Points de Gram
dans Arithmétique
Je suis à la recherche d'une liste de points de Gram où la "Gram's law" n'est pas satisfaite. Il y a semble-t-il un code mathematica pour les calculer ici mais je n'ai pas cet ustensile. Il ne me faut pas que l'indice $n$ mais la valeur de $g(n)$. Merci pour votre aide.
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Réponses
$$g(n)\sim2\pi\exp\left(1+W\left(\frac{8n+1}{8e}\right)\right) $$
où $W$ est la fonction de Lambert.
Je ne suis pas familier des points de Gram. Dans quel cadre t'es venu cette question ?
Après coup, j'ai constaté qu'il y avait réponse à ta question ici
J'essaie de répondre à ton interrogation sachant que tu as plein d'articles récents disponibles en ligne sur la "Gram's law" (voir notamment celui-là). Mon idée a été de généraliser les points de Gram en considérant les zéros des fonctions
$$f_{\lambda,\theta}(z)=\frac{2}{(2\pi)^{z}}\cos\left(\frac{\pi z}{2}\right)\Gamma\left(z\right)-\lambda^{1-2z}e^{i\theta}$$
où $\lambda$ et $\theta$ sont des paramètres réels. Ces zéros sont majoritairement sur la droite critique et les points de Gram sont obtenus pour $\lambda=1$ et $\theta=0$. L'idée était alors en faisant varier les paramètres $\lambda$ et $\theta$ d'avoir plus de possibilités d'encadrer les zéros non triviaux de zêta et de refaire marcher d'une certaine manière la loi de Gram lorsqu'elle ne marche pas. Le problème et qu'en corrigeant la loi de Gram, on crée d'autres exceptions avec la nouvelle loi dépendant de $\lambda$ et $\theta$ . Il est à mon sens impossible de "dompter" les zéros non triviaux, ce qui n'est pas si inattendu! Ceci étant dit, je pense que les théoriciens analytiques des nombres devraient considérer cette idée de jouer sur 2 paramètres et de généraliser les points de Gram.
Il est imaginable d'améliorer ainsi les résultats sur la proportion de zéros sur la droite critique mais pas de démontrer HR qui, à mon avis, ne peut pas succomber aux seules méthodes analytiques et probabilistes.
A titre d'exemple je joins le graphique des parties imaginaires des zéros de $f_{1,\theta}$ où $\theta$ varie dans $]-\pi,\pi[$ (ronds bleus) comparé aux zéros de zêta (segments horizontaux). Les parties imaginaires des zéros de $f_{1,\theta}$ sont régulièrement distribuées et pour $\Im(z)>14.134...$ forment les planches (qui rétrécissent vers le haut) d'un parquet où on lancerait une aiguille (zéro de zêta).
On visualise bien la loi de Gram pour $\theta=0$ où les ronds bleus (au milieu) sont entre 2 zéros non triviaux. Plus haut il y a cependant plein d'exceptions à cette loi. En jouant sur $\theta$ on voit qu'on peut essayer de rétablir cette loi. Le paramètre $\lambda$ fait varier la largeur des planches tandis que le paramètre $\theta$ les crée en longueur.