon cela n'aurait aucune valeur....!
a tout de suite 30' -
re
voici les données:
Total du nombre de premiers $< 15 000 000 000$ ;
$670180513$
Total du nombre de premiers $< 30 000 000 000$;
$1300005924$
Nombre de premiers entre ces deux limites :
$1300005924\ – \ 670180513 = 629825411$
$\dfrac{15 000 000 000} {log (30 000 000 000)} = 621775492, 53....$
donc, l’estimation de la fonction $\dfrac{N}{log (2N)}$ < $\pi {(2N-N)}$ ce qui reste conforme à la fonction du TNP..
Si tu veux un extrait du crible pour ces 8 familles de nombres premiers, extrait par série. Je pourrai le joindre, ce qui donne un aperçu sur la répartition des nombres premiers en progression arithmétique avec une densité oscillatoire par série en fonction de la limite du crible.
Ce qui était confirmé par le théorème de densité de Chébotarev ..
pourriez vous @ Noix de Totos ou Fin de partie, m'indiquer le résultat de la fonction de Noix de Totos pour cet intervalle...merci.
leg -
L'intégrale ci-dessus avec $N = 15 \times 10^9$ fournit un nombre approximatif de $629829595$ nombres premiers entre $N+1$ et $2N$.
Remarque. Attention ! Il s'agit de compter ici $\pi(2N) - \pi(N)$, et non $\pi(2N-N)$ comme il est indiqué dans le message ci-dessus. -
LEG, je n'ai toujours pas compris ce que tu voulais dire par "tester".
Pour information,
Pour $N=10^{10}$
Estimation de LEG: $421602967,94$
Estimation de Jer $434294481,90$
Estimation de Noix de totos: $427159264,61$
Mon estimation: $408911453,98$
Valeur exacte: $427154205$
(Calculs faits avec PARI GP)
PS:
Je ne comprends pas cette phrase: -
Par ailleurs,
$\pi(15\times 10^9)=670180516$
et:
$\pi(30\times 10^9)=1300005926$
La différence est de $629825410$
Estimation de Noix de totos: $629829595,14$
Estimation de LEG $621775492,54$
Estimation de JER: $640168907,95$
Mon estimation: $603382077,12$ -
la remarque de noix de totos : c'est exact..
quand je parle de "tester" c'est de calculer plusieurs valeur du nombre de nombres premiers entre $N$ et $2N$ et de comparer le nombre réel avec cette fonction...Mais uniquement pour le nombre de premiers compris entre $N$ et $2N$, pour différentes valeurs de $N$...
Ensuite le nombre de premiers calculé, ne tient pas compte des nombres premiers ${2}; {3}; {5}$ puisque je travaille dans les 8 familles d'entiers, en progression arithmétique de raison $30$ et de premiers terme 1 ou P appartenant à $[7 ; 29]$ donc les premiers $> 5$.
la phrase que tu ne comprends pas , c'est en référence à la fonction duTNP, cette phrase est peut être inappropriée...
le TNP, à permis de mettre en évidence cette fonction $\dfrac{N}{log(N)}$ afin d'estimer le nombre de premiers < à une limite $N$, par rapport au nombre réel de premiers pour la limite concernée.
Donc il n'est pas question, que la fonction que j'utilise pour calculer l'estimation de premiers entre $N$ et $2N$ soit supérieur au nombre réel de premiers entre ces deux limites...car si cette fonction est vraie elle doit déjà être inférieur au nombre réel c'est à dire < $\pi{(2n)}$ $-$ $\pi{(N)}$.
car cette fonction, vient de la construction du crible , qui permet de cribler les entiers $\equiv{30k}{[P_i]}$ selon le même principe que le crible d'Eratosthène, qui est justement caractérisé par la fonction du TNP...
donc dire qu'il y a au moins un nombre premiers entre $N$ et $2N$ et ce, quelque soit $N$ devient stupide
cela revient à dire que le crible G, qui utilise le principe du crible d'Eratosthène marque tous les entiers sauf 1 pour une limite $N$ fixée, ce qui est absurde ...
car cela voudrait dire qu'il en est de même du crible d'Eratosthène pour cette limite $N$, d'où la fonction du TNP n'a plus aucun sens, autrement dit elle est fausse, quelque soit $N = 30k$, $k$ entier naturel $> 0$.
les deux cribles fonctionnent suivant le même principe, et son caractérisés par cette fonction du TNP, pour estimer le nombre de premiers de $\pi{(N)}$ ou $\pi{(2N)}$ $-$ $\pi{(N)}$.
Il y a une raison, de modifier le fonction : $\dfrac{N}{log(N)}$ en fonction $\dfrac{N}{log(2N)}$ pour le crible G.....
La question que je voudrais te poser, comment ferais tu pour cribler les nombres premiers $q$ tel que $q = 30k - n$..?
où $n$ est un entiers naturel positif $\equiv{1 , ou , P} [30]$ et $< \dfrac {30k}{2}$
Et ensuite, comment calculer une estimation de ce nombre de premiers $q$ entre $N$ et $2N$ quelque soit une limite $N$ ....?
Pour calculer le nombre réel de premiers $q$, le crible le fait de façon simple, pour une limite $N$ fixée....principe Eratosthène...! -
$\dfrac{N}{\log(N)}$ est une estimation asymptotique de $\pi(N)$ , le nombre de nombres premiers inférieurs à $N$ ( c'est à dire que $\lim_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{\pi(N)\log(N)}{N}=1$).
A priori, on ne sait rien de la différence entre cette valeur estimée et la valeur réelle de $\pi(N)$. Elle peut être importante comme les exemples précédents le suggèrent ce qui rend difficile tout test. Si la valeur estimée diffère de plus de 10 000 de la valeur réelle est-ce que le test est concluant? -
FdP a écrit:on ne sait rien de la différence entre cette valeur estimée et la valeur réelle de $\pi(N)$.
Si, quand même un peu !
Dès 1896, Hadamard et de la Vallée Poussin ont offert à la communauté scientifique de l'époque une majoration du terme d'erreur du TNP sous la forme
$$\sum_{n \leqslant x} \Lambda(n) = x + O \left ( R(x) \right)$$
avec $R(x) = x \exp \left( - c \sqrt{\log x} \right)$ et ont même calculé des valeurs de $c > 0$ très acceptables.
Aujourd'hui, on fait à peine mieux avec avec $R(x) = x \exp \left ( -c_1 (\log x)^{3/5} (\log \log x)^{-1/5} \right)$, et ce grâce à un élargissement de la région sans zéro de la fonction $\zeta$ de Riemann, élargissement dû à Korobov et Vinogradov (1958).
On espère avoir un jour $R(x) = \sqrt{x} (\log x)^2$, ça s'appelle l'hypothèse de Riemann...Mais on en est encore loin ! -
Bonjour à tous.
@Fin de partie, la réponse qu’a formulée Noix de Totos, et suffisamment claire pour enlever tous les doutes sur la réalité de la fonction du TNP.
Quand à la marge d’erreur par rapport à $\pi{(N)}$, il y a longtemps que les mathématiciens
ont améliorée cette fonction. Noix de Totos donne une intégrale qui justement améliore la marge d’erreur ...etc.
Donc, quelque soit l’écart par rapport à $\pi{(N)}$, les tests sont concluants, puisque cette fonction est vraie... !
Et l’on sait que $\dfrac{N}{log(N)}$ $<$ $\pi{(N)}$.
Partant de la, il est impératif que l’on puisse trouver une autre fonction qui à les même propriétés, pour calculer le nombre de premiers par estimation, qu’il y a entre :
$\pi{(2N)}$ $-$ $\pi{(N)}$, même avec un terme d’erreur, au lieu du postulat de Bertrand.
Car il serra simple de réduire ce terme d’erreur, et d’affiner cette fonction : $\dfrac{N}{log(2N)}$, des l’instant où celle-ci est aussi vraie, par rapport au nombre réel de premiers entre $N$ et $2N$.
Dire qu’il existe toujours un nombre premier dans cet intervalle, n’est pas du tout concluant...
Puisque l’on sait que, quelque soit $N\geqslant 15$ le nombre de premiers tel que : $\pi{(2N)}$ $-$ $\pi{(N)}$, est $ > 1$ . Il vaut environ $\dfrac{N}{log(2N)}$.
D’ailleurs, on voit bien que ce terme d’erreur, peut être affiné avec l’intégrale qu’a mentionnée Noix de Totos, et que l’estimation de cette fonction, serra toujours inférieur à la quantité de nombre premiers de cet intervalle !
Cette fonction que j’ai indiquée et modifiée par rapport à la fonction du TNP, vient du fonctionnement du crible d’Eratosthène.
Qui lui aussi est modifié ; afin mais de permettre et de la même manière, le crible des premiers $(q)$, qu’il y a entre $N$ et $2N$ : d’où cette fonction, afin d’en estimer le nombre.
Je suppose, qu’en partant de cette fonction, (« si besoin est ») on pourra calculer le terme d’erreur par rapport à $\pi{(2N)}$ $-$ $\pi{(N)}$. -
LEG a écrit:Cette fonction que j’ai indiquée et modifiée par rapport à la fonction du TNP, vient du fonctionnement du crible Ératosthène.
Il n'y a pas besoin de recourir au crible d’Ératosthène comme le calcul que j'ai indiqué plus haut le montre.
Le cœur du raisonnement est le TNP seulement qui ne s'établit pas non plus à partir du crible d’Ératosthène.
Pour $N=15\times 10^{10}$ l'estimation que tu proposes du nombre de nombres premiers entre $N$ et $2N$ est de
$621775492$ arrondi à l'unité inférieure, tandis que la véritable valeur est $629825410$ et la différence est de
$8049918$.
C'est comme si tu prétendais que $0$ est une valeur approchée de $8049918$. B-)-
[FdP Quand tu utilises le bouton "Citation", la première fenêtre te demande le nom de l'auteur suivi de "Entrée", et seulement après, tu insères ta citation dans le message entre les bannières. AD] -
j'ai modifié la fonction du TNP car elle est le résultat approché de $\pi(2N) - \pi(N)$.
Bien sur que le coeur du problème est le TNP.
tu n'utilises pas le crible d'Eratosthène ok;
moi cela m'a permis de comprendre pourquoi il me fallait modifier cette fonction ...d'estimation, du nombre de premiers dans l'intervalle cité.
si tu penses que je crois que $0$ est une valeur approché du résultat d'estimation de l'intervalle concerné cela n'a aucun sens.
Car je peux dans ce cas te retourner, que la fonction du TNP n'est pas une valeur approché de $\pi(N)$ et que d'utiliser cette fonction c'est comme si on prétendait que $0$, est une valeur approché de cet écart...Tu plaisantes ...
Car quand même, il y a belle lurette que les Mathématiciens se sont cassé la tête pour affiner cette fonction est réduire le terme d'erreur ....donc d'après ton raisonnement cela ne servait à rient ...!
le crible d'Eratosthène est toujours utilisé...il permet de cribler les nombre premiers pour une limite $N$, son crible ne peut pas être mis en doute, ni la fonction d'estimation du nombre de premiers criblés...
Ce crible permet aussi de cribler des entiers pour une limite $N$ fixée donc la même... Mais dont le résultat, est le nombre de premiers entre $N$ et $2N$ d'où cette fonction...!
mais il faut bien justifier cette fonction, et que probablement que cela est connu...
Peut être que tu vas me dire que c'est trivialement connu, et que cette fonction aussi....
Qu'il est inutile d'en passer par la ...et que cette fonction est améliorée, qu'elle est vraie ... donc n'a aucun intérêt.
Mais alors comment se fait t'il que l'on ne sait toujours pas affirmer que le nombre de premier entre $N$ et $2N$ vaut au minimum $\dfrac{N} {log(2N)}$ et non au minimum 1.....?
bien sur que l'écart entre 1 est $\pi(2N) - \pi(N)$, est plus précis et plus intéressant , car on peut facilement affiner le terme d'erreur...pourquoi pas.... avec une intégrale...etc, car on ne connais rien entre la valeur estimée et la valeur réel de $\pi(n)$...
utilise le crible d'Eratosthène, jusqu'à $N = 1500$, et montre moi comment tu fais pour m'indiquer le nombre de premier $q$ à lunité près , qu'il y a entre $1500$ et $3000$. sans en estimer le nombre, et sans calculer le nombre de premiers jusqu'à $3000$.
Le crible est une preuve, il a été utilisé pendant des siècles pour justifier certaine estimation ...!
si effectivement cela ne t'intéresse pas , il n'y a aucun soucis...
cordialement
leg -
LEG a écrit:Car je peux dans ce cas te retourner, que la fonction du TNP n'est pas une valeur approché de ?(N)
Pourtant cela en est bien une. Mais c'est une estimation asymptotique.
Sauf erreur, on sait, d'après le TNP, que pour $\epsilon>0$ il existe $N_0>1$ entier tel que pour tout $N\geq N_0$ entier on a:
$\pi(N)\in \left[\dfrac{N(1-\epsilon)}{\log(N)}; \dfrac{N(1+\epsilon)}{\log(N)}\right]$
La longueur de l'intervalle est tout de même $\dfrac{2\epsilon N}{\log(N)}$
Cela explique qu'en pratique la valeur approchée suggérée par le TNP n'est pas excellente.
Par ailleurs, LEG, je ne vois pas où tu as vu que $\dfrac{N} {log(2N)}$ est un minorant pour $\pi(2N)-\pi(N)$ parce qu'il me semble que c'est ce que tu prétends.
Ce n'est pas parce que sur deux ou trois exemples il semble que cela soit le cas, que c'est vrai en toute généralité.
PS:
Merci AD, j'essaierai de m'en souvenir. -
Bonjour
@Fin de partie
je suis d'accord que que la valeur approchée...par le TNP, n'est suffisante..; mais elle a permis d'être améliorée au fil des années par bon nombres de mathématiciens.
Quand à ta remarque, je ne prétend pas , mais j'affirme que la valeur approchée ou que $\dfrac{N}{log(2N)}$ est un minorant de $\pi(2N)$ $-$ $\pi(N)$, comme l'est la fonction du TNP pour $\pi(N)$.
("Ce n'est pas pour deux ou trois exemples que ça marche....! "Car tu pourrais essayer jusqu'à la saint glin glin, ça marchera toujours") B-)-
c'est pour cela que je t'ai parlé des cribles Eratosthène et G... et je pensais que tu aurais deviné..passons.
lorsque l'on crible les entiers naturel positifs, jusqu'à $N$ avec le crible E, la fonction du TNP, donne une estimation de $\pi(N)$..., si je poursuis jusqu'à $2N$ j'ai donc avec cette fonction, une autre estimation...qui ne peut pas être identique ("tu en as d'ailleurs fait la remarque à jer....")
On pourrait simplement, faire une différence entre ces deux estimations...afin d'obtenir une estimation de $\pi(2N)$ $-$ $\pi(N)$, ce qui serait justifiable et logique...
Mais si on modifie le crible E, en crible G on va cribler pour la même limite $N$, ces même entiers et selon le même principe, à la seule différence, c'est que le départ du crible (E,G), est modifié pour les besoins de la cause...
La fonction du TNP pour cette limite va s'en trouvé modifiée, car sinon on aurait le même nombre de premiers $(q)$
pour l'intervalle concerné.
D'où, effectivement on aura $\pi(2N)$ $-$ $\pi(N)$ supérieur à l'estimation... mais qui ne peut être au minimum 1 en partant de $N =15$.
Ce crible (G) , qu'est ce qu'il crible pour la même limite....Tout simplement les entiers $n$, tel que $2N$$-$ $n$ = $q$ et ce nombre d'entiers $n$ criblés et inférieur au nombres premiers criblé par (E) pour la même limite $N$.
donc on aura moins de premiers $(q)$, ce qui est évident.
La raison est très simple...! Elle vient du fait, que le crible (E), crible avec les nombres premiers $P_i < \sqrt{N}$
Or , le crible (G) lui, il crible avec les nombres premiers $P_i < \sqrt{2N}$ d'où une quantité de premiers $P_i$ supérieur, et donc moins d'entiers $n$ que de nombres premier $P$ criblés par ces deux cribles pour la même limite $N$.
Ce qui fait qu'on obtient soit : les premiers $P$ jusqu'à $N$, soit les premiers $q$ entre $N$ et $2N$....!
la justification de ma fonction vient simplement de cette différence tout à fait justifiée .
Car en faisant les calculs sur ces différences entre les fonctions, par rapport à $N$ et $2N$, afin de justifier une estimation de premiers $(q)$ dans l'intervalle concernée, et du fait que le nombre de premiers $P_i$ qui criblent, est supérieur. Je ne pouvais pas prendre :
$\dfrac{2N}{log(2N)}$ $-$ $\dfrac{N}{log(N)}$ ; car insuffisant, mais qui serait justifiable...Cette fonction du TNP, étant justifiée pour $N$ ou pour $2N$.
je faisais le calcul suivant en gardant la fonction du TNP. ("je suis pas très doué en Latex"):
$1) :$ $\dfrac{2N}{log(2N)}$ $-$ $\dfrac{N}{log(N)}$$= d$
$2) :$ $($$\dfrac{N}{log(N)}$ $-$ $d$$)$ $/$ $2$ $= Z$
$3) :$ $d$$+$$Z$$=$ $E$ ;
l'estimation que je voulais ... qui est équivalent à:
$4) :$ $($$\dfrac{N}{log(N)}$ $+$$d$$)$ $/$$2$ $=$$E$
$5) :$ qui est égal à $\dfrac{N}{log(2N)}$. -
Je ne vois pas de preuve convaincante de ce fait dans ce que tu as écris.
Par ailleurs, le TNP n'affirme pas que $\dfrac{N}{\log(N)}$ est un minorant de $\pi(N)$.
PS:
Sauf erreur,
$T(N)=N+\dfrac{(-1)^N}{N}$ est bien équivalent à $N$ (lorsque $N$ tend vers l'infini) mais pour tout $N>1$ entier on n'a pas $T(N)\geq N$ -
Si tu veux, j'utilise peut être à tort cette référence au TNP. Mais tout le monde connais bien cette fonction d'estimation,
comme te l'a fait remarquer Noix de Totos.
Que tu n'en sois pas convaincu...rassure toi, d'autres n'auront aucun mal pour l'affiner et si besoin en faire une démonstration.
L'idée était de la trouver, et d'expliquer comment je l'ai trouvée...le crible $(G)$ et suffisamment convaincant, pour s'en convaincre,et que cette fonction $\dfrac{N}{log(2N)}$ est bien un minorant de $\pi(2N)$ $-$ $\pi(N)$.
A moins de rejeter l'idée que le nombre de premiers extrait par le crible $(E)$ ou $(G)$ pour une limite $N$ fixée, ne peut pas être estimé avec la fonction $\dfrac{N}{log(N)}$...
Ou encore, est ce que le crible $(G)$, donne bien le nombre de premiers ("à une unité près, du fait que 1, n'est pas un nombre premier") $q$ entre $N$ et $2N$ -
@Fin de partie.
j'ai posé la question, à un ami, sur ce que tu sembles rejeter à propos du TNP.
Sa réponse:
Le théorème des nombres premiers affirme que, lorsque $n$ devient très grand, $\pi(n)$ vaut à peu près $n/lnn$. Ou encore que la proportion de nombre premiers parmi les $n$ premiers nombres entiers,$\dfrac{$\pi(n)$}{n}$, se comporte comme $1/lnn$. Ou encore que c'est une équivalence entre $\pi(n)$ et $\dfrac{n}{log(n)}$....
que je fasse référence au TNP, ou pas, n'a aucune importance ce n'est pas cela, qui risquerait de discréditer la fonction
$\dfrac{n}{log(2n)}$ -
LEG:
Le TNP signifie, en effet, que:
$\lim_{N\rightarrow +\infty} \dfrac{\pi(N)\log(N)}{N}=1$
Mais on ne peut pas en déduire directement que $\pi(N)\geq \dfrac{N}{\log(N)}$ comme expliqué précédemment.
PS:
Il existe bien une inégalité, $\pi(N)\geq C\times \dfrac{N}{\log(N)}$ donnée par Tchebychev, pour $N$ assez grand et $C$ une constante positive qui ne dépend pas de $N$ mais, sauf erreur, $C<1$. ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Pafnouti_Tchebychev#Conjecture_de_Gauss-Legendre ) -
Mais on sait que $\pi(n)>\dfrac{n}{\log n}$ dès que $n\geq 11$.
-
Ce qui pourrait « discréditer » la fonction $\dfrac{n}{\ln 2n}$, c'est qu'elle est indiscernable de $\dfrac{n}{\ln n}$ lorsque l'on parle d'équivalent. En effet, $\left.\dfrac{n}{\ln n}\middle/\dfrac{n}{\ln 2n}\right.$ tend vers $1$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Et comme l'a dit Fin de partie à l'envi, le TNP ne dit rien du signe de $\pi(n)-\dfrac{n}{\ln n}$.
-
Sylvain:
Possible, je veux bien voir une preuve cela dit, mais ce n'est pas une conséquence directe du TNP.
En cherchant dans un moteur de recherche je suis tombé sur:
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/ep2CAPESexterne2008.pdf
Mais le minorant donné est comme indiqué précédemment avec $C=\log(2)<1$ ce qui n'implique pas que $\pi(N)\geq \dfrac{N}{\log(N)}$ -
Je n'ai absolument aucune idée de comment prouver cela. Noix de totos pourra peut-être nous éclairer.
-
Ni moi. Au moins, tu ne crois pas que c'est une conséquence directe du TNP. ;-) -
Sylvain a écrit:Noix de totos pourra peut-être nous éclairer
Je veux bien, mais sur quoi ? -
Sur le fait que pour $N$ assez grand, $\dfrac{N}{\log(N)}$ serait un minorant de $\pi(N)$
-
OK.
Il n'est pas exagéré de dire qu'estimer explicitement les fonctions arithmétiques usuelles n'est, en général, pas une mince affaire si l'on veut obtenir des estimations du bon ordre de grandeur.
Élementairement, i.e. à la Tchebitchev, on peut obtenir des constantes convenables $0 < c_1 < 1 < c_2$ et $x_0 \geqslant 2$ telles que, pour tout $x \geqslant x_0$, on ait $c_1 \dfrac{x}{\log x} \leqslant \pi(x) \leqslant c_2 \dfrac{x}{\log x}$.
Mais pour avoir $c_1 = 1$, il faut des méthodes plus poussées. Rosser & Schoenfeld ont montré la voie, dès les années 1940, avec une apogée en 1962, suivis ensuite par divers spécialistes.
Grosso modo, on part d'un lemme technique, capable de mesurer explicitement la différence
$$\left | \sum_{n \leqslant x} \Lambda(n) - \left ( x - \log 2 \pi - \log \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} \right) \right |.$$
Ce lemme dépend hautement de la connaissance du nombre de zéros non triviaux de la fonction $\zeta$ de Riemann sur la droite critique. L'ordinateur, et les progrès qui vont avec, joue alors un rôle primordial pour accroître ce nombre et ainsi améliorer l'erreur ci-dessus.
Dès les années 1940, les tables et calculateurs existants ont permis à Rosser d'établir la minoration $p_n > n \log n$, puis, dès 1962, Rosser & Schoenfeld ont pu montrer la minoration $\pi(x) \geqslant \dfrac{x}{\log x}$ pour tout $x \geqslant 17$. À ma connaissance, les méthodes dites "élémentaires" ne permettent pas d'atteindre une minoration aussi précise.
Est-ce la réponse attendue ?
PS. Pour les non-initiés, il suffit de savoir que la somme $\displaystyle \sum_{n \leqslant x} \Lambda(n)$ est d'un ordre de grandeur $O(\log x)$ fois plus grande que $\pi(x)$. -
Mais quand même, ce n'est pas parce que le nombre de premiers tend vers $0$ , lorsque $N$ tends vers l'infini, que le nombre de premiers vaut $0$ lorsque $N$ tends vers l'infini.
donc la fonction $\dfrac{N} {log(N)} $ donnera toujours une estimation < $\pi{(N)}$ certes ; mais cette estimation ne peut valoir 0, ou 1....!
Car supposons que la fonction $\dfrac{N}{log(2N)}$ ne vaille que 1 ("puisqu'il y a au minimum toujours 1 nombre premier entre $N$ et $2N$') lorsque $N$ tends vers l'infini...
vous supposez donc, que lorsque le crible $(E)$ ou $(G)$, marque tous les entiers sauf $1$ pour une limite $N$ aussi grand que l'on veut, il ne reste plus qu'un nombre premier $P$, ou un entier non congru à $2N (mod Pi)$ pour la limite fixée, donc un nombre premier $q$ entre $N$ et $2N$.....:-S
alors la ..... il me semble que vous y allez un peut fort....! -
Noix de totos, merci pour ta participation.
la réponse que j'aimerai ci possible, d'après ton intervention, est ce que l'on peut donc admettre, que la fonction $\dfrac {N}{log(2N)}$ se comporte comme la fonction $\dfrac {N}{log(N)}$, d'après mes explications et les deux cribles...
le deuxième crible $(G)$ je n'en ai pas parlé, ou du moins très peu sur son fonctionnement, mais certains doivent avoir compris son principe... -
@jer anonyme, ta remarque est peut être juste, car pour discerner ces deux fonctions il faut :" il me semble" comprendre et discerner les deux cribles (E) et (G), à l'origine de ces deux fonctions, pour les discerner .
afin de comprendre $\pi(N)$ et [ $\pi(2N)$ $-$ $\pi(N)$ ] c'est à dire le nombre d'entiers criblés par ces deux cribles.
pour une limite $N$.
car chacun des deux cribles à sa fonction, pour estimer le nombre de premiers $(P)$ ou le nombre de premiers $(q)$
pour une limite $N$
Ce qui me semble important c'est le fonctionnement du crible $(E;G)$, il faut qu'il fonctionne selon le même principe...
sinon effectivement , cela pourrait compromettre l'estimation de cette deuxième fonction. -
Je voudrai apporter une précision, car en relisant les différents posts, et les estimations données pour les différentes valeurs de $(N)$ "il se peut que je vous induise en erreur" .
il me semble que lorsque Fin de partie, Jer anonyme, et noix de totos avez estimé le nombre de premiers entre $N$ et $2N$ même si l'estimation de Noix de totos est nettement plus précise, vous devez calculer ces estimations en "connaissant" $\pi(N)$ et $\pi(2N)$
(PARI GP), ne donne pas ce nombre d'entiers criblés par le crible $(G)$ "puisqu' il est probablement inconnu", peut être que cela n'a aucune importance...mais il y a un doute...
le crible $(G)$, lui il donne le nombre d'entiers < $N$, qui permet d'obtenir le nombre de premiers $(q)$ qu'il y a dans l'intervalle concerné.
Donc probablement que l'estimation de Noix de totos , pourrait être affinée et plus précise, tout en étant < à $\pi(2N)$ $-$ $\pi(N)$. En connaissance de ce principe.... -
Merci pour ces explications, Noix de totos. Je pressentais que cette question n'avait pas une réponse simple :-DLEG a écrit:(PARI GP), ne donne pas ce nombre d'entiers criblés par le crible (G) "puisqu' il est probablement inconnu", peut être que cela n'a aucune importance...mais il y a un doute..
PARI GP calcule exactement $\pi(N)$ pour des valeurs très grandes. Quelle méthode est utilisée, je l'ignore.
Mais je crois savoir qu'il y a des méthodes bien plus performantes que l'utilisation du crible d'Eratosthène pour mener à bien ce calcul.
Par ailleurs, j'aimerai bien que tu m'expliques comment tu aboutis à la quantité $\dfrac{N}{\log(N)}$ avec le crible que tu utilises.
Quand Jer affirme que $\dfrac {N}{log(2N)}$ et $\dfrac {N}{log(N)}$ sont indiscernables dans le contexte qui nous intéresse, ce qu'il veut dire est que:
$\lim_{N\rightarrow +\infty} \dfrac{ \tfrac {N}{log(2N)}}{\tfrac {N}{log(N)}}=1$
(et le fait que cette limite soit $1$ n'a rien à voir avec des histoires de crible, cela repose seulement sur les propriétés de la fonction logarithme) -
pour Pari GP, je ne parle pas de $\pi(N)$, bien sur qu'il calcul et pour des valeurs très grandes
je pense que tu m'a mal compris.
De même qu'avec le crible $(G)$, je peux extraire le nombre de premiers pour une limite $N < 450 000 000 000$. et dont l'estimation de la fonction du TNP et la même que pour le crible Eratosthène...
pour estimer $\pi(N)$ avec les deux cribles pour cette limite N.
la différence avec le crible (G) je peux aussi extraire pour une Limite $N$, les entiers $(........)$ qui me donne le nombre de premiers $q$ qui est égal à $\pi(2N)$ $-$ $\pi(N)$. ! à l'unité près.
Par exemple pour $2N = 300$; $299$ si il était un nombre premier $q$; il ne peut être donné par le crible pour la limite $N =150$ puisque 1, n'est pas un nombre premier, donc en aucun cas je pourrai pour cette limite, obtenir $299$, est le comptabiliser...
c'est bien pour cela que j'utilise la fonction $\dfrac{N} {log(2N)}$ calculer l'estimation de $\pi(2N)$ $-$ $\pi(N)$
le nombre de premiers $(.....)$ inférieur à $N$ qui sont criblés, je doute fort que Pari GP te le donne, sauf si tu rentre certaine données... mais actuellement je ne sais pas si Pari gp peux le faire....probablement qu'en lui demandant de calculer ces $(congruences)$ ....oui...
tu peux calculer avec (pari gp) jusqu'à $150$ sur la base du crible d'Eratosthène donc les deux premiers $P_i$ concerné qui sont $7$, et $11$ ; ok.
Car avec $13$ et $17$, tu n'auras que des doublons. $13$ et $17$ vont marquer uniquement à partir de leur carré, donc $> 150$; entiers qui ne peuvent être utilisés pour déterminer les premiers$(q)$
Ce que le crible $(G)$ à marqué d'où, il comptera : $25$ entiers $(q)$ premiers, dans l'intervalle qui nous intéresse
sur $27$ .
autrement dit , il faut une fonction qui compte comme le crible $(G)$, pour une limite $N$
au lieu de compter juqu'à $2N$...etc etc..mais pas avec le crible $(E)$
pour te donner une idée je joint ce petit fichier.. les zone grisées sont les multiples de 3 et 5, qui ne concerne pas ces cribles car inutiles...
il y avait une erreur dans le fichier, les doublons qui était marqués, et on aura une différence , du fait que (E) ne marquera jamais des nombres premiers.. Si on travaillait avec le crible (E), sur des valeurs de $N$, on aura obligatoirement plus de premiers $(q)$...
la fonction donne comme estimation 26,30 arrondi...premiers $(q)$
.
Ce qui est curieux, c'est qu'elle est plus précise pour calculer l'estimation entre $N$ et $2N$ que la fonction du TNP, pour estimer le nombre de premiers $P_p$ pour $\pi(150)$ ou pour $\pi(300)$ -
Bonjour
"un peu d'explications":
Lorsque j'ai construit le crible $(G)$ en modifiant le départ du crible d'Eratosthène $(E)$.
Car ensuite le principe est exactement le même; j'ai donc extrait les entiers naturels positifs $\not\equiv{2N}{[P_i]}$ pour une limite $N$ et où : $P_i < \sqrt {2N}$, suivant le principe Eratosthène.
Le crible $(G)$ comme $(E)$, ("ne tient pas compte de 2,3 et 5 ainsi que de leurs multiples").
la première idée qui m'est venue est bien entendu, faire le rapport entre ces entiers $(g)$ et les autres $(N)$ qui sont $\equiv{2N}{[P_i]}$ et par conséquent marqué par$(G)$.
ce rapport est plus précis que le nombre de premiers $P(N)$ pour la limite $(N)$ extrait par $(E)$, qui tend vers $\dfrac{1}{log(N)}$
j'ai donc regarder pour la même limite $(N)$ criblé par $(G)$, ("car (G) extrait aussi les nombres premiers P(N)")
ces trois rapports :
$\dfrac{1}{log(N)}$
$\dfrac{P(N)}{N}$
$\dfrac{(g)}{N}$
d'où il m'est venu de vérifier $\dfrac{1}{log(2N)}$ ce qui était logique.., et surprise, le résultat et plus précis que pour les nombres $P(N)$
Ce qui veut dire que cette estimation et minoration de $\pi{)2N)}$$-$$\pi{(N)}$ et plus précise que la fonction du TNP, pour une Limite $(N)$ par rapport $\dfrac{1}{log(N)}$ pour $\pi{(N)}$.
cette fonction qui a été démontrée , pour $\pi{N}$, il est évident que la démonstration de la fonction $\dfrac{1}{log(2N)}$ suit le même chemin du simple fait, ("comme ils l'auraient fait à l'époque, avec ce crible ....") qu'il s'agit du crible, qui utilise le principe Eratosthène...!
Comme l'a fait Noix de totos, il n'y aura aucune difficulté pour affiner cette fonction.!
("qui mettra fin à l'utilisation du postulat bien connu..."):)o
j'espère que (pari gp) donne les entiers $(g)$ comme il le fait pour les premiers $P(N)$....;-) -
Legendre: $\pi(x)\simeq\frac{x}{1.08+\ln(x)}$
-
Bonjour Jaopa
la ce que j'indique, ce n'est pas pour estimer $\pi{(x)}$ mais la quantité entre $N$ et $2N$...
d'ailleurs avec la fonction que j'ai indiqué, le nième premier $P_(n)$ vaut $\simeq \N\log(2N)$ qui s'estimerait mieux...sans pour autant pour des grandes valeur de $(N)$ le localiser.
par exemple si on prend $P_{(1000)}$ on obtient $7600$, alors qu'il est inférieur... -
LEG:
Je n'ai toujours pas compris d'où tu sors la quantité $\dfrac{n}{\log(n)}$ de tes calculs de crible.
Tes calculs de crible te permettent-ils de démontrer des inégalités à la Tchebychev?:
Pour $N$ assez grand, $c_1\dfrac{N}{\log(N)}\leq \pi(N)\leq c_2\dfrac{N}{\log(N)}$ avec $0<c_1<1$, $c_2>1$ des constantes qui ne dépendent pas de $N$ -
Fin de partie écrivait:LEG:
Je n'ai toujours pas compris d'où tu sors la quantité $\dfrac{n}{\log(n)}$ de tes calculs de crible.
A ) : Le crible d'Eratosthène $(E)$ depuis des lustres, extrait le nombre de premiers $P_{(n)}$ = $\pi(n)$ pour une limite $n$ fixée. (" ou une autre fonction, peut importe pour une limite $(n)$ cela serra équivalent")
Et l'on sait que que $\pi(n)\simeq\dfrac{n}{log(n}$ ...etc...
"pour simplifier on ne s'occupe pas de 2, 3 et 5 et leurs multiples et pour $ n\geqslant 15$
Ce point A ) est clair...Tu ne vas quand même pas me dire que c'est faux....?
le crible $(G)$ :
1) : soit il crible toujours selon le principe de $(E)$ le nombre $P_{(n)}$ = $\pi(n)$ pour une limite $n$...etc.
2) : soit il crible les entiers $\not\equiv{2n}[P_i]$, $G_{(n)}$ pour la même limite $n$ suivant le même principe, ie:
$R + k*P_i$ puis, on rajoute $n*p_i$....jusqu'à $n$; ou , on marque les entiers tous les $p_i$ nombres (Eratosthène) < $n$...etc. Ce qui crible par conséquent le nombre $P_{(n)}$ de premiers $(q)$ = $\pi(2n)$ $-$ $\pi(n)$
il n'y a rient de difficile à vérifier... donc j'utilise dans ce raisonnement le principe de fonctionnement des 2 cribles selon Eratosthène. Comme cela aurait pu être fait depuis des siècles...
si le rapport $\dfrac {P_{(n)}} {n}$ est vrai pour pour $(E)$; le rapport $\dfrac {G_{(n)}} {n}$ est tout aussi vrai, pour
$(G)$...! Mais ce ne peut être la même égalité, car il est évident que $G_{(n)}$ $<$ $P_{(n)}$...
Car comme je l'ai indiqué et qui est trivial , le nombre de premiers $P_i$ $ < \sqrt (n)$ est inférieur au nombre de premiers $P_i$ $ < \sqrt (2n)$ .
D'où il en ressort : moins d'entiers marqué par $(E)$ = plus de premiers $P_{(n)}$ ; et plus d'entiers marqués par $(G)$ = moins d'entiers $G_{(n)}$ = moins de premiers $(q)$.....:-)
Si cela été identique, comme tu l'as justement fait remarqué, il ne peut y avoir autant de premier $P_{(n)}$ que de premiers $(q)$ ou si tu préfère que d'entiers $G_{(n)}$ pour une même limite $(n)$ fixée et criblé.!
Ce qui a été montré pour la fonction $\dfrac{n}{\log(n)}$ à l'époque et qui sert d'équivalence pour $\pi(n)$ selon le TNP ; serra identique pour la fonction $\dfrac{n}{\log(2n)}$ équivalent à $\pi(2n)$ $-$ $\pi(n)$.
Car : tout réside dans le fonctionnement de ces deux cribles, que l'on peut vérifier de façon très simple , ("et probablement par une fonction ou deux mais la cela serra plus difficile de voire le fonctionnement") , qui donne le nombre de premiers $P_{(n)}$ et le nombre d'entiers $G_{(n)}$ , pour cette limite $(n)$
les spécialistes de la théorie des nombres n'auront aucune difficulté pour s'en convaincre.....ils pourront toujours en apporter une démonstration rigoureuse, si besoin est...!
Tu peux d'ailleurs toi même vérifier avec (pari gp) pour une limite $(n)$ et quelque soit $(n)\geqslant 15$ ces deux nombres , tel que $G_{(n)}$ $<$ $P_{(n)}$ et étudier ou vérifier le rapport entre la fonction 1 du TNP, et la fonct 2......qui ne serra qu'un corollaire du TNP...mais une estimation plus précise, que la fonction 1.
Pour ma part et mes moyens, j'ai largement dégraissé cette fonction $\dfrac{n}{\log(2n)}$ ...je plaisante....:-D ; il n'y a plus qu'à mettre une touche finale, si on veut.... car le principe est suffisamment convaincant.
Pour le principe de fonctionnement du crible, je pense que c'est largement compréhensible. avec le petit fichier que j'ai joint. -
Une vérification sur quelques exemples n'est pas une preuve.
L'article de Wikepedia sur le théorème des nombres premiers donne des minorations de $p_n$, le n-ième nombre premier.
$p_n\geq n(\ln n + \ln \ln n – 1)$ pour $n\geq 2$.
Et aussi une majoration:
$p_n<\ln n + \ln \ln n$ pour $n\geq 6$ -
Ce qu'il reste à faire, la dedans, c'est d'étudier dans le nombre de $\pi{(g)}$ criblé, pour une limite $N\geqslant 15$ le rapport du nombre de premiers $P_{(n)}$ $\not\equiv{2N}[P_i]$ avec les entiers non premiers de $\pi{(g)}$ ....étudier le comportement de ce rapport $\dfrac{\pi{(g)}}{P_{(n)}}$
Et qui indiquerait, que ce nombre de premiers $P_{(n)}$ est supérieur à $\dfrac{N}{log^2(N)}$ ; qui serait alors, un minorant pour (........). -
Ces majorations ou minorations de $P_{n}$ ne permettent pas de localiser ce nombre premier, de toutes les façons.
Donc même dans l'exemple que j'ai cité, cela n'apporte rien ou pas grand chose...
Car pour un nombre premier de plusieurs millions de chiffres, c'est pas demain que ces estimations du n-ième nombre premier permettrons de le localiser... ! Ce qui est d'ailleurs, de l'avis des chercheurs de premiers...
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